대학수학능력시험/수학 영역/여담
1. 높은 표준점수
수리영역 시절부터 전통적으로 이 과목은 다른 과목에 비해 표준점수가 높게 뜨는 경향이 있다. 상위권과 하위권의 차이가 크기 때문이다. 특히 과거에는 문과생들이 치는 수학 나형의 경우 4등급 컷이 50점 밑으로 가는 경우도 부지기수였다.
15 수능 이후부터는 문제를 쉽게 내서 이 경향이 깨졌다가 19학년도부터 다시 조금씩 예전으로 돌아가고 있다. 하지만 아직 그게 충분치 않아 국어 영역의 만점 표준점수는 더 높게 나와[1] 정시에서 국어가 대학 수준을 판가름하는 바로미터이다.[2]
배점의 경우 2점, 3점, 4점으로 나누어져 있는데 보통 첫 3문제를 가장 쉬운 2점짜리 문제들로 배치해놓고 나머지 3점과 4점짜리 문제도 순서대로 놓는다.[3][4][5] 다만 가끔 역배점 제도라고 하여 3점짜리 수준을 어렵게, 4점짜리의 수준을 쉽게 뒤바꿔 수험생을 혼란스럽게 만든 적도 있었다. 2009 수능에서 출현하였다.
1.1. 선택 과목 도입 시기의 표준점수 계산법
2005~2011학년도 수능까지의 수리영역 가형 구성은 수학Ⅰ+수학Ⅱ+선택과목(미분과 적분, 확률과 통계, 이산수학 중 택1)이었다. 이 중 수학Ⅰ은 영역 공통 12문항, 수학Ⅱ는 유형 공통 13문항으로 공통문항 25문항 83점, 선택 5문항 17점으로 구성되었다. 그리고 선택과목별 난이도 차이를 줄이기 위해서 다른 영역이나 수리 나형과는 표준점수 산출이 꽤 복잡했다. 6차 교육과정 시기에 사탐/과탐의 선택문항의 표점을 계산하는 방법을 그대로 가져온 것으로, 이로 미루어보아 선택과목제가 재도입되는 2022학년도 수능에서도 이 방식을 사용할 가능성이 높다.
- 선택집단별(미분과 적분, 이산수학, 확률과 통계 선택집단) 공통 25문항의 원점수 성적과 선택 문항의 원점수 성적을 산출한다. 성적에는 응시자 별 원점수는 물론이고 원점수 평균과 표준편차가 포함된다.
- 선택문항의 조정점수를 산출한다.
- 선택문항 조정점수와 공통문항의 원점수를 표준점수로 전환한다.
- 표준화된 조정점수와 공통문항에 가중치(17:83)을 부여한 후 합산한다.
- 합산된 점수의 평균과 표준편차를 산출하여 다시 평균 100 표준편차가 20인 표준점수로 선형변환하여 성적을 제공한다.
2. 높은 반영비
초기 수능 시절 국어가 1.5배의 반영비를 가졌던 것이 무색하게도 현재 수학은 '''문이과 통틀어 정시 최중요 과목'''이다. 서울대는 문이과 공통 수학 표준점수를 1.2배 가산하며[6] 연세대는 이과에서 국어 반영비는 22.2%에 불과하나 수학은 33.3%에 달한다. 고려대 역시 이과에서 수학 반영점수를 20% 가산하고 서강대는 거의 '''50%'''나 반영한다.[7]등 수능 과목 중 가장 높은 대접을 받고 있다.
이로 인해 푸대접 신세가 된 국어[8]가 걱정스러웠던건지, 평가원은 국어를 어렵게 내 표준점수를 높여가면서 국어가 푸대접 신세를 탈출할 수 있도록 돕고 있다.
3. 역대 최강 불수능으로 회자되는 2009 · 2011학년도
2009 수능과 2011 수능의 수리 가형은 7차 교육과정의 수능 중 가장 어려운 수능 수리 가형으로 손꼽힌다. 보통 역대 최악 수리 가형을 뽑으라면 2009 수능과 2011 수능이 맞붙는데 단순히 통계적으로 처리를 하자면 만점자 표준점수가 낮음에도 불구하고 11수능이 2009 수능보다 약간 어려웠다.
위 표를 보면 알 수 있듯이 전체적으로 보면 2009 수능보다 2011 수능이 약간 어려운 시험인 것을 알 수 있다. 그런데 이상하게 표준점수는 2009 수능이 1점 더 높은데 그 이유는 표준점수는 평균과 반비례하지만 표준편차와도 반비례하며 동일한 점수일 경우에는 평균보다 표준편차가 표준점수에 미치는 영향이 더 크기 때문이다. 따라서 만점자 표준점수가 09수능에서는 {(100-49.06)/18.87}*20+100=154점이지만 11수능에서는 {(100-48.03)/19.61}*20+100=153점이 나온다. 표준점수 차이에도 불구하고 원점수 평균은 오히려 11수능이 더 낮다. 평균과 표준편차가 1점씩 높고 낮으므로 이것으로 우열을 따지기는 힘들지만 전반적으로 보았을 때 09수능은 평균에 밀집(원점수 49점 부근)하여 대부분의 수험생에게 어려웠고 11수능은 표준편차가 크기 때문에 상중하위권의 구분이 잘 된 시험이라 볼 수도 있다.
모든 사실을 고려하면 2009 수능 또한 몹시 어려운 수능이었긴 하지만 2011 수능이 7차 교육과정 중 가장 모든 문제를 100분 내에 풀기 어려운 시험이라고 보는게 타당할 것이다. 다만 한 문제 정도의 차이(1~3점)이기 때문에 말 그대로 아주 약간이다.
==# 가형과 나형의 차이 #==
가형은 모든 의과대학[12], 대부분의 자연과학대학, 공과대학, 수학교육과, 과학교육과에 지원코자 한다면 필수적으로 응시해야 한다. 인서울 대학교라면 가형 선택은 필수를 넘어 사실상 의무사항이다.[13] 이과 교육과정 내용을 바탕으로 문제가 출제되고, 응시자는 99% 이상이 이과생이며 극소수의 문과생들[14]이 응시한다.
그러나 수리영역 시절부터 수학 '가'형과 '나'형을 모두 받아주는 대학을 응시하는 이과생들은 수학 '나'형을 응시하는 경우가 있다. '나'형이 학습량이 적고 쉽기도 하지만 '나'형 응시생 중에는 수포자들이 많아 수준 대비 표점이 높기 때문에 '가'형 표점+가산점 < '나' 형 표점 이러한 상황이 많이 발생했던 것이 주요 원인이다.[15]
사실 '''이과 학생이라면 이과 교육과정에 맞는 가형을 보는게 맞고 가형을 보는게 상위권 대학을 가는 데에는 필수라고 할 수준으로 유리하다.''' 하지만 본인이 지방대 정도를 만족할 수 있다면 가형이 필수가 아닌 이상 나형이 유리하다. 2015개정 교육과정 이후로 이과는 사실상 미적분 과목 하나만 추가된 꼴이라서, 이미 나형의 모든 범위를 알고 있으며, 가형의 범위를 다뤄봤다면 익숙하거나 훨씬 쉽다.[16] 무엇보다도 응시생 풀이 압도적으로 차이난다. 가형이 나형보다 응시생수가 40~50% 가량인데 상위권애들만 남아서 지방 하위권 학교라면 전교1등도 3등급이 나오는 기괴한 현상을 볼 수 있다. 또한, 2019수능 기준 5등급컷조차 나형은 38점인데 가형은 60점(...)이라는 극단적인 점수차가 나기때문에 굳이 개념조차 더 어렵고 훨씬 깊이 있는 문제들이 많은데다가 등급컷조차도 높은 가형을 볼 이유는 없다.
과거, 특히 2009~2011학년도 시절에는 고난도로 출제되었으나 2012학년도를 기점으로 난도가 상당히 낮아졌다. 27문제 중 대다수는 개념만 확실히 알아도 큰 어려움 없이 풀 수 있을 정도로 상당히 평이하고, 상위권 변별을 위해 소위 '킬러 문제'라 불리는 21번[17], 29번[18], '''30번[19]''' 문제만 까다롭게 내는 편이다. 이러한 경향으로 1, 2, 3컷이 4점 차이씩 조밀하게 모여 있는 경향이 생기고 있다(ex. 92 88 84). 이러한 경향 아래서는 4점짜리 한문제 차이로 등급이 바뀌는만큼 실수를 줄이기 위해 노력해야 한다. 표준점수 최고점 또한 가형은 130점 후반, 나형은 130점 후반~140점 초반에서 잡히던 과목이 이제는 가형 130~134점, 나형 135~139점 정도에서 잡히고 있다. (2015학년도 수능 B형은 125, 2020학년도 수능 나형은 '''149'''.) 그리고 30번이 이전까지의 30번보다도 매우 어려워지면서 만점자 비율은 과거 7차 불수능 수준으로 급감한 상태다.[20]
다만, 2019학년도 대학수학능력시험/의견 문서의 6월 모의평가 항목에서 볼 수 있듯이, 이 경향은 조만간 깨질 위기에 처해 있다. 즉, 2015학년도부터 불어온 물기조(21, 29, 30을 제외하고 상당히 평이하게 출제)를 버리고 비킬러와 준킬러 문제를 강화하고, 킬러를 약화시켜 비정상적인 만점자 비율을 늘리고, 과도하게 조밀한 1-2-3컷을 벌려 놓을 준비를 하고 있다는 것이다. 결국 2019학년도 수능에서 준킬러와 비킬러 문제로 인하여 등급컷이 크게 떨어짐과 동시에 3등급컷이 81이 되면서 2016학년도 수능 이래로 최초로 2-3컷 간격이 7점이 되었다. 그러나 아직도 1-2컷은 4점 차이로 상위권 변별력은 부족하다.[21] 2020학년도 수능의 경우 92-85-80으로 드디어 1-2컷 간격이 5점 이상으로 잡혔지만 2컷이 84점이 아니라는 점에서[22] 그리 성공적이지는 못하다. 그래도 표면상으로는 1~2컷 간격이 7점으로 벌어져서 중상위권 변별을 위한 평가원의 지속적인 노력이 성과를 거두었다는 평이다.
수학 가형에서 4~5등급 받는 학생들이 수학 나형으로 전향함으로써 성적이 1~2등급, 극히 일부는 3등급(!)이 오른다. 이는 단순 점수로 계산해도 2017학년도 기준으로 문과로 가면 한 등급이 오르고 수준 차이를 고려하면 두 등급이 올라가기 때문이다. 이렇게 성적이 많이 오르면 대학에서 주는 가산점보다 나형으로 바꿈으로써 생기는 표준점수가 더 클 수 있다. 앞에서 말했듯이 가산점 10% 이상이 아니라면 나형을 보는 것이 낫다. 5%는 동일 백분위에 동일 표점을 부여할 뿐이다. 수학 가형 등급이 낮을 경우 수학선생님과 부모님과 잘 상담해서 나형으로 전향할 지 고민해보는 것도 나쁘지 않다. 그러나 이공계열 중상위권 대학부터는[23] '''가형이 아니면 원서조차 받아주지 않기 때문에''', 명문대 이과를 바라보는 사람은 그냥 가형을 열심히 공부하자. 애초부터 명문대를 목표로 한다면 문이과를 불문하고 수학 성적이 어느정도 뒷받침되어야 한다. 실제로 명문대들은 수능 최저등급을 걸 때 반드시 수리 가형 또는 과학탐구 영역을 포함해야 하는 경우가 많다. 의예과나 인서울이면 수리가형+과탐 조합이 사실상 의무다.
최근 이과 쏠림현상에 따라 가형 응시생들이 많이 늘었다. 2016 수능에서는 15만명가량이 응시한 반면 2017 6월 모평에서는 20만명 가량이 응시했다. 그런 줄 알았는데 아니나 다를까, 6평 때 20만명이었던 인구가 17만으로 줄었다. 하지만 현실을 깨달은 중하위권 학생들은 다시 나형으로 전향하고 역사는 반복된다. 다만 나형으로 전향하면 인서울 이공계열 대학에 지원이 거의 불가능하게 되는 것을 알아두자.[24] 다른 과목은 성적 분포가 정규분포와 비슷한 종 모양을 이루는데 반해 이상하게도 유독 수학 '나'형은 종 부분이 하나 더 나타나는 현상이 관찰되었는데, 이러한 이봉 형태의 분포는 상이한 두 집단에서 데이터를 수집했을 때 나오는 것이다. 바로 일반 학생과 '''수포자'''. 수포자가 되면 특수한 경우(예술, 체육대 지망 혹은 수시)가 아니면 대부분 지방대행이다. 수학을 반영 안하는 국영사 대학이나 4영역 중 3영역 반영 등의 여러가지 대학도 있긴 하지만 소수다. 참고로 국어, 영어에 비해 수학을 훨씬 잘 봤을 경우, 교차지원을 통해 이과계로 빠져, 점수대에 비해 더 좋은 대학을 가 보겠다고 생각하는 사람이 있을 수도 있는데, 정말로 이공계로 가서 공부하고 싶은 게 아니면 포기하는 게 좋다. 대학은 들어가는 걸로 끝나는 게 아니다. 4년 이상 공부해야 한다. 애초에 자신이 하고 싶은 분야를 정해 지원하는 게 정석이므로, 교차지원은 어디까지나 자신이 배우고 싶은 분야를 정말 바꾸고 싶을 때 사용하는 거지, 대학의 등급을 바꾸기 위해 지원했다간 내년에 다시 수능보고 원서를 쓰는 수가 있다. 학과강의에 따라가지 못해서, 전공에 흥미를 잃어서. 문이과 교차지원은 문과와 이과의 경계를 뛰어넘을 만큼, 공부할 의지가 있는 사람들에게만 허용된 헬게이트라는 것을 잊지 말자.
4. 학습 조언
'''아래 내용은 몇몇 위키러들의 개인적인 의견이지 '완벽한 수학 공부법'이 아니므로 참고 정도만 하자.''' 개인적 사례를 그대로 믿고 따라하기만 하는 건 매우 위험하고 오만한 생각일 수 있다.
- 매일 꾸준히 n문제씩 풀고, 하루 n문제만이라도 자신의 것으로 확실하게 만들자.
