정이십사포체
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회전하는 정이십사포체의 3차원 투영 모습[1].
1. 개요
正二十四胞體/24-cell, 또는 Regular icositetrachoron(복수는 -chora)
한 개의 모서리에 세 개의 정팔면체가 만나고, 총 스물네 개의 정팔면체로 이루어진 정다포체. 또한 정십육포체의 꼭짓점을 모서리 절반까지 깎거나 정팔포체를 8개의 정육면체 초뿔[2]로 나눈 뒤 뒤집는 방법으로도 만들 수 있다.
정24포체를 그리려면 정팔면체를 그린 후, 안에 육팔면체를 그린 뒤 다시 육팔면체 안에 정팔면체를 하나 더 그리고, 육팔면체의 한 삼각형의 변을 안과 밖의 정팔면체의 삼각형의 꼭짓점과 이어지도록 이등변삼각형을 그리면 된다.
4차원 정다포체 중 유일하게, 대응되는 다른 차원의 정다포체가 없는 4차원 고유의 도형이다.[3]
2. 정보
한 변의 길이가 $$a$$인 정이십사포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = $$96a$$
총 면적(total surface area) = $$24\sqrt{3}a^2$$
겉부피(surcell volume) = $$8\sqrt{2}a^3$$
초부피(bulk) = $$2a^4$$
[1] 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.[2] 밑포가 정육면체인 4차원 뿔이다.[3] 3차원 도형중 마름모십이면체가 가장 가깝지만 이는 정다면체가 아니다. 마름모 십이면체와 정이십사포체의 공통점으로는 해당 차원의 입방체를 뿔(3차원에서는 정사각뿔, 4차원에서는 정육면체 초뿔)로 나누어 뒤집는 방법으로 만들 수 있다는 점과 빈틈 없이 공간을 채울 수 있다는 점이다. 여담으로 정이십사포체의 3차원 단면 중에도 마름모 십이면체가 있다.[4] 즉, 절반 지점까지 깎아낸 정십육포체이다. 꼭짓점 형태가 정팔면체형이고, 포(cell)의 형태가 절반 지점을 깎으면 정팔면체가 되는 정사면체형이기 때문에 가능한 일이다.