다항함수/추론 및 공식
1. 개요
중·고등학교 수학과 교육과정에서 다루는 다항함수의 범위는 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수[1]인데, 이와 관련하여 교육과정에서 직접적으로 다루지는 않는 유용한 팁들을 기재하는 문서이다.[2] 이러한 팁들을 사용하면 한국교육과정평가원이 실시하는 시험(수능, 임용고시[3], 수능 모의평가 등)에서 나오는 고난도 문항[4]에서 다항함수의 차수, 그래프의 개형 및 위치를 추론하기 편해진다. 현 교육과정(2015 개정 교육과정)에서는 수학Ⅱ의 '미분적분학' 파트[5]와 연계도가 짙으며, 2022 수능부터 공통 출제 범위이다.[6] 이 문서를 읽기에 앞선 배경 지식은 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수를 참고하라. 또한, 해당 내용과 관련된 평가원이나 교육청의 고교 수능형 기출 문제를 예제로 실었다.
2. 추론
이 문단에서는 다항함수의 차수나 개형을 추론하게 해주는 단서를 소개한다.
2.1. 개형
2.1.1. 점대칭(홀함수)
임의의 실수 $$t$$, $$a$$, $$b$$에 대하여 다음이 성립한다.
일차함수 $$f(x)$$와 임의의 실수 $$a$$에 대하여 다음이 성립한다.
이를 증명하여 보자. $$f(x)=px+q$$라고 하면,
$$\begin{aligned} p(x-a)+q+p(x+a)+q&=2px+2q \\ &=2(px+q) \\&=2f(x) \end{aligned}$$
[1] 5차부터는 브링 근호 같은 특수함수를 이용해야 한다.[2] 이러한 팁들은 교과서는 물론이고 수능 연계 교재에도 잘 언급되지 않는 내용인데, EBSi 모의고사 해설 강의에서는 그나마 알려주기는 한다.[3] 트렌드는 조금 다르다.[4] 한국교육과정평가원의 경향을 반영하는 사설 모의고사 또는 학교 시험에서도 출제될 수 있다.[5] 2단원 미분 단원 중 도함수의 활용 부분이다.[6] 2017 수능 ~ 2021 수능 시기에서는 문과(수학 나형)만의 직접 출제 범위였으며, 이과(수학 가형)은 간접 출제 범위에 그쳤다. 하지만 2021년에 실시되는 2022 수능부터는 문·이과 공통 범위가 되었으므로 수능을 치를 고등학생이라면 누구도 소홀히 해서는 안 될 것이다.[7] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 0인 경우가 있는데, [math(y={\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]가 그 예이다.
2.1.2. 좌우 대칭(짝함수)
임의의 실수 $$a$$에 대하여 다음이 성립한다.
2.1.3. 일대일대응
모든 일차함수와, 일부 삼차함수[8]는 일대일대응이며, 상수함수, 이차함수, 사차함수는 일대일대응이 될 수 없다.
접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않아야만 일대일대응인 것은 아님에 유의해야 한다. 접선의 기울기가 0인 점이라고 해서 꼭 감소하다가 증가하거나 증가하다가 감소하는 것이 아니기 때문이다. 예를 들어 [math(y=x^3)]은 $$x=0$$에서의 접선의 기울기가 0이지만 틀림없이 증가함수이며, 따라서 일대일대응이다. 대신 이 경우 역함수의 도함수는 해당 점이 특이점#s-2.1이 된다.(즉, 기울기가 발산한다) $$y=x^3$$의 역함수의 도함수
그러나 미분가능한 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 무조건 일대일대응이다. 우선, 일대일대응이 되지 않으려면 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가해야 한다. 그러기 위해서 함수 $$f(x)$$의 그래프는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가하는 부분에서 접선의 기울기가 어느 한 순간 반드시 0이 되어야만 한다. 그런데 어떤 함수의 그래프에 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으면 그 함수는 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가할 여지 자체가 없어지고, 이는 곧 함수 $$f(x)$$가 일대일대응이 될 수밖에 없다는 뜻이다.
결국 '접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않는다'는 '일대일대응이다'의 충분조건일 뿐이지, 결코 필요충분조건은 아니다. 다시 말해서 이 두 진술을 완전히 같은 의미로 받아들여 서로 치환할 수는 없는 노릇이다.
