전자기 유도
1. 개요
'''Electromagnetic induction · 電磁氣誘導'''
자기장이 변하는 공간에서 기전력이 발생하는 현상을 '''전자기 유도 현상'''이라 한다. 마이클 패러데이가 처음 증명하였다.
2. 렌츠 법칙
1834년, 독일계 러시아인 물리학자 하인리히 렌츠[1]가 발견했으며, 어떤 폐회로에 유입되는 자기 선속(Magnetic flux)이 변할 때, 유도되는 기전력은 그 자기 선속의 변화를 방해하게 만드는 자기장을 형성하게끔 생성된다는 법칙이다.
아래의 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있다.
만약, 렌츠 법칙의 반대인 세상에 살고 있다면, 어떤 폐회로를 통과하는 자기 선속 변화에 대해 폐회로는 이것과 같은 경향의 자기 선속을 만들어내면서 자기 선속 변화는 합쳐져서 극대화 되고, 회로의 유도 기전력은 점차 증가한다. 그리고 무한한 시간을 거치면서 이 과정이 반복되면, 무한한 유도 기전력이 만들어진다. 즉, 폐회로의 자기 선속만을 변화시켜주면 무한한 에너지를 얻을 수 있다는 말. 그러나 에너지 보존 법칙에 의해 그것은 불가능하고, 실제로 자연은 렌츠의 법칙을 따르기 때문에 그러한 일은 일어나지 않는다.
3. 패러데이 법칙
어떤 닫힌 회로를 생각했을 때, 이 회로에 통과하는 자기 선속의 변화량은 곧 회로의 유도 기전력(Induced EMF[2])과 같다는 법칙이다. $$S$$가 해당 폐곡선을 둘러싸는 영역일 때,
$$ \displaystyle \mathcal{E}=-\frac{dF}{dt}=-\frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$
가 성립한다는 것이 패러데이 법칙이다. $$\mathcal{E}$$는 유도 기전력, $$F$$는 자기 선속(Magnetic flux)이다. 앞에 붙은 마이너스는 위에서 다뤘던 렌츠의 법칙을 의미한다.이것은 도체 내부에서도 생각할 수 있다. 도체 또한 자기장이 변화한다면, 도체 내부에서 기전력이 발생하고, 소용돌이 형태의 전류가 흐르게 되는 데, 이것을 '''와전류(Eddy current)'''라 한다.
4. 유도 기전력과 전기장
어떤 폐곡선 $$C$$와 이 폐곡선에 유입되는 자기장이 변하는 상황을 고려하자. 이때, 폐곡선 $$C$$ 주위에 전기장 $$\mathbf{E}$$가 분포할 때, 기전력 $$\mathcal{E}$$는
$$\displaystyle \mathcal{E} \equiv \oint_{C} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
이고, 패러데이 법칙에 의하면, 이것이 자기 선속 변화량과 같으므로 패러데이 법칙은 아래와 같이 표현할 수 있다.$$ \displaystyle \mathcal{E}= \oint_{C} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=-\frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$
$$S$$는 폐곡선 $$C$$를 둘러싸는 영역이며, 이때, $$S$$가 시간에 무관하므로 위 식은$$ \displaystyle \oint_{C} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=- \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$
로 쓸 수 있고, 스토크스 정리를 쓰면,$$ \displaystyle \iint_{S} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=- \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} $$
이고, 여기서 맥스웰 방정식의 3번째 식이 유도된다.$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} =- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$
이 식은 곧, '''전기장의 변화는 자기장의 변화를 만들어냄'''을 나타낸다.4.1. 비보존적 전기장의 존재
정전기학의 전기장은 비회전장으로써, 보존적이었다. 다만, 위의 식에선
$$ \displaystyle \mathcal{E} \equiv \oint_{C} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} =- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$
