에너지 보존 법칙

1. 소개

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'''고전역학과 양자역학에서 일어나는 모든 물리현상을 설명하는 기초적인 세 가지 법칙 중 하나.'''이다. 헬름홀츠에 의해 발견되었으며, 중고등학교 교과서에서 나올법한 간단한 실험부터 자연에서 일어나는 수많은 물리현상까지 모두 포괄하는 법칙으로서 어떤 현상[1]에 관여하는 모든 변수를 포괄한 고립계에 대하여 에너지의 총량은 항상 일정하다는 법칙이다.

2. 역학적 에너지 보존의 법칙

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오직 운동에너지[2]와 퍼텐셜 에너지만을 고려하는 계에서, 두 에너지의 총량은 항상 일정하다는 법칙이다. 물리학이나 공학에서 어떤 계에서 물체들의 운동을 분석할 때, 마찰 등 열까지 포함하여 고려하면 물체들의 운동을 서술하는 운동방정식이 복잡해지고, 라그랑지안 등 간단하게 서술하는 데에 도움을 주는 다양한 식들을 적용하기가 어려워진다. 그래서 열에너지 등을 제외하고, 운동에너지와 퍼텐셜에너지만 고려하여 문제를 해결하는 경우가 많다. 주로 언급되는 퍼텐셜 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지, 전기 퍼텐셜 에너지(전위), 탄성 퍼텐셜 에너지 등이 있다.

3. 열역학에서

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열역학 제1법칙이 같은 역할을 한다. 열역학 법칙 참고.

4. 회로이론에서

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키르히호프의 제2법칙(KVL: Kirchhoff's Voltage Law)이 에너지 보존 법칙을 의미한다. 키르히호프의 법칙 참고.

5. 해석역학에서

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사실 고등학교나 일반물리학 수준에서는 에너지가 보존된다는 법칙이 완벽하다고 믿었겠지만 사실 아닐 수도 있다 '''진짜로''' 보존되는 것은 사실 해밀토니언이라는 물리량이다.
계의 라그랑지언을 $$ \mathcal{L} $$이라 하고, $$ q_j $$를 $$ j $$번째 일반화 좌표라고 하자. 그러면, 계의 해밀토니언을 다음과 같이 정의한다.[3][4]

$$\displaystyle \mathcal{H}=\left( \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j} } } \right) - \mathcal{L} $$

[1] 단순한 물체의 운동에서부터 열현상, 핵반응, 방사성 붕괴 같은 복잡한 물리현상도 포괄한다

[2] 직선운동에너지와 회전운동에너지 모두 포함한다.

[3] 참고로 이는 라그랑지언을 르장드르 변환한 것이다.

[4] 일반화 운동량을 보면 알겠지만 아래 정의는 $$\displaystyle \sum_{j}{ p_j \dot{q_j} } - \mathcal{L} $$로도 쓸 수 있다. 해밀토니언 참고.

그러면, 계의 해밀토니언은 보존된다. 해밀토니언은 계의 역학적 에너지와 거의 비슷하면서도 살짝 다르다. 사실 웬만한 경우는 그냥 역학적 에너지=해밀토니언 이라고 생각해도 된다. 따라서 역학적 에너지는 웬만하면 보존된다. 하지만 퍼텐셜 에너지가 물체의 속도에 대한 함수라면[5] 역학적 에너지 $$\neq$$ 해밀토니언이고 역학적 에너지가 보존되지 않는다.
정리하면 다음과 같다.

• 닫힌계의 해밀토니언은 반드시 보존된다.
• 퍼텐셜 에너지가 속도에 대한 함수가 아니면 역학적 에너지(=해밀토니안)는 보존된다.

5.1. 증명

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계의 라그랑지언 $$\mathcal{L}(q_j,\dot{q_j},t)$$를 시간에 대해 미분하면 연쇄 법칙에 의하여 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \frac{ d \dot{q_j} }{dt} } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \frac{dt}{dt} \\&= \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \dot{q_j} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \end{aligned} $$

[5] 전자기학에서 가끔 볼 수 있다.

그런데, 닫힌계의 라그랑지언은 시간에 대한 함수가 아니다. 따라서 $$ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{ \partial t} = 0 $$이므로

$$\displaystyle \frac{d\mathcal{L}}{dt} = \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \dot{q_j} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } $$

또한, 오일러-라그랑주 방정식에 의해

$$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} $$

이므로, 이를 대입하면

$$\displaystyle \begin{aligned}\frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } \\ \frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{ \frac{d}{dt} \left( \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} } \right) } \end{aligned}$$

좌변을 이항해서 $$\dfrac{d}{dt}$$로 묶으면,

$$\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} }} - \mathcal{L} \right) = 0 $$

이때 괄호 안은 바로 해밀토니언의 정의이다. 따라서 $$\dfrac{d\mathcal{H}}{dt}=0$$이므로, 해밀토니언 $$\mathcal{H}$$는 시간에 무관한 상수이다. 따라서 해밀토니언은 보존된다.
한편, 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않는다면 $$\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q_j}}=0$$이 된다. 따라서 해밀토니언의 정의를 살짝 변형하면

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} &= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} }} - \mathcal{L} \\&= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial (T-U) }{ \partial \dot{q_j} }} - (T-U) \\& = \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q_j} }} - (T-U) \end{aligned} $$

가 된다. 그런데 운동에너지 $$T$$는 $$\dot{q_j}$$에 대한 2차 동차함수이므로 오일러의 정리에 의하여

$$\displaystyle \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q_j} } } = 2T $$

이다. 이를 대입하면

$$\displaystyle \mathcal{H} = 2T - (T-U) = T+U = E $$

이다. 따라서 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않는다면 해밀토니언과 역학적 에너지가 같다는 것을 알 수 있다.

5.2. 뇌터 정리

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사실 이것도 보존 법칙 일반화의 끝판왕이라고 할 수 있는 뇌터 정리의 한 예시일 뿐이다. 자세한 내용은 해당 문서를 참조하자.

6. 관련 문서

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• 물리학 관련 정보
• 고전역학
• 해석역학