2.1.4. 오목·볼록
닫힌 구간 $$[a,\,b]$$에서 연속인 함수 $$f(x)$$에 대하여 두 양수인 상수 $$m$$, $$n$$에 대하여 다음이 성립한다.
각 수식의 의미를 먼저 파악해보자.
$$\displaystyle \frac{mb+na}{m+n} $$
는 해당 내분점의 $$x$$좌표에 대한 $$f(x)$$의 함숫값이다.
이번에는 두 점 $$(a,\,f(a))$$, $$(b,\,f(b))$$를 연결하는 직선 $$l$$을 생각한다. 위에서 구한 내분점의 $$x$$좌표에 대한 직선 위의 점은 곧 두 점 $$(a,\,f(a))$$, $$(b,\,f(b))$$를 $$m:n$$으로 내분하는 점이다.[10] 따라서 해당 점의 $$y$$좌표는
$$\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n} $$
[10] 직접 $$\biggl( \dfrac{mb+na}{m+n},\,0 \biggr)$$을 직선 $$l$$의 방정식 $$y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$$에 대입하여 구해봐도 되지만 닮음에 의하여 $$m:n$$으로 내분하는 점임이 명백하다.
- $$x$$축 위의 내분점의 $$x$$좌표에 대한 직선 $$l$$ 위의 함숫값 $$\dfrac{mf(b)+nf(a)}{m+n}$$
- $$x$$축 위의 내분점의 $$x$$좌표에 대한 $$f(x)$$의 함숫값 $$\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr)$$
곡선의 오목·볼록의 정의에 따라 구간 내에서 아래로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 $$l$$보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 아래에 있으므로
$$\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) $$
$$\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) $$
[image]
닫힌 구간 $$[a,\,b]$$에서 연속인 함수 $$f(x)$$에 대하여 다음이 성립한다.
이를 쉽게 생각하기 위해서 $$f(x) \geq 0$$이라는 제약을 걸고 분석을 해보자. 우선 수식
의 의미를 파악해보자. 이는 구간 $$[a,\,b]$$에서 높이가 $$b-a$$이고, 윗변과 아랫변의 길이가 각각 $$f(a)$$, $$f(b)$$인 사다리꼴의 넓이가 된다.[11] 이 사다리꼴은 $$x$$축, $$x=a$$, $$x=b$$, $$(a,\,f(a))$$, $$(b,\,f(b))$$를 지나는 직선 $$l$$ 이렇게 네 직선으로 둘러싸인 도형이다.
또한 수식
$$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=T$$
함수가 아래로 볼록할 경우 구간 $$[a,\,b]$$의 함숫값은 직선 $$l$$보다 아래에 위치하므로 $$S < T$$, 위로 볼록할 경우 위에 위치하므로 $$S>T$$인 것이다.
단, $$f(x) \leq 0$$인 경우에는 $$S$$, $$T$$를 영역의 넓이에 '''음의 부호'''를 붙인 것임에 유의하자. 이 경우에도 위 수식은 성립한다.
모든 경우가 포함된 경우에도 위 수식은 성립하며, 한 영역을 $$f(x) \geq 0$$ 혹은 $$f(x) \leq 0$$인 구간으로 나누고 적용한 결과를 종합하면 이를 증명할 수 있다.
$$f(x) \geq 0$$일 때 $$(\rm a)$$의 아래로 볼록한 경우와 $$(\rm b)$$의 위로 볼록한 경우에 대한 위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다.
[image]
한편 오목·볼록을 판별할 수 없는 함수도 있다. 다항함수의 경우는 상수함수가 그 예이며[12], 이외에는 디리클레 함수 같은 완전 불연속함수나 바이어슈트라스 함수 같은 병리적 연속함수가 또 다른 예이다.
2.2. 차수
2.2.1. 상수함수
임의의 실수 $$a$$, $$b$$ ($$a<b$$)에 대하여 다음이 성립한다.
상수함수의 함숫값은 일정하여 $$f(a)=f(b)$$인바 위의 두 표현은 결국 같은 말이다. 위의 표현은 일차함수에도 해당되는 표현인 반면 아래의 표현은 상수함수에만 해당된다. 다만 반례가 있기 때문에 함수열을 잘 확인해야 한다.
