약수 함수

'''약수 함수(Divisor function)'''는 특수함수의 하나로, 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle \sigma_s(n) \equiv \sum_{d|n} d^{s}\quad$$(단, $$d$$는 $$n$$의 약수, $$s \in \mathbb{C},\,n \in \mathbb{N}$$)

즉, 어떤 자연수의 약수를 $$s$$제곱한 것을 모두 더한 것을 함숫값으로 내놓는 함수이다. 특히 $$s=1$$인 경우, 이 함수는 $$n$$의 모든 약수들의 합을 내놓는다. $$s=0$$인 경우 약수의 개수를 내놓는다.
가장 많이 쓰이는 용도는 완전수/부족수/과잉수 판별로, 이들은 진약수의 합이 어떤가에 따라 집합이 갈리기 때문이다. 덤으로 이를 이용해 소수를 정의하면 1이 소수가 아니라고 깔끔하게 정의된다.

• 부족수: $$\sigma_1(n) < 2n$$
• 완전수: $$\sigma_1(n) = 2n$$
• 과잉수: $$\sigma_1(n) > 2n$$
• 소수: $$\sigma_1(n) = n+1$$

$$\sigma_1(n)$$은 일반화된 오각수[1]를 사용해서 구할 수도 있다.
$$\sigma_1(n)=\sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+...$$인데 다만 $$\sigma_1(0)$$자리엔 대신 n을 써야 성립한다.
$$s$$에 복소수가 들어갈 수 있기 때문에, 복소수 $$s$$에 대해서는 정의가 다음과 같이 바뀐다.

$$\displaystyle \sigma_s(n) \equiv \sum_{d|n} d^{\Re(s)}\, ({\rm cis} \circ \ln)( d \, \Im(s))$$

[1] n번째 오각수의 일반항 $$\frac{n(3n-1)}{2}$$의 n자리에 정수를 넣은 것

$${\rm cis}$$는 허수지수함수, $$\ln$$은 자연로그, $$\Re, \Im$$는 각각 복소수의 실수부와 허수부를 뜻한다.