6.1. 오개념: 정적분으로 정의된 함수의 변수
1. 개요
정적분 문서에 소개된 개념에 따른 예제를 이 문서에 기재하였다.
2. 정적분의 정의
'''[문제]'''
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$$f(x)=x^2$$에 대하여 닫힌 구간 $$[0,\,1]$$에서 정적분을 정의에 의하여 구하시오.
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- [풀이 보기]
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정적분의 정의에 따라
$$\displaystyle \Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$$
$$x_{k}=0+k \Delta x=\dfrac{k}{n}$$
라 하면
$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\,{\rm d}x&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x \\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right)\frac{1}{n} \\&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n} \right)^{2}\frac{1}{n} \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}} \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} $$
3. 정적분의 계산
'''[문제]'''
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$$f(x)=x^2$$에 대하여 닫힌 구간 $$[0,\,1]$$에서 정적분을 구하시오.
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- [풀이 보기]
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$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\,{\rm d}x&=\biggl[ \dfrac{x^3}{3} \biggr]_{0}^{1} \\&=\frac{1}{3}-0 \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} $$
고등학교 과정에 나오는 역함수의 정적분 문제는 역함수를 직접 구해서 정적분을 계산하는 것이 아니라 원래 함수의 그래프를 그린 뒤 면적의 합과 차 등으로 퍼즐을 맞추듯 푸는 것이다.
'''[문제]'''
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함수 $$f(x)$$의 역함수가 $$g(x)$$이고, $$f(0)=0$$, $$f(3)=7$$일 때, 정적분 $$\displaystyle\int_0^3 f(x)\;{\rm d}x+\displaystyle\int_0^7 g(x)\;{\rm d}x$$의 값을 구하시오.
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- [풀이 보기]
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[image]함수 $$f(x)$$가 점 $$(0,0)$$과 $$(3,7)$$을 지나고 역함수가 존재하므로 $$f(x)$$는 증가함수이다. 따라서 그래프의 개형은 위 그림과 같다.
$$\displaystyle{\color{purple}\int_0^7 g(x)\;{\rm d}x}$$와 빨간색 영역의 넓이는 같으며, $$\displaystyle{\color{turquoise}\int_0^3 f(x)\;{\rm d}x}$$는 초록색 영역이므로, 구하려는 값인 초록색 영역과 보라색 영역의 넓이의 합은 초록색 영역과 빨간색 영역의 넓이의 합과 같다. 이는 곧 직사각형의 넓이와 같으므로 $$3 \cdot 7=21$$
사실 $$f(x)=\dfrac{7}{3}x$$로 놓아버리면 그래프가 직선이 되어 굳이 정적분을 도입하지 않아도 삼각형의 넓이의 합으로도 풀 수 있다. 그러나 만약 풀이까지 써야 한다면 $$f(x)$$의 그래프가 무조건 직선이라는 보장이 없으므로 그런 풀이로는 제대로 된 점수를 받을 수 없다.
사실 $$f(x)=\dfrac{7}{3}x$$로 놓아버리면 그래프가 직선이 되어 굳이 정적분을 도입하지 않아도 삼각형의 넓이의 합으로도 풀 수 있다. 그러나 만약 풀이까지 써야 한다면 $$f(x)$$의 그래프가 무조건 직선이라는 보장이 없으므로 그런 풀이로는 제대로 된 점수를 받을 수 없다.}}}
'''[문제]'''
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함수 $$f(x)=x^3-3x^2+3x$$에 대하여 $$\displaystyle\int_1^2 |f(x)-f^{-1}(x)|\;{\rm d}x$$의 값을 구하시오.
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- [풀이 보기]
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$$f'(x)=3(x-1)^2$$이므로 $$f(x)$$의 그래프는 다음과 같다.
[image]$$\begin{aligned}\displaystyle\int_1^2 |f(x)-f^{-1}(x)|\;{\rm d}x&=2\int_1^2 |f(x)-x|\;{\rm d}x\\&=2\int_1^2 \{x-f(x)\}\;{\rm d}x\\&=2\int_1^2 (-x^3+3x^2-2x)\;{\rm d}x\\&=2\biggr[-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x^2\biggr]^2_1\\&=2\left\{0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right\}\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$$
한편, 위의 계산은 공식으로 더욱 간단히 해결할 수 있다. 이 공식에 대해서는
다항함수/추론 및 공식#s-4.4 참고.
$$\begin{aligned}2\int_1^2 (-x^3+3x^2-2x)\;{\rm d}x=2\left\{\dfrac{|1|}{4}(2-1)^4\right\}=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$$
'''[문제]'''
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함수 $$f(x)=x^3+x-1$$의 역함수를 $$g(x)$$라 할 때, $$\displaystyle\int_1^9 g(x)\;{\rm d}x$$의 값을 구하시오.