이를 증명하여 보자. $$f(x)=k$$로 놓으면 $$f(a)=f(b)=k$$이므로
$$\begin{aligned} \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=(b-a)\dfrac{2k}{2}\\&=k(b-a) \end{aligned}$$
[12] 상수함수는 실수 전체의 집합에서 함숫값이 일정하므로 $$\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2} \boldsymbol{=} f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) $$이다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\\&=kb-ka\\&=k(b-a) \\ \\ \therefore\displaystyle \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x\end{aligned} $$
[좌표평면상에서 분석해보기]
상수함수의 함숫값은 일정하므로 무조건 $$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=\cdots$$이기 때문이다.
2.2.2. 일차함수
다항함수 중에서 이를 만족시키는 함수는 '''일차함수밖에 없다.''' 이 식의 증명과 의미는 앞서 밝혔으므로 생략한다.
이를 증명하여 보자. $$f(x)=px+q$$라고 하면 $$f(x)$$의 역도함수는 $$F(x)=px^2/2+qx$$이다. 따라서
$$\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \\&=\displaystyle \left(\frac{1}{2}pb^2+qb \right)-\left(\frac{1}{2}pa^2+qa \right) \\&=\left\{\dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)\right\}+\{q(b-a)\} \\&= \displaystyle\frac{b-a}{2}\{p(a+b)+2q\} \\&=\frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned} $$
[13] 사실 꼭 $$a\leq b$$이어야 할 필요는 없으나, 앞으로의 설명을 돕기 위한 그래프에서 $$a\leq b$$로 상정할 필요가 있어 이러한 단서를 달아놓는다.
[좌표평면상에서 분석해보기]
[관련 예제]
이는 문제에서 제시된 조건 $$f(0)=1$$과 모순이다. 따라서 $$f(x)$$는 상수함수가 아니며, 일차함수이다.}}}
2.2.3. 이차함수
모든 이차함수는 대칭축에 대해 대칭이기 때문에 그렇다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 이차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 이차함수로 단정해서는 안 된다. 예를 들어 사차함수 중에서도 좌우 대칭인 경우가 있다.(예시 1, 예시 2) 고등학교에서는 오차 이상의 다항함수, 짝함수인 특수함수는 다루지 않으므로, 고등학교 과정의 문제에서 찾고자 하는 함수가 다항함수라고 명시되어 있다면[14] 이차함수 혹은 사차함수일 확률이 매우 높다.
2.2.4. 삼차함수
모든 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 다음이 성립한다.
한편, 삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$에 대하여 다음이 성립한다.
근과 계수의 관계는 $$n$$중근을 '''값이 같은 근 $$\boldsymbol n$$개'''로 간주하여 계산하는 것임에 유의해야 한다. 예를 들어 $$f(x)=0$$이 삼중근 $$x=k$$를 가지면, 근의 합은 $$3k$$가 된다.
2.2.5. 사차함수
예시 1, 예시 2, 예시 3, 예시 4처럼 좌우 대칭인 개형의 사차함수는 임의의 실수 $$a$$에 대하여 다음을 만족시킨다.
사차함수 $$f(x)$$가 예시 1, 예시 2와 같은 개형이면 $$f(a)$$는 극솟값, 예시 3, 예시 4와 같은 개형이면 $$f(a)$$는 극댓값이다. 그러나 모든 좌우 대칭 함수가 사차함수인 것이 아니기에, 이 단서만 보고 사차함수로 단정해서는 안 된다.
2.3. 반례
위 단서의 일부 혹은 전부가 다항함수가 아닌 다른 함수의 특성을 띠는 반례가 존재한다. 다시 말해서 다항함수로 단정하기에는 너무 조건이 약하다.[15] 이런 반례는 주로 실해석학에서 다룬다.
- 상수함수: 계단함수([math({\rm sgn}(x))], [math(\pi(x))], [math(u(x))] 등)가 있다. 적분열 일부가 상수함수와 일치한다. 계단함수는 아니지만 디리클레 함수 $${\bold 1}_{\mathbb Q}(x)$$는 두 끝점이 무리수라는 조건 하에 위의 상수함수의 공식이 성립한다.
- 일차함수: 일차함수가 아닌 선형함수( ], [math(x - \lfloor x \rfloor)], [math(xu(x))] 등)가 있다.