매일 꾸준히 풀어야 한다. 감의 유지도 있지만, 매일매일 수학을 공부하면서 수학적 사고를 담당하는 뇌를 활성화 시키고, 자극을 줄 필요가 있다. 매일 꾸준히 하는것은 다른과목에도 해당하지만, 특히 수학은 더욱더 꾸준함과 성실함이 요구된다. 하루 5문제든, 3문제든 영단어를 외우듯이 자신의 것으로 소화하라. 그 문제만큼은 다음에 봐도, 머릿속으로 좌라락 풀릴 정도로 반복해서 풀거나 암기하는것도 좋다. 이게 쌓이고 쌓이면 실제 문제 풀이 속도가 점점 빨라진다.
2. 손으로 많이 풀어라.
수학은 손으로 많이, 자세히 풀어봐야 하는 과목임에 틀림없다. 익숙한 사람은 머릿속으로도 공식과 수식을 대입하고 전개하면서 손으로 써야하는 많은 과정(동류항, 이항, 소거, 통분, 정리, 변형 역행렬 계산 등)을 생략하고 머릿속에서 논리를 전개시켜 풀겠지만, 기초가 부족하고 계산력도 부족한 사람은 눈으로, 머리로 풀었다간 실수가 이곳 저곳에서 튀어나오게 된다. 그렇기 때문에, 전개과정, 분배법칙, 양변에 같은 것을 더하거나 빼는 이항의 원리( 5x-5 = 7x+2, (5x-7x)= 5+2)등도 상세하게 풀어서, 정확하게 눈으로 전개과정을 확인하고 풀며, 익숙해지면 하나둘씩 생략해나가라. 최대한 예쁘고 잘 보이게 쓴다. 자기가 틀렸다면 틀린 부분을 알아내기 위함이다.
3. 생각을 많이 해라.
1)문제 독해 - 2)문제 해결 발상 - 3)문제를 풀이 방법 - 4)실제 계산 - 답 도출 검산(생략)으로, 답으로 가는 길을 머릿속으로 미리 세워놓고 전개, 각 단계별 해결방법이나 해야할 행동을 머릿속으로 해결하는 연습을 끊임없이 해라. 수학을 잘하는 사람들은 문제를 읽는 것만으로도 문제를 어떻게 해결해야 할지 보인다고 한다. 유형별로 익숙해져 있어 풀이법을 아는 것도 있지만, 제대로 문제를 독해하고 핵심을 짚어낸다음 머릿속으로 길을 세우는 것은 단기간내에 올릴수 있는 실력이 아니다. 수학실력이 부족한 사람은 펜을 들어 이것저것 성급하게 쓰기보다는, 문제 독해로 개념과 단원 파악 - 자신이 아는내용생각 후 적용- 발상 떠올리기 - 계산 어떻게 할지 생각하기, 특히 문제 독해와 단원 개념 파악, 발상떠올리기는 꼭 연습해라. 이건 달리 방법이 없고, 일단 생각날 때까지 머리를 굴려볼 수밖에 없다. 모르겠으면 앞부분 개념 설명부분을 보고 다시 돌아와 풀어보자.
4. 풀이법과 핵심 발상, 추상적 사고를 습득하고 외워라.
아무래도 이런 문제 해결 능력에 직접적인 도움이 되는 발상과 아이디어들은 책에도 자세히 나와있지 않고, 개념을 열심히 공부하고 예제 유제를 푼다고 생기지 않는 능력이다. 답지에 짤막하게 "조건에 따라 x를 구하기 위해서 원래 식을 이러이러하게 바꾸면..."이라고 짤막하게 서술되어 있는 것이 다인데, 실제 학생들은 이것을 자기 수학 지식을 활용해 자기 머리로 생각해내야 한다. 기본적으로 최소한의 응용력이 생기기위해서는 문제집의 일반문제보다는 예제문제같은 단순응용문제를 풀이방법을 참조하는 게 훨씬 좋다. 일반문제들을 얼마뒤에 답지를 보고 풀어버린다면 문제에 대한 다양한 접근방식을 하지 못하게 됨으로써 흔히 수포자 학생들이 겪는 어려움인 조금이라도 유형을 달라지거나 출제의도를 숨겨버린다든가 수능 킬러문제와 같은 극한 수준의 문제에서 유기적인 추론과정 자체가 불가능해질 수도 있다. 답지는 기본예제 문제와 같은 개념과 직접적으로 관련된 문제가 아니라면 되도록 멀리하고 여러번의 시도를 거친 다음 그 다음에 답지를 보는 것이 연역적 추론방법(즉, 문제의 풀이과정에서 여러 교과과정, 미적분과 극한과의 관계라던지 여러 가지 출제범위를 섞은 문제를 위한 추론방식)을 기르는 데 도움이 될 것이다.
5. 기출문제까지만 마스터해도 3등급은 나온다!
수학 영역의 문제 분포는 0점 방지용 단순 계산문제(2점) - 자주 나오는 유형 문제(3점) - 다소 평이한 신유형 문제(쉬운 4점) - 조금 어려운 신유형 문제 (어려운 4점, 준킬러) - 엄청 어렵고 새로운 문제(킬러)이다. 이 중 2,3점 문제만 다 맞추어도 48점이 되고, 기출문제까지만 끝내도 4점 13문제 중 7~8문제는 쉽사리 끝낼 수 있다. 그러면 76~80점이 되는데 이 정도면 가형은 4등급, 나형은 3등급 정도까지 기대할 수 있다. 이것만 해도 꽤 고득점이 가능하다. 이 '평이한 24문제'는 기존과 겹치지 않도록 하기 위해 새로운 구성과 표현방식을 내지만, 결국 묻는 것은 당연히 기존 개념의 내용과 활용이기 때문에, 자주 나오는 유형별 문제만 우선 다 맞히도록 노력하자. 여기서 2~3등급을 가르는 문제인 18 or 19, 20, 27 or 28[25] 등의 3~4문제를 소위 준킬러 문제라고 하는데, 시험이 매우 쉬운 게 아닌 이상 1등급컷 92점, 2등급컷 84점 정도로 나온다면 대략 이와 같은 난이도 중상~상급의 문제가 서너 문제가 나오게 된다. 이 문제까지 모두 맞힌다면 88~92점을 받게 되어 가형이라도 웬만해선 2등급, 나형은 1등급을 받을 수도 있다. 나머지 3문제가 1등급의 여부를 가른다. 이 문제가 소위 말하는 '킬러문제'이다.
6. 수학문제집을 반복해서 풀어라.
기초 수준/유형별/기출/고난도 등 상관없다. 문제를 여러번 반복해서 풀어서 내 것으로 만들고, 몇 백가지나 되는 유형 문제를 다 자신의 것으로 만드는 것 자체가 기본기를 쌓는 행위이다. 초보자라면 얇은 문제집을 자기 힘으로 (답지를 활용하든) 처음부터 끝까지 모르는 것이 없도록 반복해서 3번 풀어보자. 다음부터는 문제를 풀때 자기가 아는 문제들이 보여 신기할 것이다. 인강교재나 교과서를 반복해도 된다. 10번까지 반복해서 100점을 맞았다는 사례는 이 문서에 다 서술할 수 없을 정도로 수두룩하다. 4,5회독 부터는 개념서를 한번다시 보면서 다른 풀이나 새로운 풀이법을 연구해보자. 이 과정에서 사고력과 개념이 좀더 탄탄하게 잡힌다. 당신이 1등급을 노린다면 사실상 필수다. 이 기본기가 제대로 잡혀야 상술했던 킬러문제들을 풀 수 있기 때문이다.
7. 개념과 수식, 증명을 공부할 때는 알파벳 놀음보다는 실제로 숫자와 수치를 대입하고, 직접 전개해본다.
편의를 위해 많은 공식들이 알파벳으로 전개되어 있지만, a,b,c,d로 쓰고 익히는것은 사고 전개에 큰 도움이 안된다. 실제로 숫자를 대입하고, 계산해서 적용시키는 식으로, 직접 활용하는 연습을 많이 하자. 곱셈공식이나 지수법칙은 실제로 일일이 전개를 해보고 과정을 눈으로 확인하며, 생략된 부분까지 확인한다. 또한 고교생들 사이에서 과정을 생략하고 답만 구해내는 학생들이 많이 있고 몇몇 사람들은 이것을 머리가 좋다는 것의 방증인 양 취급하는 경우가 많은데 완전한 착각이다. 답 그 자체보다 과정을 논리적으로 엄밀하게 전개해 나가는 능력이 답을 구해내는 능력보다 훨씬 중요하다. 이는 비단 타인에게 보이기 위해서만이 아닌 자기 자신의 수학 능력을 위해서도 매우 중요한 습관이다. 사실 고교 때는 거의 배우지 않지만 수학의 근본적인 목적은 증명이고 증명이란 그것이 왜 그런지를 보이는 것이며 답은 매우 자명해 보이면서도 증명 과정은 까다로운 문제들도 여럿 존재한다. 특히 오귀스탱 루이 코시 이후의 수학은 일부 분야를 제외하고는 논리와 수학체계의 엄밀함을 중요시하기 때문에 항상 답보다 논리적인 과정을 중시하고 '왜 그러는지' 머리속에서 완전히 명확하게 될 때까지 공부하여 알아두는 것이 나중을 위해 좋다. 서양에서 대학수학능력시험 급의 수학 시험은 서술형인 경우가 많으며 이때 답이 틀려도 과정을 성실히 쓰면 점수를 대부분 주며 답이 맞아도 과정이 부실하면 감점이 크다. 게다가 과정 없이 답만 달랑 쓰면 설령 그 답이 정답이라도 0점 처리하는 선생도 많을 정도로 과정을 중시한다. 물론 빠른 시간 내에 오로지 답만을 요구하는 한국의 입시위주 교육에서 그런 것에 신경 쓰는 시간이 아깝게 느껴질 수 있겠지만 수학을 전공하고자 하는 학생들에 있어서는 눈앞의 입시보다 그 이후를 위해 과정을 중시하는 것이 좋을 것이다.
2. 손으로 많이 풀어라.
수학은 손으로 많이, 자세히 풀어봐야 하는 과목임에 틀림없다. 익숙한 사람은 머릿속으로도 공식과 수식을 대입하고 전개하면서 손으로 써야하는 많은 과정(동류항, 이항, 소거, 통분, 정리, 변형 역행렬 계산 등)을 생략하고 머릿속에서 논리를 전개시켜 풀겠지만, 기초가 부족하고 계산력도 부족한 사람은 눈으로, 머리로 풀었다간 실수가 이곳 저곳에서 튀어나오게 된다. 그렇기 때문에, 전개과정, 분배법칙, 양변에 같은 것을 더하거나 빼는 이항의 원리( 5x-5 = 7x+2, (5x-7x)= 5+2)등도 상세하게 풀어서, 정확하게 눈으로 전개과정을 확인하고 풀며, 익숙해지면 하나둘씩 생략해나가라. 최대한 예쁘고 잘 보이게 쓴다. 자기가 틀렸다면 틀린 부분을 알아내기 위함이다.
3. 생각을 많이 해라.
1)문제 독해 - 2)문제 해결 발상 - 3)문제를 풀이 방법 - 4)실제 계산 - 답 도출 검산(생략)으로, 답으로 가는 길을 머릿속으로 미리 세워놓고 전개, 각 단계별 해결방법이나 해야할 행동을 머릿속으로 해결하는 연습을 끊임없이 해라. 수학을 잘하는 사람들은 문제를 읽는 것만으로도 문제를 어떻게 해결해야 할지 보인다고 한다. 유형별로 익숙해져 있어 풀이법을 아는 것도 있지만, 제대로 문제를 독해하고 핵심을 짚어낸다음 머릿속으로 길을 세우는 것은 단기간내에 올릴수 있는 실력이 아니다. 수학실력이 부족한 사람은 펜을 들어 이것저것 성급하게 쓰기보다는, 문제 독해로 개념과 단원 파악 - 자신이 아는내용생각 후 적용- 발상 떠올리기 - 계산 어떻게 할지 생각하기, 특히 문제 독해와 단원 개념 파악, 발상떠올리기는 꼭 연습해라. 이건 달리 방법이 없고, 일단 생각날 때까지 머리를 굴려볼 수밖에 없다. 모르겠으면 앞부분 개념 설명부분을 보고 다시 돌아와 풀어보자.
4. 풀이법과 핵심 발상, 추상적 사고를 습득하고 외워라.
아무래도 이런 문제 해결 능력에 직접적인 도움이 되는 발상과 아이디어들은 책에도 자세히 나와있지 않고, 개념을 열심히 공부하고 예제 유제를 푼다고 생기지 않는 능력이다. 답지에 짤막하게 "조건에 따라 x를 구하기 위해서 원래 식을 이러이러하게 바꾸면..."이라고 짤막하게 서술되어 있는 것이 다인데, 실제 학생들은 이것을 자기 수학 지식을 활용해 자기 머리로 생각해내야 한다. 기본적으로 최소한의 응용력이 생기기위해서는 문제집의 일반문제보다는 예제문제같은 단순응용문제를 풀이방법을 참조하는 게 훨씬 좋다. 일반문제들을 얼마뒤에 답지를 보고 풀어버린다면 문제에 대한 다양한 접근방식을 하지 못하게 됨으로써 흔히 수포자 학생들이 겪는 어려움인 조금이라도 유형을 달라지거나 출제의도를 숨겨버린다든가 수능 킬러문제와 같은 극한 수준의 문제에서 유기적인 추론과정 자체가 불가능해질 수도 있다. 답지는 기본예제 문제와 같은 개념과 직접적으로 관련된 문제가 아니라면 되도록 멀리하고 여러번의 시도를 거친 다음 그 다음에 답지를 보는 것이 연역적 추론방법(즉, 문제의 풀이과정에서 여러 교과과정, 미적분과 극한과의 관계라던지 여러 가지 출제범위를 섞은 문제를 위한 추론방식)을 기르는 데 도움이 될 것이다.
5. 기출문제까지만 마스터해도 3등급은 나온다!
