상수함수

1. 개요

---

constant function · 常數函數
$$f(x)=1$$과 같이, 정의역에 관계없이 항상 함숫값이 같은 함수를 '''상수함수'''라고 한다. 다항함수의 일종이다. 식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$f(x)=a$$ ($$a$$는 상수)

2. 성질

---

• 일반적으로 그래프는 $$x$$축에 평행한 직선이다.[1]
  • 직선으로 나타나는 상수함수의 그래프끼리는 닮았다.
  • 볼록함수가 아니다. 모든 함숫값이 동일하기 때문이다.
• 극값을 갖는 점이 무수히 많다.[2]
  • 극값은 한 개 존재한다.
  • 그래프 위의 모든 점이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이다.

3. 도함수

---

상수함수의 도함수는 0이다. 상수함수의 그래프는 $$x$$축과 평행하므로 모든 점에서의 접선의 기울기는 0이 된다.

$$f'(x)=0$$

[1] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타날 수도 있다.

[2] 정의역이 하나의 수이어서 그래프가 '한 점'으로 나타나면 오직 그 점만이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이 되므로 극값은 하나이다. 반면 극값이 하나가 아닌데 무수히 많은 극점을 갖는 함수도 있는데 그 예로는 바이어슈트라스 함수가 있다. 이외에도 사인함수도 극점이 무한개이다.

4. 역도함수

---

상수함수의 역도함수는 다음과 같이 상수함수의 함숫값을 기울기로 하는 일차함수이다.

$$F(x)=ax+\textsf{const.}$$ ($$\textsf{const.}$$는 적분상수)

5. 역함수

---

상수함수는 $$x$$의 값에 상관없이 함숫값이 일정하므로 일대일 대응이 아니다. 그래서 원칙적으로는 역함수를 정의할 수 없다.
다만 음함수 꼴로는 아래처럼 $$x$$에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

$$x = a$$ ($$a$$는 상수)

이 음함수가 나타내는 그래프는 $$x$$축에 수직인 직선이며, 미분 불가능하다(= 기울기가 발산한다).

6. 공식

---