- 삼차함수: 삼차함수 중 일부 개형과 닮은꼴인 함수([math(\sinh x)], [math({\rm artanh}\, x)], [math({\rm erfi}(x))], [math({\rm igd}(x))], [math({\rm Shi}(x))] 등)가 있다. 홀함수라는 점만 본다면 다항함수가 아닌 홀함수([math({\rm sgn}(x))], [math(\sin x)], [math({\rm erf}(x))], [math({\rm Si}(x))], $$S(x)$$, [math(C(x))] 등)도 있다.[16]
- 이차함수, 사차함수: 다항함수가 아닌 짝함수( ], [math(\cos x)], [math(\cosh x)], [math(e^{-x^2})] 등)가 있다.[17] 특히 $$\cos x$$의 경우는 일부분만 그리는 경우가 많아[18] 개형만 보면 차수 많은 다항함수로 오해하기 딱 좋다. $$\cosh x$$ 역시 이차함수와 그래프의 개형이 닮았기 때문에[비교] 혼동이 잦다.
[image]
3. 공식
이 문단에서는 위 내용과 달리 이미 다항함수의 차수나 그래프의 개형이 알려져 있을 때 적용할 수 있는 공식을 소개한다. 경우에 따라 적용할 수 있는 공식이 다르다.
3.1. 길이·거리
3.1.1. 일차함수
우선 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.
$$a^2 + b^2 = h^2$$
[14] 이게 없으면 다항함수가 아닌 초등함수($$\cos x$$, $$\sin x/x$$, $$e^{-x^2}$$ 등)로 함정을 팔 수 있다.[15] 당장 삼차함수 추론 공식에 $$y=\tan x$$를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다.[16] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[17] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다.[18] 사실 $$\cos x$$는 끝이 없는 주기함수여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다.[비교]
[image][19] 대칭축이 $$x=0$$이니, $$f(-x)=f(x)$$이고 임의의 실수 $$t$$에 대해서 $$\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x$$이므로.[20] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 $$y=0$$이 있는데, 이차·사차함수에는 $$x$$축에 평행한 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.
[image][19] 대칭축이 $$x=0$$이니, $$f(-x)=f(x)$$이고 임의의 실수 $$t$$에 대해서 $$\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x$$이므로.[20] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 $$y=0$$이 있는데, 이차·사차함수에는 $$x$$축에 평행한 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다.
이 $$h$$를 '''유클리드 노름'''(Euclidean norm)[21]이라 하고, 위 표현을
로 바꿀 수 있다. 단, $${\bold x} = [ x_1 \quad f(x_1) ]^T$$, $${\bold y} = [ x_2 \quad f(x_2) ]^T$$[22]이다. 이는 다시 아래와 같이 내적으로 표현할 수 있다.
$$\begin{aligned} h &= \sqrt{ \left< ({\bold y}-{\bold x}),\, ({\bold y}-{\bold x}) \right>} \\ &= \sqrt{ \det(({\bold y}-{\bold x})^{\ast} ({\bold y}-{\bold x})) } \\ &= \sqrt{ \det((\overline{\bold y}-\overline{\bold x})^{T} ({\bold y}-{\bold x})) } \\ &= \sqrt{ {\rm tr}(({\bold y}-{\bold x}) \otimes ({\bold y}-{\bold x})) } \end{aligned} $$
3.1.2. 이차함수
이차함수의 거리를 알기 위해서는 그래프의 '''초점'''(focus)과 '''준선'''(directrix)이라는 보조선이 필요하다.
이차함수 $$y=ax^2 + bx + c$$의 그래프의 초점과 준선은 다음과 같다.
- 초점: $$\left(-\dfrac{b}{2a},\, \dfrac{4ac-b^2+1}{4a} \right)$$
- 준선: $$y = \dfrac{4ac-b^2-1}{4a} $$
[image]
위 식에서 볼 수 있듯 이차함수의 그래프의 꼭짓점과 초점의 거리는 이차함수의 꼭짓점과 준선의 거리와 동일하며, 그 값은 $$(4|a|)^{-1}$$이다.[24]
특기할 만한 점은, 초점과 이차함수 그래프의 임의의 점을 이은 선분을 그리고, 해당 점에서 준선에 수선의 발을 내리면 '''두 선의 길이는 동일하다'''는 것이다. 즉 $$\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$$이다. 이런 성질을 띠는 곡선을 포물선(parabola)이라고 한다.
