부족수

 




1. 개요
2. 성질
3. 100보다 작은 부족수 목록


1. 개요

'''不足數'''
''Deficient number''
자연수 $$n$$에 대하여, $$n$$의 모든 진약수(자신을 제외한 모든 약수)들의 합이 $$n$$보다 작다면 $$n$$을 부족수라고 한다.[1] 예를 들어서, 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이고 진약수들의 합은 1+2+3+4+6+8+12=36인데 이 합은 24보다 크므로 24는 부족수가 아니지만, 25의 약수는 1, 5, 25이고 진약수들의 합은 1+5=6인데 이 합은 25보다 작으므로 25는 부족수이다.
수학적으로 표현하면, 다음 식을 만족하는 자연수 $$n$$을 부족수라고 한다. 여기서 $$\sigma_1(n)$$은 약수 함수(divisor function)이다.

$$n>\sigma_1(n)-n $$[2]
[1] 같은 말로, $$n$$의 모든 약수들의 합이 $$2n$$보다 작다면 $$n$$을 부족수라고 한다.[2] $$\sigma_1(n)$$은 $$n$$의 모든 약수들의 합을 나타낸다. 즉, 이 식은 $$n$$의 모든 약수들의 합에서 $$n$$을 빼므로, 이는 곧 진약수들의 합이다.

2. 성질

  • 부족수는 무수히 많다. 모든 소수는 부족수인데, 소수는 무수히 많기 때문이다.
  • 소수의 진약수는 1뿐이므로 모든 소수는 부족수다. 또한 소수의 거듭제곱인 수도 부족수다.
  • 소인수가 2뿐인 모든 수, 즉 2의 거듭제곱수들은 진약수의 합이 자신보다 1만큼 작은 부족수다.[3]
  • 소인수가 2개뿐인 모든 홀수도 진약수의 합이 자신의 7/8배(0.875배)보다 작은 부족수다.
  • 945가 가장 작은 홀수 과잉수기 때문에 945보다 작은 모든 홀수는 부족수이다.
  • 참고로, 홀수인 완전수의 존재는 현재 유명한 수학 난제이며, 만약에 존재한다면 최소한 $$10^{1500}$$보다 크다는 사실이 알려져 있다.
  • 1의 자리가 1, 3, 7, 9이면서 81080보다 작은 자연수는(다시 말해, 81080보다 작으면서 10과 서로소인 자연수는) 모두 부족수이다. 이는 10과 서로소인 가장 작은 과잉수가 81081이기 때문.
  • 30과 서로소인 자연수는 일상적인 수준에서 모두 부족수이다. 참고로 6과 서로소인 가장 작은 과잉수는 5,391,411,025[4]며, 30과 서로소인 가장 작은 과잉수는 무려 9,503,592,139,824,772,301,811,642,143[5][6]이다.
  • 부족수 및 완전수의 진약수들도 부족수다.
  • 1 또한 부족수이다. 1은 진약수가 존재하지 않기 때문에 진약수의 합이 0이기 때문이다.

3. 100보다 작은 부족수 목록


[3] 반대로, 진약수의 합이 자신보다 1만큼 큰 과잉수는 현재까지 밝혀지지 않았으며, 존재하는지 조차도 아직 미해결이다.[4] 53억 9141만 1025로, 소인수분해하면 52×7×11×13×17×19×23×29이며, 진약수의 합은 5,407,897,775이다.[5] 9503자 5921해 3982경 4772조 3018억 1164만 2143[6] 소인수분해하면 72×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73이고, 진약수의 합은 9,981,647,097,140,939,728,523,333,857이다.