수학 영역의 문제 분포는 0점 방지용 단순 계산문제(2점) - 자주 나오는 유형 문제(3점) - 다소 평이한 신유형 문제(쉬운 4점) - 조금 어려운 신유형 문제 (어려운 4점, 준킬러) - 엄청 어렵고 새로운 문제(킬러)이다. 이 중 2,3점 문제만 다 맞추어도 48점이 되고, 기출문제까지만 끝내도 4점 13문제 중 7~8문제는 쉽사리 끝낼 수 있다. 그러면 76~80점이 되는데 이 정도면 가형은 4등급, 나형은 3등급 정도까지 기대할 수 있다. 이것만 해도 꽤 고득점이 가능하다. 이 '평이한 24문제'는 기존과 겹치지 않도록 하기 위해 새로운 구성과 표현방식을 내지만, 결국 묻는 것은 당연히 기존 개념의 내용과 활용이기 때문에, 자주 나오는 유형별 문제만 우선 다 맞히도록 노력하자. 여기서 2~3등급을 가르는 문제인 18 or 19, 20, 27 or 28[25] 등의 3~4문제를 소위 준킬러 문제라고 하는데, 시험이 매우 쉬운 게 아닌 이상 1등급컷 92점, 2등급컷 84점 정도로 나온다면 대략 이와 같은 난이도 중상~상급의 문제가 서너 문제가 나오게 된다. 이 문제까지 모두 맞힌다면 88~92점을 받게 되어 가형이라도 웬만해선 2등급, 나형은 1등급을 받을 수도 있다. 나머지 3문제가 1등급의 여부를 가른다. 이 문제가 소위 말하는 '킬러문제'이다.
6. 수학문제집을 반복해서 풀어라.
기초 수준/유형별/기출/고난도 등 상관없다. 문제를 여러번 반복해서 풀어서 내 것으로 만들고, 몇 백가지나 되는 유형 문제를 다 자신의 것으로 만드는 것 자체가 기본기를 쌓는 행위이다. 초보자라면 얇은 문제집을 자기 힘으로 (답지를 활용하든) 처음부터 끝까지 모르는 것이 없도록 반복해서 3번 풀어보자. 다음부터는 문제를 풀때 자기가 아는 문제들이 보여 신기할 것이다. 인강교재나 교과서를 반복해도 된다. 10번까지 반복해서 100점을 맞았다는 사례는 이 문서에 다 서술할 수 없을 정도로 수두룩하다. 4,5회독 부터는 개념서를 한번다시 보면서 다른 풀이나 새로운 풀이법을 연구해보자. 이 과정에서 사고력과 개념이 좀더 탄탄하게 잡힌다. 당신이 1등급을 노린다면 사실상 필수다. 이 기본기가 제대로 잡혀야 상술했던 킬러문제들을 풀 수 있기 때문이다.
7. 개념과 수식, 증명을 공부할 때는 알파벳 놀음보다는 실제로 숫자와 수치를 대입하고, 직접 전개해본다.
편의를 위해 많은 공식들이 알파벳으로 전개되어 있지만, a,b,c,d로 쓰고 익히는것은 사고 전개에 큰 도움이 안된다. 실제로 숫자를 대입하고, 계산해서 적용시키는 식으로, 직접 활용하는 연습을 많이 하자. 곱셈공식이나 지수법칙은 실제로 일일이 전개를 해보고 과정을 눈으로 확인하며, 생략된 부분까지 확인한다. 또한 고교생들 사이에서 과정을 생략하고 답만 구해내는 학생들이 많이 있고 몇몇 사람들은 이것을 머리가 좋다는 것의 방증인 양 취급하는 경우가 많은데 완전한 착각이다. 답 그 자체보다 과정을 논리적으로 엄밀하게 전개해 나가는 능력이 답을 구해내는 능력보다 훨씬 중요하다. 이는 비단 타인에게 보이기 위해서만이 아닌 자기 자신의 수학 능력을 위해서도 매우 중요한 습관이다. 사실 고교 때는 거의 배우지 않지만 수학의 근본적인 목적은 증명이고 증명이란 그것이 왜 그런지를 보이는 것이며 답은 매우 자명해 보이면서도 증명 과정은 까다로운 문제들도 여럿 존재한다. 특히 오귀스탱 루이 코시 이후의 수학은 일부 분야를 제외하고는 논리와 수학체계의 엄밀함을 중요시하기 때문에 항상 답보다 논리적인 과정을 중시하고 '왜 그러는지' 머리속에서 완전히 명확하게 될 때까지 공부하여 알아두는 것이 나중을 위해 좋다. 서양에서 대학수학능력시험 급의 수학 시험은 서술형인 경우가 많으며 이때 답이 틀려도 과정을 성실히 쓰면 점수를 대부분 주며 답이 맞아도 과정이 부실하면 감점이 크다. 게다가 과정 없이 답만 달랑 쓰면 설령 그 답이 정답이라도 0점 처리하는 선생도 많을 정도로 과정을 중시한다. 물론 빠른 시간 내에 오로지 답만을 요구하는 한국의 입시위주 교육에서 그런 것에 신경 쓰는 시간이 아깝게 느껴질 수 있겠지만 수학을 전공하고자 하는 학생들에 있어서는 눈앞의 입시보다 그 이후를 위해 과정을 중시하는 것이 좋을 것이다.
8. 공식을 외우지 마라.
공식을 단순히 외우려고 하는 것만큼 미련한 짓이 없다. 수능 수학의 킬러 문제는 대부분 공식을 도출해내는 과정을 중요시 한다. 무작정 공식을 외우려고 하지 말고, 그 공식이 어떤 수학적 원리를 통해 성립되는지를 직접 증명해 보는 것이 좋다.
9. 문제 하나하나에서 최대한 많은 '교훈'을 '스스로 생각하며' 얻어라.
가형의 경우, 수학 특성상 간접 연계 범위라고 해서 수학, 수학Ⅱ 관련 개념을 숙지하는 것이 좋다. 그래도 '''어느 한 과목만 잘하는 것 중에선 이 과목에서 잘하는게 가장 유리하다.''' 수시 모집에서 엄청난 장점이 있기 때문이다. 당장 한양대 논술전형이 수능최저등급이 없고 과탐을 보지 않고 수학만 본다는 것을 생각해보자. 대학에서도 비슷한 내신점수면 수학 내신이 더 좋은 학생을 우선선발하고.수능 수학에서는 선생님이 나눠준 프린트물의 유형이 변형되어 나오는 학교 내신과 달리 그야말로 어떤 문제가 나올지 모른다. 수능 수학 공부에서 수학 문제를 푸는 이유는, 어떤 문제를 보아도 시험장 그 자리에서 풀어낼 내공을 갖추기 위함이다. 그러자면 문제 하나하나를 그 내공을 쌓을 기회로 받아들여야 한다. 틀린 문제, 시간이 오래 걸린 문제, 불확실하게 알고 푼 문제는 내가 왜 그랬는지 생각하고 허점을 얼른 메꿔야 한다. 예를 들어 그래프로 풀면 금방 풀릴 문제인데 수식으로만 계산하다가 헤맸다면, 앞으로는 '수식이 안 되면 그래프, 그래프가 안 되면 수식으로 해보자' 하는 일종의 교훈을 스스로 얻어가면 좋다. 혹은, 단순히 시행착오법으로 일일이 해봐서 푸는 문제인데도 어떤 절묘한 공식이나 해법이 있을 것으로만 생각하다 헤맸다면, '때로는 무식하게 찔러보는 게 열쇠이다'라는 것을 수능 날까지 머릿속에 갖고 가는 것이다. 이런 식으로 문제를 많이 풀다 보면 티끌 모아 태산 식으로 내공이 어마어마해질 것이다. 단순히 문제 풀다 잘 모르겠어서 답지 보고 '아 그러네, 이렇게 하면 되지' 하고 얼렁뚱땅 넘어가면 안 된다. 남이 알려주는 해법을 보고 이해하는 것은 누구나 다 한다. 중요한 것은 누가 알려주기 전에 스스로 생각해내야 한다는 점인데, 수능 날에도 문제 틀려와서 해설을 찾아보고 '아 그러네' 할 것인가?
한 가지 주의할 것은 수능이 얼마 남지 않았을 때는 계속해서 사설 모의고사처럼 새로운 문제만을 풀 것이 아니라, 그간 풀어왔던 문제들을 다시 봐야 한다는 것이다. 어차피 다른 과목도 공부해야 하니 그간 꾀 부리지 않고 공부해 왔다면 중요한 문제만을 다시 정리해도 아주 충분하다. 문제들을 훑어보면서, '이 문제가 그대로 수능에 나오면 안 쫄릴까?'를 스스로에게 물어보고 조금이라도 쫄리면 꼭 다시 풀어보며 허점을 메꿔라. 이렇게 해야 수능 날 최소한 망하지 않는다. 마지막 세심한 마무리를 간과하면 수능 날 예기치 못한 데에서 폭삭 망할 수도 있다.
한 가지 주의할 것은 수능이 얼마 남지 않았을 때는 계속해서 사설 모의고사처럼 새로운 문제만을 풀 것이 아니라, 그간 풀어왔던 문제들을 다시 봐야 한다는 것이다. 어차피 다른 과목도 공부해야 하니 그간 꾀 부리지 않고 공부해 왔다면 중요한 문제만을 다시 정리해도 아주 충분하다. 문제들을 훑어보면서, '이 문제가 그대로 수능에 나오면 안 쫄릴까?'를 스스로에게 물어보고 조금이라도 쫄리면 꼭 다시 풀어보며 허점을 메꿔라. 이렇게 해야 수능 날 최소한 망하지 않는다. 마지막 세심한 마무리를 간과하면 수능 날 예기치 못한 데에서 폭삭 망할 수도 있다.
나형은 조금만 열심히 파도 등수가 확 오르는 경우가 있으니[26] 수학 포기하지 말고 열심히 할 것. 공부하면 수학 나형만큼 정직하게 성적 오르는 과목도 없다. 물론 과거 수능은 매우 어려워 1등급컷이 70~80대인경우도 있었으나(특히 2005,2006,2009,2011학년도) 2012학년도 수능부터는 문제가 매우 쉬워져 1등급컷이 92~96점이 자주 나오고 있다.[27] 또 일부 학교를 제외하고 인서울 하려면 문과도 수학에서 '''최소한''' 3등급은 나와야 한다. 2018학년도 수능 수험생의 경우 응시자 수가 35만명이 넘기 때문에 적어도 2등급은 나와야 한다. 안전하게 상위권(서성한 라인 이상) 대학을 가려면 당연히 1등급이어야 되고[28] SKY는 백분위 '''98~99%''' 이상이 나오고 국영탐이 '''모두 백분위 98 이상이더라도 최소 2등급은 나와야''' 안전하다. 특히 수능이 쉬울 경우 문과는 최상위권에서 한급 갈리는 이유가 탐구or제2외국어 때문이라는 말이 나올 정도다.[29] 수학 나형은 개념을 통째로 외운 다음에 기출문제 많이 풀고 오답노트만 잘 정리하고 오답노트를 통째로 암기하는 방식을 통해 3등급까지는 상대적으로 쉽게 점수를 올릴 수 있다. 범위가 좁고 나오는 개념이 한정되어 있기 때문. 즉 어느 정도의 암기력 승부가 먹힌다. 특히 수능 직전에 당해 6, 9월 모의평가를 다시 한 번 검토하면서 문제에서 요구하는 발상들을 체득하고 따라가면 수능 당일날 체감상 풀이가 쉬워지는 것을 느낄 수 있다.
개수 세기도 다항함수, 무리함수 등으로 바뀌어서 여전히 나온다. 물론 미적분이야 가형에 비해서는 쉽지만 문과생들 입장에서는 까다로울 수 있다. 다항함수만 나오므로 삼차함수, 사차함수에 대해 잘 정리해놓아야 한다. 개수 세기의 경우 주어진 조건 속에서 나열해가면서 규칙성을 찾는 연습을 해야 한다. 관련 기출을 반복해서 풀어보는게 많은 도움이 된다. 2019학년도 시점에서 개수세기는 킬러는커녕 아예 출제 자체가 안 되고 있는 상황이다. 현재로서는 나형 킬러는 모두 미적분에서 나온다고 보면 되고 확률과 통계에서 변칙적으로 고난도가 나올 수 있으니 대비해야 한다.[30] 가형과 마찬가지로 21, 30번을 제외하면 쉽게 내는 경향이 생기면서[31][32] 등급간 점수차는 많이 줄어든 상태다.[33] 또한 이전에는 표준점수 최고점이 웬만해선 140점을 훌쩍 넘겼으나 현재는 130점대 중후반 정도에서 잡히고 있다. 그러나 역시 30번은 많이 어려워져서 만점자 비율은 급감했다.[34]
4.1. 참고 문서
- 다항함수/추론 및 공식: 길이, 거리, 넓이, 함수에 대한 단서 등 수능에 요긴하게 써먹을 다항함수 관련 팁들을 한데 모아놓은 문서이다.
4.2. 수포자들을 위한 추가 팁
수학은 초등학교 과정부터 대학수학까지 계속 이어져 있기 때문에, 기초가 없으면 다음 단계로 넘어갈 수가 없다. 자신이 이해가 되는 부분까지 내려간 다음 모르는 부분을 해결하고 올라와야 실력이 늘어날 수 있다. 영광을 위해 자존심을 잠시 죽이고, 모르는 게 있으면 설사 초등학교 1학년 과정이라 해도 다시 끌고 가보자. 의외로 자신이 모르고 있는 수학지식이 많다는 걸 느끼게 된다.
조금 더 이해를 돕기 위해 비유하자면, 자신이 수포자가 된 시점은 이미 부실공사로 건물이 무너져버린 시점이라고 보면 된다. 사실 어디에서부터 부실공사로 진행되었는지만 찾아낸다면 빠르게 수포자의 길에서 벗어날 수 있다. 수학을 때려친 시점부터가 아니라 그 이전에 문제가 있다는 것이다. 뭐가 뭔지 도통 모르겠는데 그냥 공식 외우고 문제를 외워서 억지로 점수 몇 점 받아내던 시기가 바로 부실공사가 진행된 시기다. 언제부터 뭐가 뭔지도 모르고 닥치고 공식과 문제 외워서 풀기 시작했는지 떠올려보자.
수포자들이 쉽게 수포자에서 못 벗어나는 이유는 먼저 자신이 어디에서부터 문제가 있는지 파악이 어려운데다 당장 코앞의 수학책 맨 첫 장만 펼치고 해보려 하기 때문이다. 두 번째로 설령 자기 학년의 수학책에서 벗어나 과거로 돌아가보려 한다 해도 중간고사, 기말고사에 대한 걱정으로 몇 번 펼치려는 시늉만 하다 다시 뭐가 뭔지도 모르는 자기 학년 수학책 시험 범위 페이지를 펼치고 좌절한다는 점이다. 하지만 냉정히 이야기해서, 이미 수포자인 상태에서는 아무리 의욕과 불굴의 의지를 갖고 자기 학년 수학책 시험 범위 페이지 펼쳐봐야 수포자에서 벗어날 수 없고 형편없는 점수가 환상적인 점수로 변하는 기적은 일어나지 않는다. 만약 수포자에서 벗어나야겠다는 의지가 있다면 재수 할 각오로 초등학교 1학년 수학부터 빠르게 끝내겠다고 생각하자. 악담이 아니라 실제로, 수포자는 뭔 짓을 해도 다음 시험 수학 점수가 막장인 것은 사실상 확정적이니 (시험이 너무 쉬운 기초적 계산 문제만 나와서 점수 자체는 오를 수도 있다. 하지만 등급은 변화가 거의 없다.) 기초부터 빠르게 다져나가서 다다음 시험부터 점수를 끌어올리겠다고 하는 쪽이 훨씬 현실적이며, 성공 확률도 높다.