심화 내용은 포물선 문서를 참고하라.
3.1.3. 삼차함수
[image]
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 $$y=f(x)$$의 그래프에서, 변곡점을 $$\rm P$$, 두 극점을 왼쪽부터 $$\rm Q$$, $$\rm R$$이라 하자.
- 점 $$\rm D$$, $$\rm E$$는 각각 $$y=f(x)$$의 그래프가 $$\rm Q$$, $$\rm R$$에서의 접선과 만나는 점이다.
- 점 $$\rm A$$는 점 $$\rm E$$에서 직선 $$\overline{\rm DQ}$$에 내린 수선의 발이고, 점 $$\rm H$$는 점 $$\rm D$$에서 직선 $$\overline{\rm ER}$$에 내린 수선의 발이다.
- 점 $$\rm F$$는 점 $$\rm Q$$에서 직선 $$\overline{\rm ER}$$에 내린 수선의 발이고, 점 $$\rm C$$는 점 $$\rm R$$에서 직선 $$\overline{\rm DQ}$$에 내린 수선의 발이다.
- 점 $$\rm B$$, $$\rm G$$는 각각 점 $$\rm P$$에서 직선 $$\overline{\rm DQ}$$, $$\overline{\rm ER}$$에 내린 수선의 발이다.
이에 따라 아래와 같은 비율 관계가 유도된다. 이는 삼차함수의 극점의 좌표 또는 극값을 알아낼 때 긴요하게 쓰인다.
$$ \begin{aligned} \overline{\rm AQ}: \overline{\rm QC}: \overline{\rm CD}&=\overline{\rm EF}: \overline{\rm FR}: \overline{\rm RH}=1:2:1 \end{aligned} $$
[image][23] [math(\dag)]로 표기하기도 한다.[24] 즉 최고차항의 계수의 절댓값이 클수록 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작을수록 멀어진다.
마찬가지로, 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 $$y=f(x)$$의 그래프에서, 변곡점을 $$\rm P$$, 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 $$\rm Q$$와 $$\rm R$$, $$y=f(x)$$의 그래프와 $$\rm Q$$와 $$\rm R$$에서의 접선의 교점을 각각 $$\rm B$$, $$\rm A$$라 하자. 이렇게 정의된 다섯 개의 점 $$\rm A$$, $$\rm Q$$, $$\rm P$$, $$\rm R$$, $$\rm B$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발을 각각 $$\rm E$$, $$\rm F$$, $$\rm G$$, $$\rm H$$, $$\rm I$$라 하면 다음이 성립한다.
$$\begin{aligned}\overline{\rm EF}:\overline{\rm FG}: \overline{\rm GH}: \overline{\rm HI}=&1:1:1:1\\\therefore\overline{\rm EF}: \overline{\rm FH}: \overline{\rm HI}=&1:2:1\end{aligned}$$
위 그림과 같은 개형의 삼차함수 $$f(x)$$의 그래프의 두 극점을 왼쪽부터 $$\rm Q$$, $$\rm R$$이라 하고, 변곡점을 $$\rm P$$라 하자. $$\rm P$$를 지나면서 $$x$$축과 평행한 직선에 $$\rm Q$$와 $$\rm R$$에서 내린 수선의 발을 각각 $$\rm B$$, $$\rm C$$라 하자. 또, $$\overline{\rm BC}$$와 $$y=f(x)$$의 그래프의 교점을 왼쪽부터 $$\rm A$$, $$\rm D$$라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.
$$\begin{aligned} \overline{\rm BQ}: \overline{\rm CR}&=1:1 \\ \overline{\rm PB}: \overline{\rm PA}&=\overline{\rm PC}: \overline{\rm PD}=1:\sqrt{3} \end{aligned}$$
[image]나아가 위와 같이 접선의 기울기가 같은 임의의 두 점을 왼쪽부터 $$\rm Q$$, $$\rm R$$이라 하고, 해당 접선과 평행하고 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수의 그래프의 양 끝의 교점을 왼쪽부터 $$\rm A$$, $$\rm B$$라 할 경우에도 위와 같은 비율 관계가 성립한다.