'''2012년 7월 교육청 학력평가 수리 나형 21번''' 변형[1]
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- [풀이 보기]
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[image]$$\displaystyle{\color{purple}\int_{f(1)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x}={\color{turquoise}2f(2)}-{\color{goldenrod}1f(1)}-{\color{red}\int_1^2 f(x)\; {\rm d}x}$$
$$\therefore\displaystyle{\color{purple}\int_{1}^{9}g(x)\;{\rm d}x}={\color{turquoise}2\cdot 9}-{\color{goldenrod}1\cdot 1}-{\color{red}\dfrac{17}{4}}=\dfrac{51}{4}$$
$$\therefore\displaystyle{\color{purple}\int_{1}^{9}g(x)\;{\rm d}x}={\color{turquoise}2\cdot 9}-{\color{goldenrod}1\cdot 1}-{\color{red}\dfrac{17}{4}}=\dfrac{51}{4}$$}}}}}}
5. 무한급수를 정적분으로 나타내기
'''문제 1: $$\displaystyle{\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(1+\displaystyle\frac{5k}{n}\right)^2\displaystyle\frac{5}{n}}$$를 정적분의 꼴로 고치시오.'''
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$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$
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정적분의 정의를 상기하면서 식의 어떤 자리에 어떤 수나 문자가 있는지 따져 보면 된다.
여기에서, $$x_k$$가 $$x$$로 변하고 $$\Delta x$$가 $${\rm d}x$$가 된다는 점을 상기해야 한다. $$\Delta x$$란 본디 $$\displaystyle\frac{b-a}{n}$$의 꼴이므로 문제의 식에서는 $$\displaystyle\frac{5}{n}$$라고 할 수 있다. 그러면 $$x_k=a+\displaystyle\frac{b-a}{n}k=1+\frac{5k}{n}$$가 된다. 따라서 문제의 식에 있는 $$\left(\displaystyle 1+\frac{5k}{n}\right)^2$$을 그대로 $$\displaystyle x^2$$으로 바꿔서 쓰면 된다.
이제 위끝과 아래끝을 결정할 차례이다. 앞서 말했듯이 $$x_0=a$$, $$x_n=b$$이므로 $$a=1+\dfrac{5⋅0}{n}=1$$, $$b=1+\dfrac{5⋅n}{n}=6$$이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면
$$\displaystyle\int_1^6 x^2\,{\rm d}x$$}}}
'''문제 2: $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{n+4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$$을 정적분의 꼴로 고치시오.'''
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$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$
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$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{n+4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$$
$$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$$
문제 1에서는 $$\left(1+\dfrac{5k}{n}\right)^2\dfrac{5}{n}$$ 식으로, $$\dfrac{5}{n}$$가 두 번 보였기 때문에 그대로 $$\Delta x=\dfrac{5}{n}$$로 놓으면 $$x_k$$까지 순조롭게 정해졌었다. 그러나 문제 2는 $$f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n}$$ 식으로, $$\dfrac{4}{n}$$도 보이고 $$\dfrac{1}{n}$$도 보인다. 이 경우 둘의 수를 통일해야 문제 1과 같이 정적분의 꼴로 바꿀 수가 있을 것이다. 그러면 $$\dfrac{4}{n}$$로 통일할까, $$\dfrac{1}{n}$$로 통일할까? 당연히 $$\dfrac{4}{n}$$로 통일해야 한다. 그러는 편이 비교도 안 되게 쉽기 때문이다.
$$\displaystyle\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{4}{n}$$
와 같이 $$\dfrac{1}{4}$$이라는 상수를 앞으로 넘겨주기만 하면 끝이다. 계속 계산하면
문제 1과 같이, $$\Delta x=\dfrac{4}{n}$$로 놓을 수 있고, $$x_k=1+\dfrac{4k}{n}$$가 된다. $$a=x_0=1$$, $$b=x_n=4$$이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면
$$\displaystyle\frac{1}{4}\int_1^5 f(x) \,{\rm d}x$$ }}}
'''문제 3: $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{2k^3}{n^4}\right)$$의 값을 정적분을 이용하여 구하시오.'''