물론 자기 학년보다 한참 낮은 수준의 문제를 다시 봐야 하는 건 충분히 자존심이 상하고, 주변의 놀림을 받을 수도 있다. 하지만 자존심 따위는 여러분의 점수에 절대 도움이 되지 않으며, 여러분의 미래 역시 책임져주지 않는다. 자기 실력이 자존심을 부려도 될 정도로 충분하지 않은데 자존심을 챙기려고 하는 건 허세 쩌는 것밖에 안된다. 이런 때에 자존심에 신경쓰지 않는 건 절대 비굴한게 아니다. 정 신경쓰이면 '''나는 너희들보다 더 멀리 뛰려고 도움닫기를 길게 하는 거다'''라고 생각하는 것이 마음을 다잡는데 도움이 될 것이다.
이렇게 마음을 먹었으면, '''먼저 기초 계산 연습을 많이 해야 한다.''' 괜히 수학을 손으로 풀어보아야 한다고 하는 말이 아니다. 시험에서는 계산기를 사용할 수 없기 때문에 일일이 손으로 계산해가며 풀어야 하는데, 기초 계산 연습이 되어 있지 않으면 푸는 방법을 알아도 틀리게 된다. 이 경우 '공부를 한다 → 문제를 푼다 → 기본 계산에서 실수 → 틀린다'의 무한 반복이 일어나 좌절하게 된다. 수포자가 수포자에서 벗어나기 어려운 이유는 바로 기초 계산을 빠르고 정확히 하지 못하기 때문에 마음을 잡고 공부해 내용을 이해했다 하더라도 어차피 틀린다는 점에 있다. 수포자는 '알고 있다'와 '시험을 잘 본다'가 같은 말이 아니라는 것을 명심하고 기초 계산 연습을 꾸준히 해야 한다. 어쨌든 시험을 잘 보려면 정해진 시간 내에 문제를 정확히 계산하고 풀어야 한다. 실제 많은 수포자들이 이항까지는 어찌어찌 하더라도 분수 계산에서 무너져버리는 모습을 보인다.
중학교 과정은 전체적으로 중요해서 버릴게 없다. 미래의 수험생들을 위해 2018학년도 고1부터 적용되고 2021학년도 대학수학능력시험부터 반영될 2015 개정 교육과정 기준으로 왜 그런지 이야기해 보자면...
- 연립방정식 - 실전 문제풀이를 하다보면 두 개 이상의 조건식이 튀어나오기 때문에 두고두고 써먹게 될 것이다.
- 부등식 - 수학 1에도 부등식 단원이 존재하기도 하지만, 더 중요한 이유는 문제 자체의 제한 조건을 잘 지킬 수 있느냐, 혹은 특정 범위에서 정수해의 개수를 조절하는 식으로 연계가 된다. 이를테면 로그의 진수 범위. 2019학년도 수능 수학 가형 14번에서 부등식을 소홀히 한 학생들이 대거 오답을 내면서 14번치고는 정답률 60퍼센트 정도로 상당히 낮은 정답률을 보여 주었다.
- 중등 수학 2(하) 전체 - 먼저 평면도형의 성질과 닮음 등을 다루는데, 이거 여기 지나면 두 번 다시 언급은 안되지만 이거 모르면 도형 연계문제를 시작도 못하는 사태가 벌어질 수 있다. 도형이란 게 어느 단원에서건 연계될 수 있다는 걸 생각하면... 그리고 마지막으로 경우의 수와 확률이 반겨주신다. 문이과 모두 배우는 확률과 통계 과목의 기초는 여기 다 담겨있다.
- 함수 - 매우 중요한 부분이다. 좌표평면에서는 평행이동/대칭이동을 잘 이해하면 뒤에서도 고생이 확 줄어든다. 일차함수에서는 기울기와 $$x$$절편, $$y$$절편의 개념을 정확히 알고 있어야 하고, 이차함수는 주어진 함수식을 표준형으로 제대로 바꿔내고[35] 개형 그릴 줄 알면 된다.
- 곱셈 공식/인수분해 - 이걸 모르면 문제를 풀 수 없다. 특히 $$(x+y)^n = x^n+y^n$$ 꼴로 잘못 계산하지 않게 주의해야 한다.
- 이차방정식 - 공식과 계산은 다들 잘 하는데 특정 문제에서 판별식이 가지는 의미를 제대로 파악하지 못하는 경우가 많다. 정 안되겠으면 유형별로 달달 외워서 돌파하는 수밖에 없다.(다만 추천하지 않는다. 수능 수학 시험은 암기과목이 아니기 때문이다. 이해하지 않고 암기하게 되면 1등급의 여부를 가리는 29,30번 문항을 풀지 못한다.)
- 삼각비 - 삼각비의 정의를 정확히 알고 있으면 수학 I의 삼각함수 파트에 가서도 헤맬 확률이 매우 낮아진다. 특히 문과생이라도 특수각[36]의 삼각비 값 정도는 외우고 있어야 한다. 애초에 중학교 과정이니만큼 기초수학의 일종이니 당연한 소리.
만약 맨 위에서 나온 것처럼 모의고사 1 페이지의 쉬운 문제 정도는 잘 풀 수 있다면 일단 그거를 주구장창 푸는 걸로 시작한다. 자신이 자신있게 풀수있는 쉬운 문제를 풀다보면 개념파악이 용이해진다. 그러면서 쉬운 문제가 단번에 풀리게 되면 그때 수준이 중간 정도 되는 문제들을 풀기 시작하면 된다. 그러고 나서 어려운 문제로 넘어가면 되는데 어려운 문제가 도저히 안풀린다면 쉬운문제와 중간수준 문제만이라도 잘 풀어라. 수학 나형은 위에서 말했듯이 수포자가 너무 많아서 어려운 문제를 매우 적게 내기 때문에 '''아무리 나쁘게 맞아봤자 3,4등급'''은 되고 등급컷이 매우 낮다면 1등급을 맞을 수도 있다! 다만 수능은 결코 호락호락하지 않으니 모의고사 1등급은 가능할지 모르겠으나 수능 1등급을 바란다면 지금 바로 공부하도록. 2006학년도 수능과 헬수학으로 유명하던 2009학년도 수능을 제외하면 수능 나형의 1등급컷은 모두 88점 이상이다. 즉, 4점짜리 4개만 틀려도 1등급과 굿바이라는 것이다.[37]
기초도 알기 싫은데 암기는 자신있으면 다 외우라는 말이 있지만 말도안되는 소리다. 기초와 이해가 먼저가 되고 이해가 되지 않는 부분을 외우고 생각날때마다 곱씹어서 이해하도록 해야 한다. 유형을 외우면 3등급 정도는 나온다고 괜찮다는 말은 다 뻥이다. 수능은 결코 암기시험이 아니고 수학은 결코 암기과목이 아니다!
때때로 수학을 배우기 위한 '추상적 사고' 능력 자체가 부족한 경우가 있는데 지적장애나 난산증 같은 특수장애 경우가 아니라면 다 괜찮다. 극복이 가능하다. 추상적 사고능력이 길러지지 않아서 익숙하지 않은 것 뿐이지 머리가 나쁜게 아니니까. 애초에 수학은 선천적으로 이루어지는게 아니라 철저히 훈련하여야만 성과를 낼 수 있는 분야이다. 수학이 아닌 어떤 것이라도 머리가 타고나길 나빠서 안되는것이 아닌 그마만큼 부족한 부분이 많다는 방증이므로 포기하지 말고 꾸준히 해나가는 것이 중요하다. 다만 이런 경우는 단시간에 해결되는 문제가 아니기 때문에 오랜 기간 동안 그 능력을 기르는 훈련을 해야 한다. 이것을 늘리는 방법은 문제를 풀때 모른다고 무작정 답지를 보면 안된다. 최소 20분은 잡고 고민하고 안되면 다른 문제를 풀다가 다시 고민해봐라. 그래도 안 된다면 답지를 봐라. 본인이 생각치도 못했던 방법을 보고 어안이 벙벙할수도 있고 아깝게 빗나가서 못풀었을 수도 있다. 고민할때 온갖 흉악한 방향으로 문제를 접근하게 되는데 그 과정을 통해 실력이 천천히 늘어나는 것이다.
문제에서 사용하는 어떤 개념을 사용하는지 판단하고 풀기 시작하는것도 좋다. 무언가를 조립할때 공구상자에서 필요한 공구만 미리 꺼내두면 편하게 할수 있듯이 수학문제에서도 필요한 요소들을 찾아놓고 그것들 위주로 고민해보면 생각보다 많이 쉽게 풀릴수도 있다.
수학 개념 학습에 어려움을 느낀다면, 이 글을 읽어보는 것도 도움이 된다.
4.3. 교과서의 중요성
많은 학생들이 수능 대비에 교과서는 필요없다고 생각한다. 그러나 교과서에 있는 문제를 조금 더 꼬아 내면 문제 중 가장 낮은 정답률을 기록하는 경우가 있다. 사실 이건 교과서의 중요성이라기보다는 기본적인 개념에 대한 완벽한 이해를 묻는 경우이다. 예를 들어 구분구적법에 관한 문제는 꾸준히 낮은 정답률을 기록하고 있다. 이는 학생이 정적분을 구하는데 있어, 구분구적보다 부정적분을 이용한 계산이 쉽기 때문에 부정적분을 집중적으로 공부하고 상대적으로 구분구적을 소홀히 하기 때문에 생기는 문제이다. 사실 구분구적에 관한 내용을 암기하지 않고 이해하여 체득하면 그리 어려운 문제도 아닌데 말이다. 이러한 측면에서 개념을 자세하고 쉽게 알려주는 교과서 참고가 권장될 뿐, 교과서 문제라고 아주 특이한 아이디어를 사용해서 만들지는 않는다.
2010학년도 6월 모의평가(2009년 6월에 치뤄짐)의 정답률 낮은 주관식 무리방정식(평가원에서 공개한 문서 기준으로 21번) 문제, 동년 9월 모의평가 역시 정답률 낮은 공간 좌표 문제(역시 평가원에서 공개한 문서 기준으로 23번)는 7차 교육과정 대한교과서 수2에 있는 문제이다. 공간 좌표 문제의 경우 각도를 추가해서 교과서 문제보다 까다롭지만...
만약 시중에 나와있는 문제집을 웬만큼 풀어봤다 싶으면 교과서나 익힘책을 사서 풀어보는 것을 추천한다. 그리고 개념같은 경우도 참고서를 통해 정리하고 익혔다 싶더라도 교과서의 개념부분도 여러번 읽어보는 것이 좋다.
허나 유의해야 할 점은 교과서는 원래 수업용 교재이기 때문에 수학의 기초가 부족하다면 독학으로 공부하기가 힘들다는 것이다. 따라서 처음부터 교과서를 붙잡기 보다는 개념 설명이 쉽고 친절한 다른 교재를 먼저 공부한 뒤에 보는 것을 추천한다. 교과서는 아는 만큼 보이는 책이기 때문이다.
5. 찍는 요령
아래의 방법들은 예외가 있을 수 있으므로 문제가 안 풀릴때 '''최후의 수단'''으로만 사용하자. 가장 확실하게 답을 맞히는 방법은 '''이런 거 믿을 바에야 자기가 공부해서 맞히는 것'''이다. 또는 검산 수단으로만 사용하자.
최근에는 평가원이 하단의 원칙들을 깨고 수험생을 농락하는 빈도가 점점 늘어나고 있으니 주의하자.
5.1. 객관식 답 개수설
이제 이 법칙을 논하는 것은 무의미해졌다.[38] 사실 평가원이 아닌 교육청 학평에서는 '''1~3학년 모두 1~21번 선지 분포가 34455, 34446, 33456등으로 깨지는 일이 제법 흔하다.''' 심지어는 특정 선지가 '''7개(!)'''가 나온 적도 있었다고 한다.
보통 교육과정평가원을 비롯한 공공기관에서 출제하는 객관식 문제들은 각 선지의 정답 비율이 고르게 분포하도록 권고하고 있다.[39] 오지 선다형의 경우 각 선지의 정답 비율이 20%로 가까워야 하고 사지 선다형은 25%에 근접해야 한다. 그래서 1~5번의 선지 중 하나가 5개, 나머지는 4개가 나오게 되는 것이다. 예를 들어 1번이 5개면 2,3,4,5번이 4개라든지 4번이 5개면 1,2,3,5번이 4개라든지. 하지만 이 법칙은 결국 2018학년도 수능에서 통하지 않았다. '''찍는 것도 실력이라는 말이 괜한 말이 아니다.''' 정말 머리를 싸매도 도저히 모르는 문제가 나왔을 때 최후의 수단으로 찍어야만 할 때를 대비해서 객관식 초중반 문제들을 확실히 풀어놓아서 선지 비율을 잘 살펴볼 수 있게 한다. 다시 말해서 객관식에서 안 풀리는 문제가 하나 남았고 나머지 문제가 확실하게 정답이라고 확신할 수 있는 경우, 예를 들어 답 개수가 45443이라면 5번으로 찍으면 된다. 하지만 이 방법의 경우 마지막 한 문제를 빼고 답 개수가 44444가 나왔다면 사용할 수 없다.[40]
2018학년도 9월 모의고사에서는 평가원이 이런 꼼수를 막기위해 답을 4'''4'''553(가형), 3'''5'''544(나형)으로 냈다(굵은 글씨는 21번 선지). 그래서 이 꼼수를 쓰려고 했던 학생들 상당수에게 물을 먹였다.[41] 2018학년도 대학수학능력시험에서도 이 법칙이 통하지 않는다는 걸 확인할 수 있었다. 객관식 선지 분포는 홀수형 기준으로 345'''5'''4(가형), 4'''5'''435(나형). (굵은 글씨는 21번 선지)
다시 한번 쓰자면 본인이 풀어낸 문제가 모두 정답이라는 가정 하에서 이 트릭을 사용할 수 있어서 '''하나라도 오답이 있으면 일절 쓸데없는 방식'''이고 정답 개수 '''6개'''짜리 선지들도 등장하는 추세이기 때문에 여기에 인생을 걸어서는 안 된다.