[image]
최고차항의 계수가 $$a$$인 위 그림과 같은 개형의 삼차함수 $$y=f(x)$$에 대하여 $$f'(\beta)=f'(\gamma)=0$$이라 하면 $$l$$의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 다음과 같다.
$$l=\dfrac{|a|}{2}(\beta-\gamma)^{3} $$
한편 앞서 밝힌 비율 관계에 의하여 높이는 아래와 같다.$$\beta-\gamma =\dfrac{2}{3}(\beta-\alpha) \; \to \; l=\dfrac{|4a|}{27}(\beta-\alpha)^{3}$$
3.1.4. 사차함수
3.1.4.1. 개형 1
[image]
위 그림과 같은 개형의 사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프 위의 접선의 기울기가 0인 두 점을 왼쪽부터 $$\rm P$$, $$\rm Q$$라 하자. 이때, 점 $$\rm Q$$에서 점 $$\rm P$$의 접선에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$, $$\rm\overline {PH}$$와 $$y=f(x)$$의 교점 중 $$\rm P$$가 아닌 것을 $$\rm R$$이라 하면, 다음의 비율 관계가 성립한다.
$$ \begin{aligned} \overline{\rm PH}: \overline{\rm HR}=3:1 \end{aligned} $$
[image]
[image]
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 $$a$$인 사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 $$(\alpha,\,0)$$에서 접선의 기울기가 0이고, $$x=\beta$$에서 극솟값을 갖는다고 하자. 이때, $$l$$의 길이는 아래와 같다.
3.1.4.2. 개형 2
[image]
위 그림과 같은 개형의 사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프의 극소점 두 개를 왼쪽부터 $$\rm P$$, $$\rm Q$$라 하고, 극대점을 $$\rm R$$이라 하자. 또, $$\rm R$$에서 $$\rm P$$와 $$\rm Q$$의 공통 접선에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라 하면, 다음과 같은 비율 관계가 성립한다.
$$ \begin{aligned} \overline{\rm PH}: \overline{\rm HQ}=1:1 \end{aligned} $$
[image]
[image]
위 그림과 같은 개형의 사차함수의 그래프 $$f(x)$$의 극소점 두 개를 왼쪽부터 $$\rm P$$, $$\rm Q$$라 하고, 극대점을 $$\rm R$$이라 하자. 또, 점 $$\rm R$$의 접선이 $$f(x)$$의 그래프와 만나는 점을 왼쪽부터 $$\rm A$$, $$\rm B$$라 하고, $$\rm P$$, $$\rm Q$$에서 해당 접선에 내린 수선의 발을 왼쪽부터 $$\rm H$$, $$\rm I$$라 하자. 이때, 아래와 같은 비율 관계가 성립한다.
$$\overline{\rm RH}: \overline{\rm RA}=\overline{\rm RI}: \overline{\rm RB}=1:\sqrt{2}$$
[image]
[image]
개형이 위 그림과 같고, 최고차항의 계수가 $$a$$인 사차함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 $$x=\alpha$$에서 극솟값을, $$x=\beta$$에서 극댓값을 갖는다고 하자. 이때 $$l$$의 길이, 곧 극댓값과 극솟값의 차는 아래와 같다.
3.2. 넓이
넓이 공식에서는 하나같이 $$(\beta-\alpha)^n$$ 꼴의 식이 나오는데, $$n$$차함수에 대한 넓이 공식에서는 $$(\beta-\alpha)^{n+1}$$이 나온다는 규칙을 상기하면 암기하기 편하다.
3.2.1. 이차함수
[image]
$$a$$가 $$f(x)$$의 최고차항의 계수일 때, $$\rm (a)$$의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{2⋅3}(\beta-\alpha)^3$$
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{2⋅3}(\beta-\alpha)^3$$
최고차항의 계수가 $$a$$인 이차함수 $$f(x)$$의 그래프 위의 두 점 $$(\alpha, \, 0)$$과 $$(\beta, \, 0)$$[25]에서 각각 접하는 두 직선과 $$x$$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 $$\Sigma S$$라고 하면, 다음의 넓이 관계가 성립한다.
