4차원 정다포체
1. 개요
四次元 正多胞體/4-Dimensional Regular Polychoron (또는 regular polychoron, regular 4-polytope)
기하학에 등장하는 4차원 도형의 일종.
4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다.
2. 종류
여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다..
2.1. 볼록 정다포체
({p,q,r}은 슐레플리 부호.)
- 정오포체 : 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,3}
- 정팔포체 = 테서랙트 : 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {4,3,3}
- 정십육포체 : 16개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,4}
- 정이십사포체 : 24개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,4,3}
- 정백이십포체 : 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {5,3,3}
- 정육백포체 : 600개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. : {3,3,5}
2.2. 오목 정다포체
- 큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 3}
- 큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 5}
- 거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 5/2} [A]
- 작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 3}
- 큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell) : {3, 5/2, 5}
- 거대 육백포체 (Grand 600-cell) : {3, 3, 5/2}
- 정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell) : {3, 5, 5/2}
- 큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell) : {5, 5/2, 3}
- 큰 백이십포체 (Great 120-cell) : {5, 5/2, 5} [A]
- 거대 백이십포체 (Grand 120-cell) : {5, 3, 5/2}
2.3. 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수
볼록 정다포체의 입체의 개수를 $$C$$, 면의 개수를 $$F$$, 모서리의 개수를 $$E$$, 꼭지점의 개수를 $$V$$라고 할 때,
$$V-E+F-C$$[2] $$=$$ [math(0)]이다.
3. 여담
플라톤이 5개의 볼록 정다면체에 그리스의 4원소들을 대응시켰듯[3], '''정식명칭은 아니지만''' 4차원 정다포체에 대해서도 4원소설의 원소들과 대응되는 이름으로 부르는 사람들이 있다. 단, 4차원 볼록 정다포체는 총 6개로 4원소+(5번째 원소인 에테르)[4]를 만족시키기 어려우므로 정이십사포체에 대하여 동양의 음양오행설에서의 나무를 따와 Xylochoron(xylo- : 나무)이라고 부른다.
단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리도 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[5]
3차원 정다면체 중에서는 오직 정육면체만이 공간을 빈틈없이 채울 수 있지만 4차원 정다포체 중에서는 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체가 공간을 빈틈없이 채울 수 있다.
4. 연관항목
[1] 숫자는 더 큰데 오히려 정백이십포체보다 작아 보이는 이유는 정백이십포체는 정십이면체로 이루어져 있지만 정육백포체는 정사면체로 이루어져 있기 때문이다.[A] A B 이것은 자기쌍대인 4차원의 오목한 정다포체이다. 그것도 2가지나 된다.[2] 오일러 지표(Euler characteristic)라고 한다.[3] 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체, 그리고 에테르(또는 공간, 또는 우주)를 정십이면체에 대응시켰다.[4] 또는 공간, 또는 우주[5] 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2n포체(=정축체)이다.