2019학년도 대학수학능력시험에서는 모의평가와[42] 달리 가, 나형 모두 정답 선지가 다시 고르게 나왔다.
2020학년도 6월 모의평가는 '''가, 나형 모두 한 선지가 6개 나오는 이변[43]이 나와 답 개수 법칙을 의식한 수험생들을 제대로 엿먹였다.''' 분명히 1~2개는 틀렸을 거라고 생각한 많은 수험생들이 검토해봤는데 틀린 부분이 없는 것을 보고 대혼란에 빠져 주관식까지 타격을 입게 해 등급컷 하락에 일조했다. 2020학년도 9월 모의평가에서는 '''가형 한정으로 4번을 6개로 내 답 개수 법칙을 다시 한번 엿먹였다.''' (나형은 44445인데, 21번이 합답형이다.)
'''2020학년도 대학수학능력시험에서도 가형 (5번) 나형 (4번) 모두 6개짜리 답이 나왔다.''' 가형은 34446, 나형은 여태껏 최초인 '''53463'''의 선지 분포가 나왔다. 심지어 '''가/나형 모두 6번째 선지가 나오는 문제가 하필 홀수형/짝수형 모두 21번이라서''' 20번까지 다 풀고 답 개수법칙을 써서 21번 문제를 날로 먹으려는 수험생들에게 '''출제위원들이 친히 빅엿을 선사했다.'''[44]
2021학년도 6,9월은 가,나형 모두 6개짜리 선지는 없었으나, 수능에서는 가형 '''36534''', 나형은 아예 한술 더 떠 '''35553'''이 등장했다. 특이한 점은 최고난도 문제가 둘다 20번이라는 점인데, 21번을 풀었다고 가정할 경우 가형은 어느정도 풀면 1,5번 찍기 싸움이라 사실상 50% 확률 취급이지만, 나형은 홀수형 선지분배 35543인데 답이 4번, 짝수형은 34553인데 답이 2번이라서 함부로 찍을 수도 없었다.
참고로 수능 한정으로 하면 2012학년도 가형(홀수형 한정)을 제외하고 20번과 21번의 답이 동일한 적은 없다.
■: 20번까지 특정 선지 '''하나'''가 '''두 번'''밖에 나오지 않아 21번을 답개수 법칙으로 '''확정적으로''' 맞힐 수 있는 경우 (ex: 20번까지 선지분포가 445'''2'''5인데 21번의 정답이 '''4'''번인 경우)
■: 20번까지 특정 선지 '''하나'''가 '''세 번'''밖에 나오지 않아 21번을 답개수 법칙으로 '''확정적으로''' 맞힐 수 있는 경우 (ex: 20번까지 선지분포가 '''3'''4454인데 21번의 정답이 '''1'''번인 경우)
■: 20번까지 특정 선지 '''두 개'''가 '''세 번'''밖에 나오지 않아 21번을 답개수 법칙으로 '''50% 확률로''' 맞힐 수 있는 경우 (ex: 20번까지 선지분포가 34355인데 21번의 정답이 '''1'''번 혹은 '''3'''번인 경우)
■: 20번까지 1~5번 모든 선지가 '''네 번'''씩 고르게 나와서 21번을 '''20% 확률로 찍어야''' 맞힐 수 있는 경우(즉, 20번까지 선지분포가 '''44444'''인 경우)
■: 20번까지 특정 선지가 '''세 번'''밖에 나오지 않았지만 그 번호로 찍으면 '''틀리고''' 6번 나온 선지가 없는 경우 (ex: 20번까지 선지분포가 4'''3'''445인데 21번의 정답이 '''1, 3, 4'''번 중 하나인 경우)
■: 특정 선지가 21번에서[45] '''6번째'''로 나오는 경우[46] (ex. 20번까지 선지분포가 4344'''5'''인데 21번의 정답이 '''5'''번인 경우)
[ 가형 답개수 ]
[ 나형 답개수 ]
5.2. 합답형 문제 찍기설
'''답개수 법칙과 마찬가지로 현재 이 법칙은 통하지 않으므로 주의.'''[47] 2019학년도 6월 모의고사부터 이법칙을 평가원이 깨서 수험생에게 빅엿을 날려주는 것을 시작했다. 특히 '''믿찍5.(믿고 찍고 보는 5번. ㄷ은 모르면 일단 맞는 걸로 취급)'''[48] 이때 3문제 중 ㄷ이 참인 횟수는 단 1번이다. 그 1번도 19년도 6월 나형은 ㄷ은 참이지만 ㄴ이 거짓이었다.
ㄱㄴㄷ합답형의 경우 '''보기 중에 ㄱ이 있는 보기가 총 2개일 경우 ㄱ은 거짓이고 3개 이상이면 ㄱ이 참이다.'''[49] 그 이유는 출제자가 ㄱ,ㄴ,ㄷ을 모두 풀어보게 하려고 하는 것으로 보인다. 이것 중 가장 대표적이면서 최근 예평, 모평이나 수능에 많이 나오는 선지를 정리하면 다음과 같다. 하지만, 평가원이나 교육청이나 예전부터 ㄱ을 누구나 풀 수 있는 수준으로 쉽게 주고 '''ㄱ이 들어간 선지를 4개나 주는''' 경우가 많아졌다. (볼드체가 정답일 확률이 매우 높다.)
단, '''탐구영역의 경우 그냥 풀어라.''' 왜냐하면 수학과 달리 탐구의 <보기> 1개는 진위를 판단하는데 시간이 오래 걸리지 않기 때문에 하나쯤 버리는 것으로 취급해도 크게 상관없기 때문. 바꿔 말하면 탐구영역이라도 푸는데 오래 걸리는 문제일수록 이 법칙이 맞을 확률이 크다. 탐구영역의 경우 과학탐구는 4쪽 문제의 경우 ㄱ,ㄴ은 푸는데 시간 소비가 적지만 ㄷ에서 많이 괴롭힌다. 그리고, 탐구는 대부분이 다 합답형이기 때문에 공식이 반드시 통하리라는 보장은 없다.
과거에는 [50], '''미적분''', 지수로그함수, 함수의 연속에서 주로 2~4문제 정도 나왔다. 가끔 뜬금없이 통계[51], 공간도형 및 벡터[52]에서 등장하는 경우도 있다.
2017학년도 수능 이후 행렬이 삭제되었기 때문에 2016 6월, 2018 6월, 2019 6월처럼 낮은 확률로 아예 안 나올 가능성이 있긴 하다. 일단 출제하면 가형에서는 특히 '''미적분, 벡터'''에서 주로 나오며 가끔 지수로그함수, 공간도형(18수능), 심지어 평면운동, 확률과 통계에서 출제할 가능성도 있다. 나형은 '''미적분'''에서 특히 많이 등장하며 집합명제(17-6), 함수 그래프(19수능), 함수의 연속(19-9)에서도 나올 가능성이 있다.
아래 표는 수능에서 출제될 수 있는 보기 형태를 정리한 것이다. 2011 수능까지는 다양한 보기 유형이 있었으나, 2012 수능이 되면서 출제할 수 있는 보기 유형이 7개로 제한되었고, 2019학년도 수능 이후부터는 ㄴ도 풀게 하도록 사실상 두 종류로만 출제하고 있다. 정답일 가능성이 특히 높은 것은 노란 배경으로 처리.
[ 가형 ㄱㄴㄷ 정답 ]
[ 나형 ㄱㄴㄷ 정답 ]
[ 2015개정 ㄱㄴㄷ 정답 ]
5.3. 주관식 찍기
일단 답이 0, 1 혹은 문제 번호와 같은 숫자가 나오거나 9XX 같이 숫자가 무식하게 큰 경우에는 의심하자. 답이 2인 경우는 2015년 들어 빈도가 급격히 증가했다.[53] 한 자리 자연수도 많아야 2개가 나오다가 2015학년도부터 최대 4개까지 나오는 등 빈도가 급격히 증가한 편이다. 최댓값은 예상하기 힘들지만 적어도 999 같은 건 거의 나오지 않는다.[54]
일반적으로 두자리 수가 잘 나오며 특히 10~19 정도 구간의 답은 거의 매 시험마다 2~3개씩은 나오지만 2015학년도부터는 1개로 많이 줄어들었다.[55] 2020학년도 9월 모의평가에서는 10~19 사이의 숫자가 하나도 없었다.
답이 2인 경우는 2016학년도 이후 비중이 급격히 증가했고 답이 '''1'''인 경우는 객관식21+주관식9로 바뀐 2005학년도 이후로 가형, 나형, 과거 선택과목 포함하여 단 한번도 없었다. 그러다가 '''기어이 2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가와 동년도 본 수능의 수학 가형 23번 문제에서 답이 '1'이 나왔다.''' 답이 0인 경우는 아직 없다.
문항 번호와 정답 숫자가 일치하는 경우도 수능에서는 2012학년도 이후로 '''한 번도 없었다가 2020학년도 대학수학능력시험까지 가서야 가, 나형에서 1번씩 나왔으며'''(홀수형/짝수형 모두 가형 29번 정답 29, 나형 27번 정답 27) 모의평가에서도 '''3번'''밖에 안 나왔다.(2014학년도 6월 모의평가 b형 22번, 2018학년도 9월 모의평가 나형 28번, 2019학년도 9월 모의평가 가형 30번)
분수가 나오는 경우도 있는데 이 경우에는 q/p(p,q는 서로소인 자연수) 꼴에서 p+q나 p2+q2의 값, 드물게 10p+q을 구하라고 한다.[56] p2+q2값을 구하라는 경우는 분수가 간단한 경우가 많다.[57] 대표적인 예시로 1/4(17),1/8(65), 3/5(34), 1/6(37), 4/5(41) 등등... p+q를 구하라는 경우는 홀수가 대다수를 차지하며 이 중에서도 두 자리 자연수인 홀수(대표적인 예를 들면 35,39,83). 특히 11,13,17,19가 많이 나온다. 가끔 짝수(14)나 심지어 세 자리수(109,222,527)가 나온 적도 있다. 2013학년도 수능을 기점으로 한 자리 자연수 및 짝수도 잘 나온다. 이 경우 별 다른 비결이 없다. 그냥 잘 풀어서 맞히자. 물론 두자리 홀수를 찍으면 정답 가능성이 높아지긴 한다.
나온 최종 답에 특정 자연수를 곱하라는 경우도 있다. 곱하는 수는 보통 '''계산하기 쉽게 10, 100이나 30, 60 등 약수가 많은 숫자를 준다.''' 이런 경우에는 위의 p2+q2를 묻는 문제처럼 실제 답은 간단한 경우가 많다. 그리고 답은 당연히 곱하는 수의 약수이다. 특히 극한 문제에서는 답이 2k(k는 정수)꼴, 특히 1/2, 1/4가 많이 나오니까 참고하자. 문제에서 60k를 구하라고 하면 15,20,30,40이 자주 나온다.
다만 평가원도 이 비결을 알고 있는지 이를 이용한 학생을 틀리게 하는 문제를 종종 내고 있다. 예를 들어 2012학년도 수능 수리 가형 29번은 최종 답에 100을 곱하라는 문제였는데 답이 32였다.[58] 2018 수능 가형 29번도 마찬가지로 10(p+q)를 구하는 문제였는데 답이 '''136(!)'''이었다.
과거 평가원 모의고사와 수능은 같은 문항번호의 정답이 다를 것이라는 편견이 있었으나, 나형은 2017학년도에서, 가형은 2018학년도에서 각각 깨졌다. 2017 수능 수학 나형의 경우, 전년도(2016학년도) 9월 30번, 당해년도 9월 30번 문제와 수능 30번 문제의 정답이 '''65로 같다.''' 덕분에 의도적으로 9월 30번 정답을 피해서 찍은 학생은 보기 좋게 물 먹었다... 그리고 상술했듯이 2018 수능 수학 가형의 경우에도, 9월 23번 문제와 수능 23번 문제, 2019 9월 모의평가 23번의 정답이 모두 '''1로 같다.''' 그리고 2018학년도 6월 모의평가 수학 가형 30번과 2019학년도 6월 모의평가 30번도 답이 '''16으로 같다.'''
또한, 30번 문제 찍기로는 '''65'''라는 숫자가 매우 유망하다. 2016 9월/2017 9월/수능(나형), 2020 6월(나형) 이렇게 4개의 시험에서 30번 문제의 답이 모두 65로 나왔다. 특히나 2017 9월/수능 나형 30번의 경우는 정답률이 각각 '''3%, 6%'''로 어려운 문제였기 때문에, 이 문제들에서 65로 찍은 학생들은 꿀 빨았다. 단, 실제로 30번에서는 수능 한정 39만 무려 3번 나왔고, 다른 수(5, 9, 15, 21, 27, 29, ... , 222, 573 등)는 가/나형 포함 한 번이 전부였다.(공통은 1문제로 취급)
5.3.1. 비범한 찍기 사례
수학 영역 30문제 중 9문제는 주관식이라고 하지만, 엄밀히 따지면 보기가 0~999까지의 정수 1000가지로 한정된 1000지선다형 객관식이라서 실제로 이걸 찍어서 맞히는 사람도 가끔씩 있다.
2011 수능 수리 가형 주관식 찍는 법(?)
이 영상은 2011 수능 치뤄지기 며칠 전에 나왔는데 수리 가형 주관식으로 나온 문제들 중 답이 '''17''',[59] 19 아니면 나온다고 한 '''14'''(가형 18번, 주관식 첫문제), 나온다고 예견한 '''19'''까지 나왔다. '''심지어 19는 가/나형 공통 25번(주관식 마지막) 수열의 극한 킬러문제였다!'''(정답률은 가형 13%, 나형 12%) 대신 이를 기점으로 2013, 2014 수능(14,16/15,16)에서는 2개, 2015, 2016수능에서는 각각 1개(12/15)만 나와서 이제 이 방법은 안 먹힌다. 2020년도 9월처럼 아예 주관식에 1이 들어간 숫자가 없던 적도 있다.