$$\displaystyle \Sigma S :S_{1}:S_{2}=3:2:1$$
[25] 그림에서는 이차함수의 그래프와 $$x$$축의 교점을 왼쪽부터 $$\alpha$$와 $$\beta$$로 놓았기에 $$y$$좌표가 [math(0)]이 되지만, 꼭 $$y$$좌표가 [math(0)]이어야 할 필요는 없으며 두 점의 $$y$$좌표가 그저 같기만 하면 된다.
$$\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 \\ S_{2}&=\frac{1}{2}S_{1}=\frac13\Sigma S\\&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \\ \Sigma S&=S_{1}+S_{2}\\&=\frac{3}{2}S_1=3S_2\\&=\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3\end{aligned}$$
$$\displaystyle \frac{1}{2} l (\beta-\alpha) =\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^3 \; \to \; l=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^2$$
[관련 예제]
3.2.2. 삼차함수
[image]
그래프의 개형이 위 그림과 같고 최고차항의 계수가 $$a$$인 삼차함수 $$y=f(x)$$에 대하여, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3⋅4}(\beta-\alpha)^4 $$
나아가 그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 $$y=f(x)$$와, 일차함수 $$g(x)$$에 대하여, $$a$$를 $$f(x)-g(x)$$의 최고차항의 계수라 하면, 색칠된 부분의 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3⋅4}(\beta-\alpha)^4$$
최고차항의 계수가 $$a$$인 삼차함수 $$y=f(x)$$의 그래프의 개형이 $$(\rm a)$$와 같을 때, $$y=f(x)$$의 그래프의 $$x$$절편을 왼쪽부터 $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$라 하면 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,{\rm d}x \right|=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3} \left( \gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ S_{2}&=\left| \int_{\beta}^{\gamma} f(x)\,{\rm d}x \right|=\frac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left( \frac{\beta+\gamma}{2}-\alpha \right) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} \{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x \right|\\&=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^{3} \left( \gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ S_{2}&=\left| \int_{\beta}^{\gamma} \{f(x)-g(x)\}\,{\rm d}x \right|\\&=\frac{|a|}{6}(\gamma-\beta)^{3} \left( \frac{\beta+\gamma}{2}-\alpha \right) \end{aligned} $$
3.2.3. 사차함수
[image]
위 그림의 $$\rm (a)$$에서 최고차항의 계수가 $$a$$인 $$f(x)$$의 그래프가 $$x=\alpha$$와 $$x=\beta$$에서 $$x$$축과 만날 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5$$
나아가 일차함수 $$g(x)$$에 대하여 $$a$$가 $$f(x)-g(x)$$의 최고차항의 계수일 때, $$\rm (b)$$의 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5$$
위 그림의 $$\rm (a)$$에서 최고차항의 계수가 $$a$$인 $$f(x)$$의 그래프가 $$x=\alpha$$에서 $$x$$축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5$$
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{4⋅5}(\beta-\alpha)^5$$
위 그림의 $$\rm (a)$$와 같이 최고차항의 계수가 $$a$$인 $$f(x)$$의 그래프가 $$x=\alpha$$와 $$x=\beta$$에서 $$x$$축에 접할 때, 색칠된 영역의 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{5⋅6}(\beta-\alpha)^5$$
$$\displaystyle \left|{\int_{\alpha}^\beta \{f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{5⋅6}(\beta-\alpha)^5$$
위 그림과 같이 사차함수 $$f(x)$$의 그래프가 $$x=\alpha$$와 $$x=\beta$$에서 $$x$$축과 만나고, 이 두 교점에서 각각 접선을 그어 삼각형을 만들면, 다음의 넓이 관계가 성립한다. 단, $$\Sigma S=S_{1}+S_{2}$$이다.
