제곱근의 앵무조개
1. 개요
피타고라스 정리로 유도되는, 앵무조개처럼 생긴 도형.
2. 상세
밑변과 높이가 $$1$$인 직각삼각형에서 출발하여, 길이가 $$\sqrt2$$, $$\sqrt3$$, $$\sqrt4$$...인 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 차례로 그려 나가면 앵무조개와 같은 기하학적 무늬가 나오는데, 이를 '''제곱근의 앵무조개'''라고 한다. 제곱근의 앵무조개에서 모든 직각삼각형의 밑변의 길이는 $$1$$이다. $$n$$ 번째 직각삼각형의 빗변의 길이는 $$(n+1)$$ 번째 직각삼각형의 높이의 길이와 같고, 그 길이는 $$\sqrt{n+1}$$이다. 표로 정리하면 다음과 같다.
피타고라스 정리로 따져보면 $$1^2+\sqrt{n}^2=\sqrt{n+1}^2=n+1$$이므로 관계가 성립한다. 나아가, $$n$$은 자연수이므로 제곱근의 앵무조개는 한없이 많이 그릴 수 있다.
직각을 작도할 수 있고, 컴퍼스를 사용하여 길이가 같은 선을 또 그릴 수 있기 때문에, 제곱근의 앵무조개는 '''작도 가능하다.''' 만약 직각삼각형의 변의 길이에 $$\rm cm$$ 따위의 단위를 붙인다면, 정확히 $$1\rm cm$$를 작도하는 것은 눈금 없는 자로는 불가능하겠지만, 단위를 언급하지 않았기 때문에 첫째 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 어떻게 정하든 그것이 바로 단위길이가 되므로 문제가 없다.
$$n$$번째 직각삼각형까지 이어붙혔을 때, 회전한 각은
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\limits \arctan (k^{- {1 \over 2}})$$이고 $$\arctan (x) > tx$$(단, $$t$$는 $$1$$보다 작은 실수)가 성립하니 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \limits \arctan (k^{- {1 \over 2}})$$는 발산하고, 이 조개 모양은 무한히 지속된다.
다른 시각으로 보면, 2차원에서부터 변 길이가 같은 윗단계 차원의 초입방체를 대각선에 붙인 꼴이다. 즉 처음 도형은 정사각형, 두번째는 정육면체, 세번째는 정팔포체, … 의 규칙인 셈이다.