2012 수능의 경우 디씨에서 '10 12 20 찍어' 하는 댓글이 달렸는데 그런데 그것이 실제로 일어났습니다. '''정말로 순서대로 3문제 연속으로 10 12 20이 나와서 화제가 되었다.''' 가형에서도 비록 20은 안 나왔지만 25, 26번 10, 12가 연속으로 나왔고 나형에서는 25~27번을 10, 12, 20으로 찍었다면 11점을 공으로 먹은 셈. 이 당시 가형, 나형 공통 주관식 문제는 25, 30번이고 26번은 문제가 다르지만(가형 이차곡선, 나형 미분) 답은 같았다.
2016학년도 A형 30번의 정답은 무려 '''222'''였다. 실제로 6과목에서 모든 문제를 맞춘, 한 수능 만점자도 숫자가 222로 나와서 불안했다고.
2021 수능 나형 30번 답은 '''39'''였다. 누가 태연의 생일 3월 9일로 찍었는데 맞았다고 한다. 참고로, 똑같은 사례가 2015학년도 수능에도 있었다.(단, 수학 B(가)형)
일반적으로 세자리 자연수가 1~2개, 한 자리 자연수가 1~3개 나오기 때문에 만약 모르는 문제가 나왔을 경우 2자리 자연수를 찍는 것이 안전하다. 또한 중복되는 숫자는 수능 한정으로 2005학년도, 2009학년도(미분과적분 선택 한정)를 제외하고 안 나온다.
수능 한정 30번의 경우 '''3의 배수'''도 잘 나온다. 2012학년도 수능 이후 가, 나형 둘 다 높은 확률로 3의 배수가 나왔다. 2021 수능에서도 나형에서 3의 배수가 나오면서 가/나형 둘다 3의 배수가 아닌 수가 나온 적은 없다.
6. 강사들의 스펙트럼
국어나 과탐을 제외한 과목들이 대체로 그렇지만 인터넷 강의를 비롯한 대입 사교육 시장에서 수학과나 수학교육과를 나온 수학 강사는 '''몇 명 없다!'''[60] 공대를 나온 전공자들이 굉장히 많다. 이는 공대에서 심도 깊게 수학을 다루기 때문. 사실 수학과는 이론과 증명에 철저하게 집중하기 때문에 의외로 계산은 별로 하지 않는다.[61] 때문에 수학과에서 배우는 수학은 오히려 철학에 가깝다고 말하는 사람들도 있다. 반면 공대 수학은 철저히 문제 풀이에 치중하는데, 거의 모든 전공 과목이 결국은 수학 계산 문제로 시험을 보기 때문에 결국 대학 4년 내내 수학 계산만 하다가 졸업한다고 해도 과언이 아니다.[62] 특히 이과의 초월 함수[63]나 확률[64], 통계[65] 등은 수학과보다 공대에서 많이 다루기도 한다.
고교수학 사교육 시장에서 일컬어지는 1타 강사 중엔 신승범, 현우진, 이창무가 대표적인 수학교육, 수학 전공자이고, 한석원, 삽자루[66], 정승제가 대표적인 공학 전공자이다. 수학 참고서를 집필하는 대학생들 역시 수학과 출신은 극소수에 불과하다. 그래도 전공이 매우 다양한 영어에 비해서 수학 강사는 적어도 이공계 출신으로 한정되어 있다.
여기에서 질문을 하나 던지도록 하겠다. 대학교에서 영어 원서를 가장 많이 보는 전공이 무엇이라고 생각하는가? 영어영문학과라고 생각하기 쉽겠지만 안타깝게도 오답이다. 정답은 공과대학이다. 공대는 거의 모든 교재가 원서이기 때문이다. 이렇다보니 수능 영어 강사들은 공대 출신이 많다. 실제로 이충권, 조정식, 김기훈, 김찬휘, 로즈리, 정지웅 등 전현직 1타 강사들을 보면 영문학, 영어교육학을 전공하지 않은 경우가 대부분이며, 강원우, 경선식, 강성태 등 이과 출신 영어 강사도 적지 않다. 심지어 능률 보카, 리딩튜터의 저자로 유명하고 80~90년대 영어 강사로 명성을 날렸던 이찬승은 서울대 수학교육과 출신이다. 전공을 굳이 밝히지 않는 영어 강사 중 적지 않은 수가 이공계 출신이다.
다른 과목과 달리 사교육 시장에서 고교 수학 강사들의 스펙은 매우 높은 편이다. SKY대, 카이스트에 거의 몰려있고, 이외의 학교 출신 강사는 거의 찾아보기 힘들다.[67] 서울에 있는 대형 학원은 물론이고, 지방의 소도시에서도 고등부 수학 강사라면 서울대나 연세대[68] 출신이 대부분이다. 강사 비주얼의 영향이 가장 적은 과목이기도 하다. 탈모인이 1타를 하고 있는 유일한 과목이다. 그만큼 수학 강사는 실력과 강의력이 중요하기 때문.
다만 EBSi는 이런 경향과 많이 떨어져 있다. EBS는 실력이나 강의력과 관계없이 외모가 뛰어나거나 목소리가 크고 쇼맨쉽이 좋은 사람을 강사를 뽑는 경향이 강하다. 물론 EBS에도 차현우, 이미지[69]처럼 학력이 좋은 강사도 있지만, 외모 기준으로 뽑는 와중에 외모도 좋은데 학력까지 좋은 강사가 얻어걸려 뽑힌 케이스라 볼 수 있다. 물론 EBS도 과거 한때 실력 위주의 명강사들이 포진했던 경우가 있었다. 10여년전 이기홍, 한석현[70], 소순영[71], 박승동, 한석원 등 당대 최고의 1타들이 EBS에서 가르쳤던 적이 있었다. 지금으로 따지면 한석원, 현우진, 차영진이 함께 EBS에 있던 시절이라 할 수 있다. 이들 외에도 남언우[72], 서정원[73], 강호길, 양승진 등 당시 실력파로 소문난 강사들도 다수 활약했다. 다만 이기홍, 한석현은 전성기가 지났던 시절이었다. 그런데 EBS를 수강하던 당시 학생들은 사교육계를 휘어잡았던 강사들을 모두 외면하고 당시 절정의 꽃미남이었던 젊은 무명 강사 심주석에 열광했다. 심주석이 사교육 시장에서 날고기던 1타들을 제끼고 EBS 1타 강사가 된 이후 EBS는 강사 선발에 외모나 쇼맨쉽에 비중을 크게 두고 있다. 이후에도 이하영과 타과목이지만 이다지가 미녀강사로 대박을 터트리면서 이런 기조가 쭉 이어지고 있다. 사실 최근 EBS는 수포자, 중하위권을 위한 강좌에 많은 비중을 두고 있는데, 외모, 쇼맨쉽을 중시하는 강사 영입 정책도 이와 맞물리고 있다. 어쨌든 다른 과목에 비해 수학은 EBS와 사설 인강 간에 학생들의 선호도 차이가 유독 큰 편이다. EBS 출신 강사가 사교육 시장에서 별로 성공하지 못하는 경우가 가장 많은 과목이 수학이다.[74]
7. 번호별 수준 배치 및 정·준킬러 유형
수능에서는 번호의 수와 수준이 무관하지만, 과거 수리영역 시절부터 거의 유일하게 수학 영역에서만 번호순으로 수준이 높은 문제가 배치되는 경향이 뚜렷하다. 아주 아닌 경우도 있지만, 대체로 문항 번호 수가 뒤로 갈수록 문항의 수준은 높아진다. 단, 1~30까지 스트레이트로 어려워지지는 않고 5지선다형과 단답형이 수준이 독립적으로 상승한다.
일반적으로는 1~3번 문항 2점, 4~13번 문항 3점, 14~21번 문항 4점, 22~25번 문항 3점, 26~30번 문항 4점이다. 객관식은 2점짜리 3문항, 3점짜리 10문항, 4점짜리 8문항, 단답형은 2점짜리는 없고 3점짜리 4문항, 4점짜리 5문항이다.
1~3번은 2점짜리 문제로 어지간하면 정답률이 90%를 넘는 문제들로 구성되어 있다. 흔히 '''0점 방지용'''으로 수학 개념이나 공식만 알고 있으면 몇 초 안에 풀 수 있다.[75]
5지선다형의 경우에는 보통 17, 18번부터 어려운 문제가 나오기 시작하며 준 킬러의 경우 18~20에 배치되는 경향이 많으며 합답형은 16~20번에 주로, 드물게 21번에 배치되는 편이다. 또 나형은 최근에 18, 19, 20번 중 한 문제를 미적분 종합 합답형으로 내는 경향이 있는데, 최근 나형의 준킬러 문제들은 18~20번 합답형에 의존하는 경향이다. 가끔 가형, 나형 가리지 않고 21번에 나올 때도 있다. 2020 9월 나형과 2020 수능 가형이 그 예시.
나형의 경우 무한등비급수[76]나 빈칸같은 문제가 빈출로 등장하다 보니 최근에는 점점 어렵고 푸는 데 계산도 많아지게 출제하면서 점점 수준이 올라가는 준킬러 문제로 내는 추세이다.
단답형의 경우 27, 28번. 나형은 여기에 29까지 더하여 준킬러로 나올 때가 있다. 가형과 다르게 나형은 유형도 획일화되지 않았고 몇몇 수능에서는 오히려 앞번호보다 더 쉽게 나오지만 대체로 최소한 50%의 오답률 정돈 나오는 준킬러의 위치를 확고히 차지한 편이다.
27, 28 중 적어도 하나는 매년마다 준킬러의 위치를 차지한다. 가형, 나형 모두 이 두 문항 중 하나는 함정을 넣거나 단답형이라는 점을 이용해 계산실수가 나오기 쉬운 유형(예를 들면 확통 경우의 수나 적분 계산)을 넣어서 5지선다형으로 확보를 못할 수도 있는 변별력을 확보하는 편이다. 다만 가형은 표본이 표본이다 보니 오답률은 나형보다는 훨씬 떨어진다.[77][78]
가, 나형을 막론하고 항상 킬러 문제는 21, 30번에 배치된다. 그리고 가, 나형 모두 유형은 획일화되어 있다. 이 중에서도 가장 어려운 문제가 배치되는 번호는 30번이며, 그 수준은 21, 29과도 비교를 불허하는[79] 그야말로 '''100점 방지용 및 1등급컷 100점 방지용 문제'''이다. 매년마다 보통 10%, 더 나아가 '''4% 미만'''의 정답률을 보여주는 문항이라서 문과 SKY 상경대나 이과 메이저~인서울 의대 지망생 등 극상위권을 제외한 1등급 표본들조차도 30번을 최근에 버리는 경향이 뚜렷하다. 어차피 다른 학생들도 못 푸니까.
대체로 수준을 정리해보자면 다음과 같다.
킬러: 21, 29(가형 한정), '''30'''[80]
준킬러: 20, 29(나형 한정)
경우에 따라서는 준킬러: 17~19, 27~28
나머지는 쉽거나 4점 문제여도 그다지 어렵지 않은 편이다. 단, 과거 수준별 수능에서 출제된 세트형 문항중에서 14번은 유달리 어려운 적이 있었다. 보통 킬러를 제외한 나머지 문제를 다 맞히면 가형은 2등급, 나형은 1등급이 확보된다. 가, 나형 고민하는 위키러는 참고할 것.
18학년도를 기점으로 준킬러 난이도를 상승시키고 킬러 난이도를 낮추는 경향을 보인다. 덕분에 변별력은 더욱 강해졌다.
8. 편법이 있는 문제
이의제기나 오류라기보다는, 출제 의도에 의하지 아니하고 그보다 현저히 쉬운 방식으로 정답을 찾아낼 수 있었던 문제를 소개한다. 평가원이 주관하는 6월 모의평가, 9월 모의평가, 수능에 한하여 소개한다. 실제 관습에 따라 '''평가원 모의평가와 수능'''은 '''시행 연도보다 1년 늦은 연도'''로 표기하고, '''교육청 모의고사'''는 시행 연도를 '''그대로''' 표기하였다.
8.1. 2020학년도 9월 모의평가 나형 19번
[image]
본래 출제 의도는 다음과 같다.