에서 자기 퍼텐셜 $$ \mathbf{A}$$에서 $$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}=\mathbf{B}$$가 성립하므로$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} =- \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=-\boldsymbol{\nabla} \times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$
으로 쓸 수 있다. 따라서$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \left( \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right)=0 $$
이고, 이것은 어떤 스칼라 함수 $$\Phi$$를 이용하여,$$ \displaystyle \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} =- \boldsymbol{\nabla} \Phi $$
로 나타낼 수 있고, 최종적으로 전기장은 두 항으로 분리된다.$$ \displaystyle \mathbf{E} =- \boldsymbol{\nabla} \Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \equiv \mathbf{E}^{q}+\mathbf{E}^{i}$$
따라서 $$\mathbf{E}^{q} = - \boldsymbol{\nabla} \Phi$$는 전하 분포에 의한 전기장으로써, 보존적인 전기장이고, $$\mathbf{E}^{i} = -{\partial \mathbf{A}}/{\partial t}$$는 비보존적 전기장으로 유도에 의한 전기장이다. 따라서 보존적인 전기장은 폐곡선에 대한 선적분의 값은 $$0 $$이 됨에 따라 패러데이 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.$$ \displaystyle \oint_{C} \mathbf{E}^{i} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=- \oint_{C} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
5. 운동 기전력
이번엔 폐회로가 $$\mathbf{v} \,(v\ll c)$$[3]로 '''시간에 무관하고, 정적인 자기장'''이 형성된 공간에 대해 상대적으로 등속 운동하는 경우를 살펴보자. 즉, 어떤 폐곡선 $$C$$ 위의 점들이 $$\mathbf{v}$$로 운동한다는 것이다. 이 경우엔 정지 좌표계와 폐곡선과 함께 운동하는 좌표계를 생각할 수 있다. 또한 갈릴레오 갈릴레이의 상대성 원리에 의하면, 두 좌표계에서 물리법칙은 동등해야 한다.
정지 좌표계에서 자기장의 변화는 측정되지 않으므로 해당 관측자에게 유도 전기장은 측정되지 않으며, 전하가 로런츠 힘을 받는다는 것만을 알고 있다. 따라서 단위 전하가 받는 힘은
$$ \displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B} $$
$$ \displaystyle \mathbf{E}+\mathbf{E}^{i} \equiv \mathbf{E'} $$
의 힘을 받는 것으로 관측될 것이다. 이때, 두 물리 현상은 동등해야 하므로 운동 좌표계에서$$ \displaystyle \mathbf{E}^{i}=\mathbf{v} \times \mathbf{B} $$
로 느끼게 된다. 따라서 정지 좌표계에서 폐곡선 $$C$$ 주위에 유도되는 기전력은$$ \displaystyle \mathcal{E} = \oint_{C} (\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
이 되고, 운동 좌표계에서 관측되는 폐곡선 $$C$$ 주위에 유도되는 기전력은$$ \displaystyle \mathcal{E} = \oint_{C} \mathbf{E'} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
이 된다. 그러나, 이 문제 상황에서 $$\mathbf{E}$$는 보존적이기 때문에 선적분 시 상쇄된다. 따라서 폐곡선 $$C$$ 주변에 유도되는 기전력은$$ \displaystyle \mathcal{E} = \oint_{C} (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
가 되고, 이것을 '''운동 기전력(Motional EMF)'''라 한다.5.1. 패러데이 법칙과 운동 기전력
그렇다면, "패러데이 법칙은 정적인 자기장이 있는 상태에서 폐곡선이 움직이거나, 폐곡선 회로 자체가 변할 때도 유효한가"에 대한 것을 해결해보도록 하자. 아래 그림과 같이 $$t$$일 때의 폐곡선과 그것을 둘러싸는 영역을 각각 $$ C(t) $$, $$ S(t) $$, $$t+dt$$일 때의 폐곡선과 그것을 둘러싸는 영역을 각각 $$ C(t+dt) $$, $$ S(t+dt) $$라 하자.
