마름모십이면체
1. 개요
마름모十二面體 / Rhombic dodecahedron(복수는 -hedra)
아르키메데스 다면체 중 하나인 육팔면체의 쌍대 다면체. 면들이 모두 마름모형이기 때문에 이런 이름이 붙었다. 마름모의 예각의 경우 한 꼭지점에 4개, 둔각의 경우 한 꼭지점에 3개씩, 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모인다. 면의 형태 V3.4.3.4[1]이다.
면추이 도형이므로, 이론상으로 던졌을 때 각 면이 위에 올 확률이 모두 같기 때문에 '''공평한''' 십이면 주사위로도 사용할 수 있으나, 십이면체들 중에서도 점추이, 변추이, 면추이이기까지 한 정다면체인 정십이면체가 있어서 많이 쓰이지는 않는다.
2. 마름모십이면체에 대한 정보
한 변의 길이가 $$a$$인 마름모 십이면체가 있을 때
마름모(면)의 긴 대각선의 길이 = $$\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{3}a$$[2]
마름모(면)의 짧은 대각선의 길이 = $$\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}a$$
한 면의 넓이 = $$\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}a^2$$
내접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a$$
외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}a$$
겉넓이(surface area) = $$8\sqrt{2}a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{16\sqrt{3}}{9}a^3$$
2.1. 다른 도형들과의 관계
- 육팔면체와 쌍대(Dual)[3] 도형이다.
- 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 8개를 이으면 정육면체가 된다.
- 마름모의 예각 4개가 모인 꼭짓점 6개를 이으면 정팔면체가 된다.
- 위 방법으로 만든 정육면체와 정팔면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체(compound)가 된다.
- 4차원 도형인 테서렉트의 한 꼭짓점을 중심으로 한 3차원 투영 모습의 겉 부분 모습이다.
- 4차원 도형인 정이십사포체의 3차원 단면중 하나이다. 또한 마름모십이면체는 정이십사포체와 가장 가까운 3차원 도형이다.
3. 여담
[image]
마름모십이면체는 단독으로 3차원 유클리드 공간을 채울 수 있는 도형이다.