직선
1. 개요
straight line · 直線
쉽게 말하자면 말 그대로 곧은 선이다. 직선은 무한히 얇고, 선분처럼 유한한 길이를 가진 것이 아닌 무한히 뻗어나가는 선으로, 한 점으로부터 양쪽으로, 같은 높이에 있는 점들의 무한집합이다. 점과 달리 방향의 개념이 있다.
힐베르트 공리계에서는 직선이 무정의 용어이다. 그 외의 무정의 용어로 점과 평면이 있다.
직선을 나타낼 때에는 직선 위의 임의의 두 점$$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{B}$$를 잡고 직선 $$\mathrm{AB}$$, 혹은 직선 $$\mathrm{BA}$$라고 부른다. $$\overleftrightarrow {\mathrm {AB}}$$로 표기하거나 혹은 직선 통째로 $$l$$, $$m$$, $$n$$ 등 알파벳 소문자로 이름붙이는 경우도 있다.
2. 수학적 분석
2.1. 직선이 유일하게 결정될 조건
- 임의의 두 점이 주어졌을 때
- 기울기와 임의의 한 점이 주어졌을 때
두 경우 모두 평행선 공준이 성립할 때에 유일하다.
2.2. 좌표평면 상 직선의 기술
이 문서에서는 해석기하학적인 직선의 성질을 분석하는 것을 중점으로 두며, 분석의 용의성을 위해 평면(2차원) 상의 직선으로 국한 시켜 주로 다룬다.
2.2.1. 직선의 방정식
결론부터 말하자면, 방정식 $$ax+by+c=0$$ (단, $$a, b, c$$는 상수)은 좌표평면 상 직선을 기술한다.
'''[1]''' $$ab \neq 0$$일 경우
이 경우 위의 방정식을 다음과 같은 형식
으로 쓸 수 있고, 이것은 기울기가 $$-{a}/{b}$$, $$y$$절편이 $$-{c}/{b}$$인 일차함수를 기술하는 직선임을 얻는다.
이때, $$-{a}/{b} > 0$$이면 $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} -({a}/{b})x = \infty$$인 증가함수이고, $$-{a}/{b} < 0$$이면 $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} -({a}/{b})x = -\infty$$인 감소함수이다. 극한값을 보면 알 수 있겠지만, 이 함수는 '''특정한 점으로 수렴하지 않는다.''' 이것은 위에서 말한 직선의 정의와 동치이다.
'''[2]''' $$a \neq 0$$, $$b=0$$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
$$ \displaystyle x=-\frac{c}{a} $$
'''[3]''' $$a = 0$$, $$b \neq 0$$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
$$ \displaystyle y=-\frac{c}{b} $$
이상의 결과를 좌표평면 상에 나타내면, 아래와 같다.
[image]
2.2.2. 벡터 이용
2.2.2.1. 방향 벡터 사용
좌표평면 상 어떤 직선과 평행한 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '방향 벡터(Direction vector)'라 부른다.)
$$\mathbf{u}=(a,\,b)$$
$$\mathbf{l}=(x-x_{0},\,y-y_{0})$$
$$\mathbf{l}=t \mathbf{u}$$
$$ \begin{aligned} x-x_{0}=at \qquad \qquad y-y_{0}=bt \end{aligned} $$
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
$$ \displaystyle \begin{aligned} \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b} (=t)\end{aligned} $$
$$ \displaystyle y=\frac{b}{a}x + \left(y_{0}-\frac{b}{a}x_{0} \right) $$
'''[2]''' $$a \neq 0$$, $$b=0$$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
$$ \displaystyle \begin{aligned} x=at+x_{0} \qquad \qquad y=y_{0} \end{aligned} $$
'''[3]''' $$a = 0$$, $$b \neq 0$$일 경우
이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식
$$ \displaystyle \begin{aligned} x=x_{0} \qquad \qquad y=bt+y_{0} \end{aligned} $$
2.2.2.2. 법선 벡터 사용[2]
좌표평면 상 어떤 직선과 직교하는 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '법선 벡터(Normal vector)'라 부른다.)