자기 선속의 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle dF=\int_{C(t+dt)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{2}}-\int_{C(t)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}} $$
이때, $$\mathbf{a_{1}}$$은 $$ S(t) $$ 위 의 법선 벡터, $$\mathbf{a_{2}}$$는 $$ S(t+dt) $$ 위 의 법선 벡터이다. 이번에는 위 그림과 같은 폐곡면을 생각해보자. 즉, 여기선 $$ S(t) $$, $$ S(t+dt) $$, 그리고, 두 면을 잇는 띠 $$R$$로 만들어지는 폐곡면이다. 여기에 자기에 관한 가우스 법칙인 $$ \displaystyle \oint \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}=0 $$
을 적용하면,$$ \displaystyle \int_{C(t+dt)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{2}}-\int_{C(t)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\int_{R} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a'}=0 $$
이때, $$ \displaystyle d \mathbf{a'}=d \mathbf{l} \times \mathbf{v}\, dt $$
로 쓸 수 있으므로$$ \displaystyle \displaystyle \int_{C(t+dt)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{2}}-\int_{C(t)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\int_{R} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} (d \mathbf{l} \times \mathbf{v}\, dt) =0 $$
위 적분은 아래와 같이 바꿀 수 있다.$$ \displaystyle \displaystyle \int_{C(t+dt)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{2}}-\int_{C(t)} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\oint_{C(t)} dt\, ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} =0 $$
이때, $$ \displaystyle \oint_{C(t)} dt\, ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} =-dF $$
이므로 결론적으로 $$ \displaystyle -\frac{dF}{dt}= \oint_{C(t)} ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
이다. 좌변은 패러데이 법칙을 의미하고, 우변은 운동 기전력이 나왔음으로 이런 상황에서도 패러데이 법칙은 유효함을 나타낸다. 위의 논의는 정적인 자기장이 있고, 폐곡선이 운동하거나 영역이 변한다면, 유도되는 기전력은 운동 기전력임을 나타낸다.
6. 일반적인 상황에서의 기전력
위 문단에서 "어떤 폐곡선에 유입되는 자기 선속이 변할 때의 '''유도 기전력'''"과 "정적인 자기장에서 폐곡선이 운동하거나 변화할 때의 '''운동 기전력'''"을 논하였고, 그 때에서도 패러데이 법칙은 유효함을 논의했다. 따라서 위 두 상황에 동시에 존재한다면, 기전력은 다음의 선형 결합
$$ \displaystyle \mathcal{E}=- \int \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}+ \oint ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
자기 선속의 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle dF=\int_{C(t+dt)} \mathbf{B}(t+dt) \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{2}}-\int_{C(t)} \mathbf{B}(t) \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}} $$
$$ \displaystyle \iint_{S(t+dt)} \mathbf{B}(t+dt) \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{2}}-\iint_{S(t)} \mathbf{B}(t+dt) \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\int_{R} \mathbf{B}(t+dt) \boldsymbol{\cdot} (d \mathbf{l} \times \mathbf{v}\, dt)=0 $$
$$ \displaystyle \displaystyle dF+\iint_{S(t)} \mathbf{B}(t) \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}-\iint_{S(t)} \mathbf{B}(t+dt) \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\oint_{C(t)} dt\, ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} =0 $$
$$ \displaystyle \displaystyle -\iint_{S(t)} [\mathbf{B}(t+dt)-\mathbf{B}(t) ] \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\oint_{C(t)} dt\, ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} =-dF $$
$$ \displaystyle \mathbf{B}(t+dt)-\mathbf{B}(t)=\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\,dt $$
$$ \displaystyle -\iint_{S(t)} dt\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\oint_{C(t)} dt\, ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} =-dF$$
$$ \displaystyle -\frac{dF}{dt}= -\displaystyle \iint_{S(t)} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a_{1}}+\oint_{C(t)} ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
$$ \displaystyle -\frac{d}{dt} \int \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=-\int \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}+ \oint ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
좀 더 위 식의 의미를 분석해보자. 위에서
$$ \displaystyle \frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}= \iint_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}- \oint_{C} ( \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
$$ \displaystyle \frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}= \oint_{C} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}-\oint_{C} (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
$$ \displaystyle \mathbf{E}^{q}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi, \qquad \qquad \mathbf{E}^{i}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$
$$ \displaystyle \frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=- \oint_{C} \left[- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\boldsymbol{\nabla} \Phi + (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \right] \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
$$ \displaystyle -\frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}= \oint_{C} \left[\mathbf{E}^{i}+\mathbf{E}^{q} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \right] \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
[4] 보존적 전기장은 폐곡선에 대한 선적분 시 사라지므로 도입할 수 있다.