위의 내용을 종합하면,
$$\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\frac{|a|}{20}(\beta-\alpha)^5\\ S_{2}&=\frac32S_{1}=\frac35\Sigma S\\&=\frac{3|a|}{40}(\beta-\alpha)^5 \\ \Sigma S&=S_{1}+S_{2}\\&=\frac52S_1=\frac53S_2\\&=\frac{|a|}{8}(\beta-\alpha)^5\end{aligned}$$
$$\displaystyle \frac{1}{2} l (\beta-\alpha) =\frac{|a|}{8}(\beta-\alpha)^5 \; \to \; l=\frac{|a|}{4}(\beta-\alpha)^4$$
3.2.4. 여러 차수
[image]
위 그림과 같은 $$n$$차함수 $$f(x)=a(x-\beta)^n$$의 그래프[26] $$y=f(x)$$에 대하여 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left|{\int_{\alpha}^\beta f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+1} \\ S_{2}&=\left|{\int_{\beta}^\gamma f(x) \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{n+1}(\gamma-\beta)^{n+1} \end{aligned}$$
[image]
위 그림과 같은 개형의 짝수 차수 함수 $$y=f(x)$$의 그래프가 기울기가 0이 아닌 직선 $$y=g(x)$$와 $$(\beta,\,\, f(\beta))$$에서 접한다고 하자. $$f(x)-g(x)$$의 최고차항의 계수를 $$a$$라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} S_{1}&=\left|{\int_{\alpha}^\beta \{ f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3 \\ S_{2}&=\left|{\int_{\beta}^\gamma \{ f(x)-g(x)\} \,\mathrm{d}x}\right|=\displaystyle\frac{|a|}{3}(\gamma-\beta)^3 \end{aligned}$$
위 그림과 같은 변곡점 $$(\alpha,\, f(\alpha))$$를 기준으로 점대칭인 홀수 차수 함수 $$f(x)$$의 그래프와, 변곡점 $$(\alpha,\, f(\alpha))$$를 지나는 임의의 직선 $$g(x)$$의 교점 중 오른쪽의 것을 $$(\beta,\, f(\beta))$$라고 하자. $$f(x)-g(x)$$의 최고차항의 계수를 $$a$$라 하면, 색칠된 영역의 넓이는 다음과 같다.
$$S_1=S_2=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} |f(x)-g(x)|\;{\rm d}x=\dfrac{|a|}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+1}$$
3.3. 길이와 넓이의 관계
이 문단에서는 위에서 설명한 길이 공식과 넓이 공식의 관계를 설명하므로 위 문단의 내용을 먼저 참고하라.
3.3.1. 이차함수·삼차함수
[image]
그래프의 개형이 위 그림과 같은 삼차함수 $$y=f(x)$$와 그 도함수 $$y=f'(x)$$에 대하여, 도함수의 그래프의 $$x$$절편을 왼쪽부터 $$\alpha$$, $$\beta$$라 하고, $$f(x)$$의 최고차항의 계수를 $$a$$라 하면, $$f'(x)$$의 최고차항의 계수는 $$3a$$이므로 색칠된 부분의 넓이 $$S$$와 $$y=f(x)$$의 극댓값과 극솟값의 차 $$l$$의 관계는 다음과 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|3a|}{2\cdot 3}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3} \\ l&=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^{3}\\ \therefore S&=l \end{aligned} $$
$$\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned}$$
개형이 위의 그림과 같은 삼차함수 $$f(x)$$의 그래프의 극점을 위쪽부터 $$\rm A$$, $$\rm B$$라 하고, 이 두 점의 접선이 삼차함수의 그래프와 교차하는 점을 위쪽부터 $$\rm P$$, $$\rm Q$$라 하면 위의 성질에 따라 다음이 성립한다.
3.3.2. 삼차함수·사차함수
[image]
그래프의 개형이 위 그림과 같은 사차함수 $$f(x)$$와 도함수 $$f'(x)$$에 대하여, 도함수의 그래프의 $$x$$절편을 왼쪽부터 $$\alpha$$, $$\beta$$라 하자. 한편 $$f(x)$$의 최고차항의 계수를 $$a$$라 하면 $$f'(x)$$의 최고차항의 계수는 $$4a$$이므로, 색칠된 부분의 넓이 $$S$$와 접선의 기울기가 0인 $$f(x)$$의 그래프 위의 점들의 $$y$$좌표 간 거리 $$l$$의 관계는 다음과 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{|4a|}{3\cdot 4}(\beta-\alpha)^{4}=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4} \\ l&=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^{4}\\ \therefore S&=l \end{aligned} $$
$$\begin{aligned} S&=-\displaystyle\int_\alpha^\beta f'(x)\, {\mathrm d}x\\&=-\{f(\beta)-f(\alpha)\}\\&=f(\alpha)-f(\beta)\\&=l \end{aligned}$$