를 고려해보도록 하자. 이때, $$a$$, $$b$$는 각각 상수이고, 직선이 점 $$(x_{0},\,y_{0})$$를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 $$(x, y)$$과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터
$$\mathbf{l}=(x-x_{0},\,y-y_{0})$$
$$ a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0 $$
2.3. 직선과 연립일차방정식
이제부터 다음의 연립일차방정식
[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
\ ax+by+c&=0 \\ a'x+b'y+c'&=0
\end{matrix}\right. )]
2.4. 좌표평면 상 직선의 위치 관계
좌표평면 위의 두 직선
$$ \displaystyle \begin{aligned} ax+by+c&=0 \\ a'x+b'y+c'&=0 \end{aligned} $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} y&=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \\ y&=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'} \end{aligned} $$
'''[1]''' 두 직선이 한 점에서 만날 조건
두 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 기울기만 다르면 된다. 따라서
$$ \displaystyle \frac{a}{b} \neq \frac{a'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} \neq \frac{b'}{b} $$
'''[2]''' 두 직선이 평행할 조건
두 직선이 평행하려면 두 직선의 기울기는 같고, $$y$$절편은 달라야 한다. 따라서
$$ \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\,\, \textsf{and}\,\, \frac{c}{b} \neq \frac{c'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c} $$
'''[3]''' 두 직선이 일치할 조건
두 직선이 일치하려면 두 직선의 기울기와 $$y$$이 모두 같아야 한다. 따라서
$$ \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\,\, \textsf{and}\,\, \frac{c}{b} = \frac{c'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} $$
'''[4]''' 두 직선이 직교할 조건
평행이동을 통하여 두 직선은 다음과 같이 원점을 지나는 직선으로
$$ \displaystyle \begin{aligned} y&=-\frac{a}{b}x \\ y&=-\frac{a'}{b'}x \end{aligned} $$
[image]
그리고, $$x=1$$의 직선과의 두 직선과의 각각의 교점 $$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{B}$$를 고려하면, 각각의 점의 좌표는 아래와 같다.
$$ \displaystyle \mathrm{A} \left( 1, -\frac{b}{a} \right) \qquad \qquad \mathrm{B} \left( 1, -\frac{b}{a} \right) $$
$$ \displaystyle {\overline{\mathrm{AB}} }^{2}={\overline{\mathrm{OA}} }^{2} +{\overline{\mathrm{OB}} }^{2} $$
$$ \displaystyle 2+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a'^{2}}{b'^{2}}=\left( \frac{a}{b}-\frac{a'}{b'} \right)^{2} $$
$$ \displaystyle \frac{aa'}{bb'}=-1 $$
$$ \displaystyle aa'+bb'=0 $$
- 두 직선이 한 점에서 만날 조건
- 두 직선이 평행할 조건
- 두 직선이 일치할 조건
- 두 직선이 직교할 조건
2.4.1. 연립일차방정식의 해의 특성과의 연관점
위에서 연립일차방정식을 푼다는 것은 곧, 직선의 교점을 찾는 것과 동치인 문제임을 논의했다. 그런데, 바로 윗문단에서 직선의 위치 관계에 대해 논의했다. 즉, 이 교점의 개수로 해의 개수는 결정되는데 이는 다음을 얻는다.
- 두 직선이 한 점에서 만나거나 직교하는 경우는 곧 해당 연립일차방정식이 유일한 해가 존재한다는 것이다.
- 두 직선이 평행한 경우엔 교점이 없으므로 해당 연립일차방정식의 해가 존재하지 않는다는 것이다. 이 경우를 불능이라 한다.