$$ \displaystyle -\frac{d}{dt} \iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}= \oint_{C}( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} $$
7. 솔레노이드에서 패러데이 법칙
위에서 다뤘던 것은 가늘고, 단일적인 이상적 폐회로에 대한 법칙이다. 솔레노이드는 이러한 폐회로가 겹겹히 쌓아올려져있는 형태로 볼 수 있고, 각 폐회로를 통과하는 자기 선속은 모두 같다. 따라서 이러한 솔레노이드에서 패러데이 법칙은
$$ \displaystyle \displaystyle \mathcal{E}=-N \frac{dF}{dt} $$
8. 응용
무궁무진하지만 대표적인 응용법은 발전기의 원리이다. 이 법칙으로 인해 우리가 전기를 공업적으로 쓸 수 있다고 해도 과언이 아니다![5] 대다수의 발전소는 증기 터빈을 사용하는데 연료를 태워 생기는 열에너지를 물을 가열하여 수증기로 만들어 그 수증기의 압력으로 터빈을 돌려 전기를 생산하는데 이 역학적 에너지가 바로 회로에 걸리는 자기선속의 변화를 만들어서 회로 내에 전기를 흐르게 만드는 것이다.
또한 변압기와 파워서플라이도 같은 원리인데, 두 코일을 가까이 두고, 각 코일마다 감긴 수를 조절하고 한쪽 코일에 교류 전류를 흘려주게 되면, 교류 전류의 변화로 인해 자기장이 형성이 되고, 이 자기장을 이용하여 전류가 흐르지 않는 맞은편 코일에서도 전자기 유도를 만들어 전류를 흐르게 하는 원리이다. 이때 각 코일에 걸리는 전압의 비는 감긴 코일 횟수의 비와 동일하다.
신용카드에 붙어있는 마그네틱 선도 전자기 유도를 이용한 것인데 특정한 규칙을 가지고 배열된 자석이 카드 리더기에 있는 코일을 통과하면서 코일에 전자기 유도를 일으켜 정보를 판독하는 방식이다.
요리 기구 중에서도 전자기 유도 현상을 이용하는 것이 있다. 바로 인덕션 레인지. 상판 하부에 설치된 코일에 교류를 흘려주면, 변하는 자기장이 만들어진다. 그 위에 전도성 용기를 올려두면, 전자기 유도 현상에 의해 와전류가 용기 바닥에 흐르게 된다. 이때, 용기 자체는 전기 저항이 존재하기 때문에 열이 발생하게 되고, 그 열로 음식물을 조리할 수 있게 되는 것이다. 그렇기 때문에 부도체인 뚝배기나 유리 냄비를 가지고 조리하려고 하면 효과가 나타나지 않는다.[6][7]
9. 관련 문서
[5] 자기장 유도 법칙이 나오기 전까진 전기를 생산할 수단이 거의 없었다.[6] 양은냄비는 전도체임에도 잘 뜨거워지지 않으므로 반드시 전용 냄비를 써야 한다.[7] 물론 요즘 제품들은 그런 것까지 고려해서 밑에 따로 철판을 깔아둘 수 있도록 하거나 아예 밑판에 금속판을 붙여 제작해 사용할 수 있도록 한다.