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$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$
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$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{2k^3}{n^4}\right)$$
$$=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{2}{n}$$
문제 2와 마찬가지로 수를 통일해 주어야 한다. $$\dfrac{1}{n}$$과 $$\dfrac{2}{n}$$가 보이는데, 상수 $$2$$를 앞으로 넘겨서 $$\dfrac{1}{n}$$로 통일하자.
$$=2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{1}{n}$$
$$a$$의 값을 찾을 수 있겠는가? $$\dfrac{k}{n}$$ 바로 앞에는 $$\boldsymbol {0+}$$가 생략되어 있는 것으로 보면 $$a=0$$임을 알 수 있다. $$b-a=1$$이므로 $$b=1$$이고 $$\Delta x=\dfrac{1}{n}$$이다. 그러면 자연스럽게 $$x_k=\dfrac{k}{n}$$가 된다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면
$$2\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x$$
이를 계산하면
$$2\left[\dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1$$
$$=2(\dfrac{1}{4}-0)$$
$$=\dfrac{1}{2}$$
}}}
'''2020학년도 9월 평가원 모의고사 수학 나형 19번'''에 출제된, 아주 색다른 형태이다. 다음 식을 정적분의 꼴로 고쳐서 답을 구해 보자.
[image]- 【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】
$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$
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$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\cfrac1n}{1+\cfrac{k}{n}}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\\&=\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{1+x}\;{\rm d}x\\&=\int_0^1 4x^3\;{\rm d}x\\&=1\end{aligned}$$
사실 이 문제를 푸는 편법이 있는데,
대학수학능력시험/수학 영역/여담#s-9.1 참고.}}}
때때로 이런 문제도 나온다. 정적분의 정의에 등장하는 $$\sum$$가 보이지 않는다.
'''문제 4: $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^3+(n+2)^3+\cdots+(2n)^3}{1^3+2^3+\cdots+n^3}$$의 값을 정적분을 이용하여 구하시오.'''
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$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$
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당황할 것 없이, $$\sum$$로 식을 다시 나타내면 된다.
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k^3}$$
사실 이 상태로는 정적분으로 나타낼 수가 없다. 앞서 문제를 풀어 보았듯이, $$\dfrac{b-a}{n}k$$와 $$\dfrac{b-a}{n}$$의 꼴이 나와야 $$\Delta x$$나 $$x_k$$를 정하기 쉬우므로 그에 맞게 식을 변형해 보자. 분모와 분자를 $$n^4$$으로 나누는 것이다.
$$=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{(n+k)^3}{n^4}} }{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{k^3}{n^4}} }=\dfrac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(1+\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}}$$
$$=\dfrac{\displaystyle\int_1^2 x^3 \,{\rm d}x}{\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x}=\dfrac{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_1^2}{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_0^1}$$
$$=\dfrac{4-\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{4}-0}$$
$$=15$$}}}
한편 대학 과정의
스틸체스 적분을 사용하면 의외로 쉬워지는데, 적분구간을
[math(\mathbb N)], 미분계수를 $${\rm d}\lfloor x\rfloor$$로 두고 본래 식 그대로 꼬라박으면 된다(...).
[2] 예컨대 예제 1의 식은 \displaystyle \int_{\mathbb N} \left(1+\frac{5k}{n}\right)^2 \frac{5}{n}\,{\rm d}\lfloor n\rfloor가 된다. 식에 k가 그대로 남아있는데, 저 k에 소수 같은 특정 수를 대입해서 '정적분으로 정의된 함수'로 써먹는 식이다.
문제 출제자 입장에선
무슨 지거리야 싶겠지만, 저런 꼴의 적분은
해석적 정수론에서 많이 쓰므로 나름대로 일리는 있다.
[3] 멀리 갈 것도 없이 제타 함수가 저런 꼴이다.
[image]
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'''2013년 10월 B형 20번'''
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$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$
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||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> $$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned}$$ ||}}}
6. 정적분으로 정의된 함수
6.1. 오개념: 정적분으로 정의된 함수의 변수
정적분으로 정의된 함수에는 문자가 두 개 이상 나오다 보니 정적분의 개념을 정확히 모르면 무엇이 상수이고 무엇이 변수인지 헷갈리기 십상이다.
'''문제: 다음 중 다른 하나는?'''
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1. $$y=\displaystyle\int_1^x tf(t)\,{\rm d}t$$
2. $$y=\displaystyle\int_1^x af(a)\,{\rm d}a$$
3. $$y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t$$
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1번은 함수 $$y=tf(t)$$
[4] 사실 꼭 종속 변수를 y로 써야 할 이유는 없다! y=tf(t)이든 a=tf(t)이든 쓰는 사람 마음이며 수학적으로 전혀 틀린 게 아니다. 그러나 관습적 표기를 따라서 종속 변수를 y로 쓰기로 한다.
