택시 기하학
1. 개요
기하학 중에 한가지로 유클리드 기하학에서의 거리에 대한 정의가 다르다. 보통 Taxicap geometry 라고 부르지만, 거리에 대한 내용만 다룰 경우 '맨해튼 거리(Manhattan distance)'라고 부른다.
19세기 수학자 헤르만 민코프스키에 의해 처음 연구되었다.
택시 기하학은 특이하게도 유클리드 기하학의 5개 공준을 모두 만족한다. 하지만, 길이(=거리)에 대한 정의가 다르다 보니 유클리드 기하학과는 사뭇 다른 특성이 나타나며, 이런 이유로 비유클리드 기하학으로 분류된다.
2. 맨해튼 거리
미국 뉴욕의 맨해튼처럼 바둑판 격자 모양으로 도로가 나있는 상황에서, 한 지점에서 다른 위치로 이동하기 위해서 필요한 거리를 뜻한다. 도로가 바둑판 격자처럼 되어 있으니 도로를 따라 이동해야 하는데, 이때의 이동거리가 두 점 사이의 거리가 된다.
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좌표계에 두점 P, Q 가 주어질때 두 점사이의 거리는 아래와 같이 정의된다.
$$d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|$$
예를 들어 이차원 평면에서 두점 $$P(p_1,p_2)$$ 와 $$Q(q_1, q_2)$$ 에 대해서 두 점사이의 거리는 아래와 같다.$$d = | p_1 - q_1 | + | p_2 - q_2 |$$
3. 여러 도형의 형태
여러 도형의 모습은 여기, 또는 여기서 볼 수 있다.
3.1. 원
기하학에서 원은 '''한점에서 같은 거리에 있는 점의 집합'''으로 표현된다. 그런데, 택시 기하학에서는 '''거리'''의 정의가 다르다 보니 원의 모습도 다르게 나타난다.
예를 들어 정수 격자 좌표계에서 한 점에서 거리가 2인 점들의 집합을 나타내면 이와 같다. 그리고, 격자의 크기를 계속해서 줄여 나가서 격자의 크기가 0 인 극한(실수좌표계)을 생각해 보면 원의 모습은 이렇게 된다. 즉, 흔히 말하는 마름모꼴 형태의 정사각형이 된다.
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유클리드 기하학의 원의 방정식은 $$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $$ 이지만, 택시 기하학에서의 원의 방정식은 원의 중심이 (a,b) 이고, 거리가 d 일때 아래와 같이 표현된다.
$$ |x - a| + |y - b| = d $$
3.2. 타원
타원은 두 점에서의 거리의 합이 같은 점의 집합이다.
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빨간색 도형이 택시 기하학에서의 타원이다. 파란색은 유클리드 기하학의 타원.
유클리드 기하학에서 거리의 합이 두 초점 사이의 거리와 같으면 타원이 폐곡선이 아니라 두 초점을 이은 선분으로 나타나는데, 택시기하학에서는 두 초점의 x좌표와 y좌표가 모두 다를 경우 두 초점을 잇는 최단 경로가 무한히 많으므로 두 초점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형의 테두리와 내부, 즉 면의 형태로 나타나게 된다.
3.3. 포물선
포물선은 주어진 한점과 한 직선에서 같은 거리에 있는 점의 집합이 된다. 포물선은 아래 형태로 나타난다.
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3.4. 쌍곡선
쌍곡선은 아래와 같은 모습이다.
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3.5. 두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합
유클리드 기하학에서는 두점에서 같은 거리에 있는 선은 '수직이등분선'이라고 부르며 '''직선'''이 된다. 두 점의 x좌표나 y좌표가 같으면, 택시 기하학에서도 직선으로 나타나지만, 그렇지 않은 경우 직선이 아니게 된다.
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단, 두 점으로 만들어지는 직선의 기울기가 1 또는 -1 인 경우라면, 이 집합은 선이 아닌 면의 형태로 나타난다.
4. 특징
택시 기하학에서는 삼각형의 합동이 성립하지 않는다.
택시 기하학에서는 수선의 발이 유일하게 결정되지 않을 수 있다. 또한, 수선의 발이 수직이 아니다.