- 두 직선이 일치하는 경우엔 교점이 무수히 많이 존재하므로 해당 연립일차방정식의 해가 무수히 많이 존재한다는 것이다. 이 경우를 부정이라 한다.
2.5. 점과 직선 사이의 거리
좌표평면 상 직선 $$ ax+by+c=0$$과 직선 외부의 점 $$\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0})$$을 고려하자. 또한 이 직선이 $$\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1})$$을 지난다고 생각해보자.
우선 주어진 직선의 법선 벡터는 $$\mathbf{n}=(a,\,b)$$가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 $$\mathbf{p} := \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$
$$ \displaystyle \mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},\,y_{0}-y_{1}) $$
그렇다면, 구하는 점과 직선 사이의 거리는 한 점에서 직선 위에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 $$\mathbf{p}$$의 법선 벡터 $$\mathbf{n}$$ 위로의 스칼라 사영[3]이 될 것이다. 구하는 점과 직선 사이의 거리를 $$s$$라 놓으면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} s&= \operatorname{comp}_{\mathbf{n}}{\mathbf{p}} \\
&=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}|}{|\mathbf{n}|} \\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]
2.6. 기타 분석
2.6.1. 두 직선의 교점을 지나는 도형의 방정식
이 문단에서는 좌표평면 위의 두 직선 $$ax+by+c=0$$과 $$a'x+b'y+c'=0$$의 교점을 지나는 도형의 방정식을 구해보도록 하자. 우선 두 직선의 교점을 $$(\alpha,\,\beta)$$라 놓고, 두 직선에 각각 점을 대입하면,
$$a \alpha+b \beta+c=0 \qquad \qquad a' \alpha+b' \beta+c'=0$$
$$a x+b y+c+k(a' x+b' y+c' )=0 \quad $$ (단, $$k$$는 상수)
이 방정식은 $$f(x,\,y)=0$$ 꼴이므로 좌표평면 상 어떠한 도형[4]을 나타내는 것은 수학적으로 자명하다. 이 방정식에 두 직선의 교점을 대입하면,
이고, 이것은 $$k$$의 값에 관계 없이 성립하는 항등식이다.[5] 따라서 이 도형의 방정식은 $$k$$의 값에 관계 없이 항상 두 직선의 교점을 지난다는 것을 알 수 있고, 결국 찾는 도형의 방정식임을 얻는다.
다만, 위의 형태의 경우 $$a' x+b' y+c'=0$$이 제외되는 문제점이 있어 이를 다음과 같은 형태로 쓰기도 한다.
$$m(a x+b y+c)+n(a' x+b' y+c' )=0 \quad$$ (단, $$m$$, $$n$$은 상수)
[5] 교점에서 $$a \alpha+b \beta+c=0,\, a' \alpha+b' \beta+c'=0$$이 성립함을 상기하라.
2.6.2. 세 직선이 삼각형을 결정하는 조건
좌표평면 상 다음의 경우를 제외한 세 직선은 삼각형을 결정한다.(단, 두 직선 혹은 세 직선이 일치하는 경우는 제외한다.)
- 세 직선이 모두 평행한 경우
- 두 직선이 평행한 경우
- 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
2.6.3. 두 직선이 이루는 예각
좌표평면 위의 두 직선
$$ \displaystyle \begin{aligned} l_{1}:&\,\,ax+by+c=0 \\ l_{2}:&\,\,a'x+b'y+c'=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle -\frac{b}{a} := m \qquad \qquad -\frac{b'}{a'} := m' $$
[image]
와 같이 되고, 두 직선이 이루는 각 중 예각을 $$\theta$$라 놓자. 그러면
$$\displaystyle \theta=\theta_{2}-\theta_{1} $$
$$\displaystyle \tan{\theta_{1}}=m \qquad \qquad \tan{\theta_{2}}=m' $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=|\tan{(\theta_{2}-\theta_{1})}| \\ &=\left| \frac{\tan{\theta_{1}}-\tan{\theta_{2}} }{1+\tan{\theta_{1}\tan{\theta_{2}} }} \right| \\ &=\left| \frac{m-m' }{1+mm'} \right| \end{aligned} $$
이것은 각각의 직선의 방향벡터를 이용해도 구할 수 있다. 직선 $$l_{1}$$, $$l_{2}$$의 방향벡터를 각각 $$\mathbf{u}_{1}$$, $$\mathbf{u}_{2}$$라 하자. 그렇다면, 이 두 벡터가 이루는 예각을 $$\theta$$라 놓으면 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \cos{\theta}=\frac{|\mathbf{u}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}_{2}|}{|\mathbf{u}_{1}||\mathbf{u}_{2}|} $$
2.7. 3차원 이상에서의 직선
3차원 이상의 고차원 공간에서는 직선을 기술하기 위해 방향벡터의 도입이 필수적이다.