를 1부터 $$x$$까지 정적분한 값을 뜻한다. 2번은 함수 $$y=af(a)$$라는 함수를 1부터 $$x$$까지 정적분한 값을 뜻한다. 3번 역시 마찬가지로 함수 $$y=xf(x)$$를 1부터 $$x$$까지 정적분한 값을 뜻한다. 그러나 3번이 1번 및 2번과 다른 점은, 문자 $$x$$가 '''상수'''라는 것이다! 잘 이해가 안 되면 다음 그래프를 보자.
[image]여기에서 첫째 그래프와 둘째 그래프를 보면, 모든 것이 똑같고 가로축의 변수를 표기한 문자만이 다르다. 가로축의 변수를 무슨 문자로 쓸 것인지는 완전히 임의적인 것이기에, $$a$$로 쓰든 $$t$$로 쓰든 '꽦'으로 쓰든(...) 하등 문제는 없고, 실질적인 계산에서도 문자만 달라질 뿐, 그 달라진 문자가 계산에 전혀 영향을 주지 않는다. 그러나 셋째 그래프는 이야기가 다르다. 그래프의 함수식이, 가로축의 변수 $$t$$에 관한 식이 아니고 아예 새로운 문자 $$x$$에 관한 식이기에 이는 '''상수함수'''이다. $$x=1$$이면 $$y=f(1)$$을 1부터 1까지 정적분한 값을 구하고, $$x=100$$이면 $$y=100f(100)$$을 1부터 100까지 정적분한 값을 구하는 것이다. 상수함수는 $$x$$축과 평행하므로, 정적분으로 구하고자 하는 도형은 항상 직사각형이 된다. 따라서 $$y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t$$는 $$y=x(x-1)f(x)$$나 다름없다.
'''문제: 다음 함수는 무엇에 관한 함수인가?'''
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1. $$y=\displaystyle\int_1^x tf(t)\,{\rm d}t$$
2. $$y=\displaystyle\int_1^x af(a)\,{\rm d}a$$
3. $$y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t$$
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이 역시 그래프를 보며 생각해 보자.
[image]세 그래프 모두, $$x$$의 값에 따라 빨간색 부분의 넓이($$y$$값)이 달라지므로, 곧 정적분의 값도 달라짐을 알 수 있을 것이다. 따라서 1번, 2번, 3번 함수 모두 '''$$\boldsymbol x$$에 관한 함수이다.''' $$t$$니 $$a$$니 다른 문자들이 같이 등장해도 $$t$$에 관한 함수, $$a$$에 관한 함수로 착각하면 절대 안 된다.
아직도 헷갈린다면
미적분의 기본정리의 내용을 생각해 보자. 앞서 말했듯이 $$\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_a^x f(t) \,{\rm d}t=f(x)$$이다.
정적분으로 정의된 저 함수를 '''$$\boldsymbol x$$에 관해 미분'''했더니 '''$$\boldsymbol x$$에 관한 함수'''가 나오지 않는가. 그러므로 좌변의 함수는 $$t$$에 관한 함수가 결코 아니고, $$x$$에 관한 함수라는 식으로 이해하면 까먹지 않을 것이다. 그러나 이렇게 되는 이유가 뭐냐고 물어보면 결국 위의 설명을 이해하고 있어야 제대로 대답할 수 있다. 다시 말해서 이렇게'''만''' 공부하지 말고, 위의 설명을 이해하는 것이 훨씬 중요하다는 말이다.
정적분으로 정의된 함수가 등장하는 문제 중 가장 기본적이다.
'''문제: $$\displaystyle\boldsymbol {f(x)=2x^3+3x^2+4x+\int_{0}^2 f(x) \,{\bold d}x}$$일 때, $$\boldsymbol {f(2)}$$의 값을 구하시오.'''
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$$f(2)$$의 값을 구하려면 먼저 $$f(x)$$를 알아야 하는데, $$f(x)$$를 알려면 $$\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,{\rm d}x$$의 값을 알아야 한다. 그런데 $$\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,{\rm d}x$$의 값을 알려면 $$f(x)$$를 알아야 한다! 이런
무한 루프를 극복하는 테크닉은 다음과 같다.
'''먼저 $$\displaystyle\boldsymbol{\int_{0}^2 f(x) \,{\rm d}x=k}$$로 놓는다.'''
그러면 $$f(x)=2x^3+3x^2+4x+k$$가 된다.
$$f(x)$$의 부정적분을 $$F(x)$$라고 하면, $$F(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^4+x^3+2x^2+kx$$
$$\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,{\rm d}x=F(2)-F(0)=\displaystyle\frac{1}{2}⋅2^4+2^3+2⋅2^2+2k=2k+24$$
$$\therefore k=2k+24, k=-24$$
$$\therefore f(x)=2x^3+3x^2+4x-24, f(2)=12$$
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