$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\cfrac1n}{1+\cfrac{k}{n}}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\\&=\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{1+x}\;{\rm d}x\\&=\int_0^1 4x^3\;{\rm d}x\\&=1\end{aligned}$$
$$\dfrac{1}{n+k}$$이라는 이색적인 형태 때문에 무한급수를 정적분으로 나타내기 까다로운 문제이다. 그러나 다음과 같은 편법으로도 절묘하게 답을 찾을 수 있다.[1] 2019 수능 '''150(!!)'''[2] 다만 서울대학교 이공계열과 같이 대학 입시에서 수학 영역 표준점수에 가산점을 주는 등의 정책으로 인해 결과적으로는 학교에 따라 다르다는 점을 항상 상기하고 있어야 한다.[3] 3점은 14문제(4~13번, 22~25번), 4점은 13문제(14~21번, 26~30번)[4] 사족으로 수능 수학 영역에서는 98점 맞는 사례가 100점 맞는 사례보다 더 희귀한 편이다. 또는 97점은 있어도 98점은 없다거나... 상식적으로 뒤의 그 어려운 문제 다 맞아놓고 앞의 사칙연산 수준의 문제를 틀릴 리가 없기 때문이지만 그래도 꼭 실수하는 사람이 나오는 모양인지 매 수능마다 한명씩은 나오는 편이다. 실제로 17 수능 수학 가형과 19 수능 수학 가형에서 딱 1명씩 있었다. 또한 98점 다음으로 희귀한 점수는 바로 '''95점'''이다.(2점, 3점 배점의 문제를 하나씩 틀린 경우)[5] 세트형 문항은 13, 14번에 주로 배치되나, 배점에 따라 11, 12번이나 14, 15번에 배치되는 경우가 있다.[6] 사실상 40% 반영비에 가깝다. 국어는 33.3%, 탐구는 26.7%.[7] 대신 탐구는 10%대로(...)공기취급받는다.[8] 학력고사 시기와 차별화된 수능의 핵심은 당근 '국어'라고 할 수 있다.[9] 원점수 만점을 획득한 수험생이 받은 표준점수. 해당 시험에서 획득할 수 있는 표준점수 최고점이다. 표준점수는 평균과 반비례한다.[10] 1등급과 2등급을 구분하는 등급구분점수. 1등급을 획득할 수 있는 최소 점수이다.[11] 백분위 100%(상위 0.5%이내)를 받을 수 있는 최소 점수이다.[12] 문과 교차지원도 있긴 있다. 순천향대나 이화여대, 가톨릭관동대, 고신대 의대는 문과생을 뽑는다. 순천향대와 고신대는 교차지원을 허용하지만 가형, 과탐 가산점 때문에 사실상 문과 수능 만점도 힘드나, 이화여대와 관동대 의대는 문과에서 분할모집을 하기 때문에 문과생들도 갈 수 있다. 2019년 7월 1일 수정 물량공급 입결 기준으로 가톨릭 관동대는 누적 0.1~0.12로 서울대 경영-사회, 정외 다음인 농경제, 소비자, 심리학과와 입결이 겹쳤고 이화여대는 그보다 낮은 0.18~0.2로 서울대 교육학과, 자유전공학부와 입결이 겹쳤다. 워낙 소수만 뽑다보니 의대라고해서 항상 이과처럼 치대, 한의대보다 높지 않다. 19년도에도 경희한, 동신한의대가 이대의대보다 입결이 높았고 원광대 치대는 3년 연속 같은 학교인 원광대 한의대보다 입결이 낮았다. 이과에 비해 워낙 극소수만 뽑아서 그런건데 반대로 언젠가는 수능만점자 모두가 관대 의대에 진학하면 수능 1개 틀려도 떨어질 수 있으니 의치대를 포함한 이공계 진학을 원하는 학생들은 꼭 이과를 가도록 하자. '''그냥 나형으로 가는 의대는 없다고 생각하면 된다.'''[13] 나형을 허용하는 학교도 가뭄에 콩 나듯 있지만 선택지가 확 줄어드는 마법을 볼 수 있을 것이다. 나형 허용이라도 '''가형 가산점'''이 있으므로 가형 지원자만으로 경쟁률을 아득히 넘겨버린다. 즉 가산점을 반영한 가형 점수를 나형으로 넘길 자신이 없다면 '''나형으로는 꿈도 꾸지 말라는 말이다.'''[14] 해에 따라 다르지만 0.5% 미만 수준. 사실 이것은 완전 문과생들이 가형을 쳤다기보다는 고등학교에서 이과 교육과정을 배운 이과생이 국어, 영어, 수학 등 주요 과목 성적은 좋은데 유독 과학탐구를 아무리 공부해도 적성에 맞지 않아서 아예 과학탐구를 버리고 사회탐구로 갈아타서 응시한 경우가 많다. 여담으로 서울대학교의 경우 지금은 없어졌지만 한때 문과계열에서 가형을 응시할 경우 약간의 가산점이 주어졌는데 이를 노리고 가형을 응시하는 최상위권 학생들이 간혹 있었다.[15] 일반적으로 가형 3등급을 맞으면 표준점수가 116~120점이지만 나형 1등급 표준점수는 130~135점이다. 가산점 5% 부여시 121.8, 10% 부여시 127.6으로 상대적으로 쉬운 나형으로 빠져나가게 된다. 가산점 5% 부여시 같은 백분위에 같은 표준점수라고 생각하면 되고 10% 이상 부여를 해야 유의미한 차이가 있다고 볼 수 있다. 보통 가형 '''4등급 중후반~5등급 초중반대'''가 나오는 실력이면 나형 '''2등급 컷'''(백분위 89 전후) 정도는 나온다. 가형 3등급 이내의 학생이 나형으로 갈아탄다면 웬만해선 '''1등급'''이 나온다. 가형 3등급 컷 정도가 나오는 사람도 나형 1등급 컷의 점수(대개 88~92점)는 무난하게 나온다.[16] 문과에서 배우지 않는 삼각함수의 덧셈정리나, 음함수의 미분 등을 이용해, 쉽게 풀 수 있는 문제들이 많다.[17] 객관식 최고난도 문제. 보통 찍기도 불가능하게(답 개수 법칙대로 찍었는데 개수법칙이 깨져서 찍은 답이 틀리게 하거나 아예 20번까지 제대로 풀면 각 선지가 4개씩(44444) 나오도록) 만드는 경우가 많다. 가, 나형 둘 다 대부분 미적분에서 나온다. 2015학년도는 수열+지수로그에서 등장.[18] 공간도형 및 벡터에서 출제되는 불문율이 있다. 2013학년도 수능이나 다른 학평, 모평에서는 삼각함수의 극한으로 출제하기도 했다.(2019학년도에서는 평면벡터에서 출제되었다) 이는 2015 개정교육과정에서 공간벡터가 빠지는 것을 염두에 두는 것으로 보인다.[19] 어떻게든 1등급컷 100점을 안나오게 하려는 교수들의 정성이 담긴 문제로 매우 아스트랄하다. 결국 2017학년도 수능에서는 EBSi 기준 정답률 '''3%'''를 기록했다!! 전국에서 몇십 명만 풀었다는 소문도 있지만 사실무근. 만점자가 133명이며, 실제로 이 문제의 정답률은 1997학년도 대학수학능력시험 수리탐구 영역Ⅰ 문이과 공통 29번보다 높다. 애초에 몇십만명이 치는 시험이라 1/1000확률로 찍어도 몇백명은 맞춘다. 거기다 0이나 999같은 걸로 찍는 사람은 없을테니 실제로는 확률은 약 2~3배 더 높다. 역시 미적분에서 나오는것이 불문율이 되어가고 있다.[20] 예를 들어 2009학년도 수리 가형의 경우 1컷 81에 만점자 비율 0.08%, 2013학년도 수리 가형의 경우 1컷 92에 만점자 비율 0.76%였지만 2017학년도 수학 가형은 1컷 92에 만점자 비율 0.07%다. 2018학년도 수학 가형도 1컷 92에 만점자 비율 0.10%다. 2017학년도, 2018학년도 수능은 30번이 너무 어려웠기 때문에 이러한 현상이 나타난 것이고 특히 2018학년도는 21번 문제도 2017학년도에 비해 훨씬 까다롭게 나와서 1등급 비율도 2017 수능보다 감소했다. 92점이 백분위 97이 나왔다.[21] 사실 이 수능의 실제 난이도는 배점 4점짜리의 각 문항 하나하나(14~17번, 26~27번의 비킬러, 18~20번, 28번의 준킬러, 21, 29, 30번의 킬러문제)의 난이도 모두 2013, 2014 수능 난이도와 매우 비슷했다. 즉, 2019 수능의 문제가 2012~2013년에 나왔으면 교육과정이 달라진 것을 배제하면 등급컷은 2013~2014 수능과 비슷한 92-84-76 정도가 나왔을 것이다. 그럼에도 불구하고 1-2컷 간격이 4점이고 3컷이 80점대인 것은 그만큼 수학 가형 응시 학생들의 수준이 높아졌다는 것이다.[22] 보통 1컷 92점 정도의 난이도에서 70점대를 넘어가면 2~3점짜리 문제는 대부분 학생들이 다 맞히기 때문에 2컷이 85로 나온 것은 사실상 '''88점'''이나 다름없다.[23] 경희, 건국, 동국, 홍익 등 대략 인서울 중위권 정도부터. 인서울은 아니지만 인하, 아주나 부산, 경북도 포함. [24] 다만 국민대 자연계는 전체 나형(가형 가산10%)이고, 숭실대 자연계열2(IT학과)나 컴공은 나형 허용(가산 10%), 세종대는 만화전공과 디자인이노베이션, 국방시스템 빼면 모두 가형. 인서울은 아니지만 단국대 화공과, 건축학과, 건축공학과도 나형을 허용한다. 즉 본인의 목표가 국숭세단 이하라면 나형도 괜찮은 선택일 수 있다는 것이다. 이런 경우면 어줍잖게 가형 보다 4, 5등급 맞지 말자. 가형 응시자는 다른 과목 응시자와 차원이 다르다. 2018 수능에서는 중앙값(백분위 50)이 무려 '''72점'''이다. 그러나 2019학년도 수능에서는 비킬러가 두꺼워지면서 중앙값('''평균과는 다르다.''' 19수능의 평균 점수는 60~61점이다. 60점 중후반대 이상이 많이 몰려있고 소수의 깔아주는 인원(10~30점대)가 평균을 크게 떨어뜨리기 때문에 평균과 백분위 50이 속하는 중앙값 점수가 차이가 커진다.)이 약 68점이 되었다. 2016년 이후 수포자 감소 및 학력 수준이 높아지면서 2012~2014학년도 급의 50점대의 중앙값이 나오는 시험과 비슷하거나 조금 더 어렵게 출제해도 어지간해선 중앙값이 60점대 초반에서 나오게 되고 수능에서는 웬만해서는 60점대 후반에서 70점대 초반까지 중앙값이 형성되는 것은 동일하니 만만하게 보지 말자. 사실 2014학년도 이전 수능의 평균 점수로 회귀하기 위해서는 적어도 '''2019학년도 6월 모평급 난이도가 되어야 한다!!'''(당시 1컷 85점, 수능이었다면 1컷 88점급 난이도) 단, 본인이 가고자 하는 목표 대학이 인서울 중상위권 이상이나 의치한이라면 수학 가형을 공부해야 한다.[25] 나형 한정 29번 포함[26] 모의고사 때는 망하다가도 수능 당일에 잭팟이 터질 확률이 타 과목에 비해 높다.[27] 하지만 1~2문제는 킬러 문제로 나와서 100점 비율은 적긴 하다. 이는 문과가 워낙 수학을 못하는 것도 있지만, 21번과 30번의 난이도 조절을 매년 적절하게 하고 있어서 인듯하다. 또한 2009 개정 교육과정 이후의 만점자 비율은 0.1%대(0.05% ~ 0.18%)를 찍고 있다. 정리하자면 가형에 비해 훨씬 쉬운것은 맞지만, 만점 받기가 결코 쉽지는 않다. 또한 재수생이 본격 위협을 가하는 6월부터는 등급컷이 점점 올라가게 된다.[28] 물론 국어, 영어, 사탐이 다 1등급이 나온다면 수학이 2등급이어도 갈 수 있고, 1등급 초반이 나오면 수학이 3~4등급이어도 갈 수 있다. 어디까지나 표준점수를 반영하는 대학 기준이지 '''백분위 반영이면 얄짤없다.'''[29] 만약 문과 수능이 전반적으로 물수능으로 나왔다면 최상위권 학생들은 국수 100/100점, 영어 1등급끼리 경쟁해서 사탐 변환점수 차이로 갈리는 경우도 꽤 생긴다. 그래도 문과는 '''국어, 영어가 우선'''이라는 것을 잊지 말자. 상위권 대학과 상경계열을 제외하면 국어 영어의 반영 비율이 수학의 반영 비율에 비해 높다. 그리고 상위권 대학이라 해도 사학과나 어문계열 등 수학이 필요없는 학과라도 입학시의 수학이 반영된다. '''수학이 필요없는 학과로 입학하려는 학생들이라 해도 상위권 대학의 경우 수학을 많이 반영한다.''' 그러니 수학을 사용하지 않는 학과에 들어갈 생각이라도, 또 그런 직업 쪽으로 꿈을 갖는다 하더라도 수학을 등한시하다간 피를 보니 수학공부 열심히 하길 바란다.[30] ex)2017학년도 수능 27번[31] 가형은 29번에서 공간도형, 벡터 킬러를 내지만 나형 29번은 미적분, 통계, 수열 등에서 중상난도 문제를 내는 등 킬러로 내는게 정형화 되어 있지는 않은 상태다.[32] 그러나 2018학년도 9월 모의고사를 기점으로 29번도 킬러로 등극하는 추세다. 그 결과 1등급컷이 92점에서 88점으로 하락했다.[33] 물론 가형보다는 변별이 잘 되어서 1-2-3컷이 8점차 정도는 된다. 이제 이것도 위태하다. 2018학년도 수능은 1컷 92에 2컷 87이다. 사실상 최고의 물수능 2015를 제외하면 가장 등급컷 간격이 조밀하며 4점을 추가하면 2015와 거의 같다. 또한 2019학년도 수능은 1컷 88로 상당한 어려운 수능이었으나 정작 2등급컷은 84로 또 1-2컷이 4점차로 잡혔다. 게다가 1등급컷 88치고는 표준점수 만점이 139에 불과하는 등 전체적인 표본 수준은 더욱 상승하였다.[34] 예를 들어 2013학년도 수학 나형의 경우 1컷 92에 만점자 비율 0.98%이지만 2017학년도 수학 나형은 1컷 92에 만점자 비율이 불과 0.15%에 그쳤다.[35] 표준형으로 바꾸면 이차함수의 핵심인 꼭짓점, 축, 최솟/최댓값, 증가/감소구간 판별을 다 해낼수 있다.[36] $$\displaystyle 0, {\pi \over 6}, {\pi \over 4}, {\pi \over 3}, {\pi \over 2}, \pi, {3 \over 2} \pi, 2 \pi$$[37] 그러나 2020학년도 수능에서 비킬러 및 준킬러 난이도의 문제가 상당히 어려워져서 1등급컷이 84점이 나왔다. 그래도 이 시험이 이례적으로 어려웠을 뿐이지 웬만해서는 88~92점을 목표로 하는 것이 좋다.[38] 즉, 이 방법을 의식해서 답 개수를 다 맞히거나 아니면 법칙에 어긋나게 찍는 것 자체가 무의미하다는 것이다. 2018 수능 이후 답 개수 법칙을 깨트린 것으로 판단한 2019학년도 수험생들이 일부러 답 개수를 어긋나게 찍은 학생은 어떻겠는가. 