3차원 이상의 공간에서의 직선을 벡터로 기술하는 법 또한 2차원에서의 벡터를 이용한 직선 기술법과 같다. 즉, 방향벡터 $$\mathbf{u}$$와 직선 위의 임의의 벡터 $$\mathbf{l}$$이 평행한 성질을 이용한다. 즉,
$$\mathbf{l}=t \mathbf{u}$$
$$\displaystyle \mathbf{l}=\sum_{i} (x_{i}-p_{i}) \hat{\mathbf{x}}_{i} \qquad \qquad \mathbf{u}=\sum_{i} a_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} $$
$$\displaystyle \sum_{i} (x_{i}-p_{i}) \hat{\mathbf{x}}_{i} =t \sum_{i} a_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} $$
$$\displaystyle x_{i}-p_{i} = t a_{i} $$
$$\displaystyle \frac{x_{1}-p_{1}}{a_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{a_{2}}=\cdots=\frac{x_{i}-p_{i}}{a_{i}} $$
$$\displaystyle \frac{x-p_{x}}{a_{x}}=\frac{y-p_{y}}{a_{y}}=\frac{z-p_{z}}{a_{z}} $$
만약, $$a_{j}=0$$을 만족하는 $$x_{j}$$축 방향벡터의 성분이 있다면, $$x_{j}$$축을 제외한 것만 위와 같이 연달아 쓰고, $$x_{j}=p_{j}$$라는 조건들이 붙는데 이것은 직선들이 지나는 점 중 $$x_{j}$$축 좌푯값은 $$p_{j}$$로 고정되어야 한다는 것을 나타낸다. 예를 들어 3차원 상에서 $$a_{z}=0$$이라면, 직선의 방정식은
$$\displaystyle \frac{x-p_{x}}{a_{x}}=\frac{y-p_{y}}{a_{y}}, \, z=p_{z} $$
위 식을 '''다중선형형식'''(Multilinear form)이라고 하며, 차원과 무관하게 항상 직선을 그린다는 사실이 밝혀져 있다.
3. 기타
- 일상생활에서 보통 직선이라 말하는 것은 엄밀하게는 선분이다.[6] 하지만 수학적인 용어랑 일상 용어는 다르니 완전히 틀린 건 아니다.
- 대한민국 교육과정 상에서는 직선의 경우 중학교 2학년 일차함수 단원을 통해 일차함수의 그래프 개형이 직선이라는 것을 먼저 배운 후 본격적으로 고등학교 1학년 도형의 방정식 단원을 통해 해석기하학적으로 직선의 성질을 배우게 된다. 그리고, 고2~3 기하 단원을 통해 벡터를 이용한 직선을 해석하는 법을 배운다.
- 택시 거리 공간에서는 축에 평행하지 않는 직선은 '직선'이 아니라, 꺾은선이 된다.
4. 관련 문서
[6] 일상생활에서 말하는 직선은 대부분 유한한 길이를 가지고 있다. 게다가 무한히 얇지도 않은 경우가 대다수이다.