게다가 2020학년도로 들어서자 '''6개'''짜리 선지까지 등장하기 시작했다.[39] 예를 들어서 4번에 21개 중 15문항을 넣는다 해보자. 4번으로 기둥세우고 22~25번 주관식 맞추면 60중반에서 최대 70점대까지 가능하다. 나형이면 수포자가 3~4등급을 받는 아스트랄한 상황이 나온다. 이를 방지하기 위함이다.[40] 사실 대부분의 경우, 객관식 문항 중 가장 어려운 21번을 제외한 나머지 20문항의 선지 분포가 44444이다.[41] 다만 가형은 3번밖에 나오지 않은 선지가 2개가 있었기 때문에 둘 중 하나로 찍어서 21번을 맞힐 수 있었기 때문에 44444로 나왔을 때보다 오히려 더 찍기 쉬워졌다. 반면 나형은 3개밖에 나오지 않은 선지인 1번으로 찍으면 '''틀리기 때문에''' 정답률이 매우 낮았다.[42] 가형은 9월의 경우 개수가 34455로 나왔음에도 정작 한 번호로 모두 찍으면 최댓값, 최솟값 차이는 겨우 4점이었다.[43] 가형은 4번이 6개, 나형은 2번이 6개.[44] 그나마 가형은 21번이 합답형이었다. 믿찍 4와 믿찍 5의 갈등을 유발한 셈이지만, 하필 4번은 세 보기들 중 가장 먼저 풀렸을 ㄴ이 없어 5번을 많이 찍어서 정답률이 높았다. 반면, 나형의 경우 ㄱㄴㄷ 문제인 20번을 5, 21번은 2번이 2개 뿐이라 2로 찍다가 2문제를 연달아 틀린 학생들이 매우 많았다.[45] 20번까지 이미 6개의 선지가 나왔다면 21번에서 그 선지가 '''7번째로(!)''' 나오지 않는 이상 확실히 제외되는데다 3번만 나온 선지가 최소 2개가 나오게 되는데, 그 선지들 중 하나가 답인 경우 보통 50% 확률로 찍어서 맞힐 수 있기 때문에 '''옥색'''으로 표시하고(전례가 없지만 20번까지 선지분포가 33356으로 나올 수도 있다.) 3번만 나온 선지가 답이 아닌 경우는 그 번호로 찍어서 맞힐 수 없기 때문에 '''빨간색'''으로 표시한다.[46] 이 경우 20번까지 해당 선지는 5개가 나온 상태로, 나머지 선지 중 적어도 하나가 세 번만 나온 상태이므로 이 선지로 찍었을 경우 '''당연히 틀린다.'''[47] 5번으로 찍는것 한정이다. ㄱ,ㄴ,ㄷ를 모두 풀게 하려는 의도를 가진 법칙은 여전히 유효하다.[48] 원래는 대학수학능력시험/과학탐구 영역/생명과학Ⅰ의 유전 가계도 문제에서 나온 말이다.[49] 이것은 내신이나 모평 등에서 거의 불변의 법칙이라 보아도 무방하다. 생각해보면 어쩔 수 없는 게, 다른 객관식 유형은 어느 정도 경향을 깨더라도 문제 풀이에서 누수가 거의 발생하지 않지만, 합답형은 누수가 상당히 발생할 수 있기 때문. 예를 들어 선지가 ㄱ/ㄱㄴ/ㄱㄷ/ㄴㄷ/ㄱㄴㄷ인데 정답이 ㄴㄷ이라면 ㄱ에서 허무하게 풀려버린다. 이렇듯 합답형은 정답의 경향을 조금만 깨더라도 풀이에 누수가 생겨 오히려 오답률이 낮아지는 현상이 발생할 수 있다. 따라서 내신같은 경우 합답형에서 꼼수를 피하기 위한 목적으로 문제를 출제한다면 아예 선지를 여러 개 찍게 하는 문제로 출제하는 경우가 대부분이다.[50] 이쪽은 2017 수능부터 교육과정에서 사라졌다.[51] 2012학년도 9월, 2013학년도 9월[52] 2010 수능, 2011학년도 9월, 2012학년도 9월, 2018학년도 9월, 2018 수능[53] 수능 또는 모의평가의 경우 05 6월 가형 18번, 13년도 9월 모평 나형 22번(함수극한), 16년도 6월 모평 A형 25번&B형 26번(둘다 행렬 계산문제), 16년도 9월 모평 B형 24번(수열극한), 17년도 6월 가형 22번(삼각함수),21학년도 9월 모평 가형 23번. 전국연합학력평가의 경우 2015학년도 7월 고3 학평 B형 22번.[54] 특히 2013학년도 수능 나형 25번에서 98이 답이었던 문제에서 개념정리를 제대로 하지 않고 980으로 적어 망한 학생들이 많았다. 다만 2009년 11월 고1 전국연합에서 30번의 정답이 999로 나온 적이 있다. 다만 이 문제는 1000으로 나눈 나머지를 구하는 문제라 답안의 크기가 아무 의미가 없었다.[55] 그 덕에 2016학년도 9월 B형 30번에서는 이전 문제까지 10~19사이의 답이 하나도 안 나와 60k를 구하는 문제에 15를 찍은 결과 웃은 수험생들이 꽤 있었다. 실제 사례로 수학 6등급 학생이 이걸 찍어서 맞히기도 있었고, 30번을 '''풀어서''' 맞힌 학생이 평소 '''학평'''에서도 3등급도 겨우 나오던 경우도 있었다. 문제가 30번 치고는 매우 쉬운 것도 있었지만 덕분에 1컷은 100점.[56] 이게 나왔다면 매우 높은 확률로 잘못 풀었을 때 정답의 역수가 나올 가능성이 크다는 말이다.[57] 분모나 분자 중 하나가 32 이상이면 1000이 넘어가니까. 참고로 현재까지 평가원에서 1000으로 나눈 나머지를 구하라는 문제는 아직 나온 적이 없다? (교육청에서는 그러한 문제가 존재했지만, 평가원에는 나온 적이 없는 것으로 추정된다.)[58] 원기둥에 구, 원뿔을 내접하게 집어넣고 구의 중심과 원뿔의 꼭지점을 이은 선, 평면이 이루는 각의 크기를 구하는 문제였는데 원뿔의 꼭짓점과 구의 중심, 그리고 원기둥의 두 밑면의 중심을 지나는 평면으로 잘라 단면화시키면 풀 수 있는 문제였다.[59] 그러나 이후 수능 가형에서 17은 단 한번도 안 나왔다.[60] 수학을 전공하지 않은 사람이 어떻게 수학강사를 하냐고 반론할수 있지만 법적으로는 아무 문제없다. 대학교 과정을 절반이상 수료하거나 전문대 대졸 (초대졸) 이상이면 법적으로 문제가 없다. 실제로 조정식의 경우에는 고려대학교를 졸업하기 전에 강사생활을 시작하였고, 성제준이 학력으로 문제된것도 한국외대를 졸업하지 않고 고졸상태로 학원강사를 해서가 아닌 '''대학을 졸업하지 않았음에도 졸업했다고 기재''' 하여서 문제가 된것이다.[61] 가령 수학과에서 끝판왕 취급을 받는 과목인 현대대수학과 위상수학은 정말 간단한 정수와 복소수의 계산들이 내용을 진행하는데 '''보조'''로서 쓰이고 모든 수업이 논리에 입각해 진행된다.[62] 공업수학이 바로 전공 관련한 계산 문제를 해결하기 위한 기초지식으로서 배우는 것이다. 즉, 수학과에서는 수학이라는 학문 자체를 '''목적'''으로서 다룬다면, 공대에서는 수학을 철저히 공학을 배우고 이해하기 위한 '''도구'''로서 사용하기 때문에 실질적인 계산을 훨씬 더 많이 하게 되는 것이다. 물론 공업수학과 그것을 응용한 전공 내용들을 고등학교 수학마냥 손으로 계산하는 것은 사실상 불가능하기 때문에 공대생에게 공학용 계산기는 제 2의 생명과도 같은 관계가 되어서 수업을 들을 때에도, 시험을 볼 때에도 항상 가지고 다녀야 한다.[63] 기계공학, 전기전자공학, 토목공학 등[64] 전자공학과의 통신 관련 랜덤 프로세스에서 매우 중요하게 다룬다. 다만 최근에 금융수학 과정에 수학과에서도 개설되면서 수학과에서도 예전보다는 확률을 중시하기 시작했다.[65] 산업공학과의 특정 커리는 거의 통계학에 치중되어 있다. 그밖에 도시공학과 등 여러 공대에서 중요하게 다룬다.[66] 서울대학교 (에너지)자원공학과 84학번 출신.[67] 중앙대 수학과 출신도 드물게 있다. 대표적인 예로는 주예지 강사.[68] 지방 학원에서는 왠지 모르게 고대 출신보다 연대 출신이 많이 보인다. 일단 서울대나 고대 수학교육과 출신은 대부분 학교에서 가르치고 있고, 교사보다 좋은 대우를 보장받은 경우에 한해 학원 강사가 되는 경우가 많다. 때문에 대형 학원을 제외하면 서울대, 연대 출신이라 하더라도 수교과가 아닌 수학과나 공대 출신이 대부분이다. 참고로 연대는 수학교육과가 없다.[69] 이미지는 과학고와 카이스트를 졸업한 상당한 고학력자다.[70] 90년대말부터 2000년대 초반 전국 1타였으며, 당시 인지도는 박승동, 이기홍, 소순영 등을 앞섰다. 구주이배라는 브랜드로 많은 참고서를 저술하기도 했다. 그러나 자신보다 나이가 어린 손주은 밑으로 들어가는 것을 꺼려하여 결국 메가스터디 합류를 거절했고, 이후 메가스터디에 영입된 소순영과 박승동이 치고 올라오게 되었다. 이후 당시 최대의 대입단과학원이었던 정진학원 원장이 되었으며 이투스에 인수된 후 이투스 사장을 역임했다. 2000년대 후반 삽자루, 신승범, 정승제가 뜨면서 정상에서 내려오게 되었다.[71] 원조 메가스터디 1타 수학 강사였다. 소순영이 있는 동안 박승동은 한번도 1타를 하지 못하고 2타에만 머물렀고 소순영이 이적한 후 박승동이 메가스터디 1타에 오르게 된다.[72] 남언우는 평범한 외모와 말투 때문에 대중적으로는 크게 알려지지는 않았지만 실은 뛰어난 수학적 내공으로 90년대 전국 최상위권 재수생들이 다니던 종로학원에서 학생들에게 큰 인기와 존경을 받았던 강사였다.[73] 강남 대성학원에서 가장 고난도 수학을 가르치는 것으로 유명하여 최상위권 학생들에게 특히 인기가 높다. 대성학원 타 분원으로 출강하지 않고 본원에서만 강의하는 몇 안되는 강사 중 한 명이다.[74] 물론 원래 사교육 강사였다가 EBS 강사가 된 경우는 상관없다.ex)정승제 / 여기서 말하는 것은 교사 출신으로 EBS 강사가 되었다가 사교육 강사로 진출하는 경우.[75] 실제로 중하위권 학생들도 1~3번은 몇 초 안에 푼다. 1분도 안 걸리는 꼴. 이때문에 96점은 신 취급받지만 98점은... [76] 다만 2021 수능부터 가형 범위로 변경되었다.[77] 예컨대 확통 경우의 수 문제 하나가 가•나형 공통 문항으로 출제되었다면 나형 정답률이 약 35%라고 할 때 가형 정답률은 50~60% 정도에 이른다고 할 수 있다.[78] 단, 2020 수능 9월 모의평가 수학 가형에서 부정적분 계산 문제가 30번으로 나왔는데, 정답률이 '''3%'''라는 꽤나 이례적인 정답률을 보여줬었지만, 당시 30번 문제에 대한 위상을 감안할 필요가 있다.[79] 예외적으로 30번보다 21, 29번이 더 어려울 수도 있다.[80] 예외로 2014학년도 대수능은 29번이 30번보다 더 어려웠다.
$$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)&<\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1nf\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\,(\because k>0)\\&=\int_0^1 f(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac95\end{aligned}$$
포인트는 문제에서 제시된 식의 분모 $$n+k$$에서 $$k$$를 제거하면, $$k$$는 어차피 $$1$$부터 $$n$$까지의 자연수이므로 분모의 값은 작아질 것이고 전체 식의 값은 커진다는 사실이다. 그렇게 분모의 $$k$$를 제거한 식은 훨씬 다루기 쉬운 형태가 되고, 그 값은 $$9/5$$이다. 그런데 문제의 보기에는 $$9/5$$보다 작은 수가 '''마침 1번의 $$\boldsymbol 1$$밖에 없다!''' 따라서 답은 1번이라는 것이다(...).9. 기타
- 수학 영역은 수능의 모든 영역을 통틀어 문항 수 대비 시험시간이 가장 길며[81], 유일하게 단답형이 존재한다.
- 수능 수학 영역에서 0점 ~ 100점의 점수 중 1점과 99점만 불가능하며, 나머지 점수는 모두 가능하다. 증명은 다음과 같다.
- 1. 수능 수학 영역은 2점 문항 3개(총점 6점), 3점 문항 14개(총점 42점), 4점 문항 13개(총점 52점)로 구성되어 있다.
- 2. 4로 나누었을 때 나머지에 따라 총 4가지의 경우를 나눌 수 있다. 4점 문항을 맞힌 수와 상관없이 4로 나누었을 때의 나머지가 같다는 성질을 이용한다.
- 3. 우선 4의 배수인 점수가 가능하다는 것을 보인다. 2점과 3점 문항을 모두 틀린 경우, 0점부터 52점까지 가능하며, 2점과 3점 문항을 모두 맞힌 경우, 48점부터 100점까지 가능하다. 이 수는 모두 4의 배수이다. 따라서 4의 배수인 점수는 모두 가능하다.
- 4. 4로 나누었을 때 나머지가 2인 점수가 가능하다는 것을 보인다. 2점 문항을 하나 맞히고, 3점 문항을 모두 틀린 경우, 2점부터 54점까지 가능하며, 2점 문항을 하나 틀리고 3점 문항을 모두 맞힌 경우, 46점부터 98점까지 가능하다. 이 수는 모두 4로 나누었을 때 나머지가 2이다. 4의 배수인 점수가 모두 가능하므로 짝수인 점수는 모두 가능하다는 사실을 알 수 있다.
- 5. 4로 나누었을 때 나머지가 3인 점수는 99점을 제외하고 모두 가능하다는 것을 보인다. 2점 문항을 모두 틀리고, 3점 문항을 하나만 맞힌 경우, 3점부터 55점까지 가능하며, 2점 문항과 3점 문항을 각각 하나씩만 틀린 경우, 43점부터 95점까지 가능하다. 이 수는 모두 4로 나누었을 때 나머지가 3이다. 따라서 4로 나누었을 때 나머지가 3인 점수는 99점을 제외하면 모두 가능하다.
- 6. 4로 나누었을 때 나머지가 1인 점수는 1점을 제외하고 모두 가능하다는 것을 보인다. 2점 문항과 3점 문항을 각각 하나씩만 맞힌 경우, 5점부터 57점까지 가능하며, 2점 문항은 모두 맞히고 3점 문항을 하나만 틀린 경우, 45점부터 97점까지 가능하다. 이 수는 모두 4로 나누었을 때 나머지가 1이다. 따라서 4로 나누었을 때 나머지가 1인 점수는 1점을 제외하면 모두 가능하다.
- 7. 따라서 수능 수학 영역의 점수는 0점과 100점 범위 내에서는 1점과 99점을 제외하면 모두 가능하다.
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[81] 30문항 100분, 즉 문항 당 200초