초기하함수

 


1. 개요
2. 정의
3. 몇 가지 특수한 경우
4. 관련 문서


1. 개요

'''초기하함수(Hypergeometric function, 超幾何函數)'''는 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화시키는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.

2. 정의

일반적으로, 확장된 정의에서는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} {}_pF_q(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p;\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q;\,z) & \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a_1^{\bar{n}}a_2^{\bar{n}}\cdots a_p^{\bar{n} }}{b_1^{\bar{n}}b_2^{\bar{n}}\cdots b_q^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]
여기에서 $$\displaystyle a^{\bar{n}} $$는 상승 팩토리얼이다. $$p, q$$는 각각 $$\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p\}$$, $$\{b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q\}$$의 노름이다.[1]
$$p=2$$, $$q=1$$인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 '''가우스 초기하함수'''(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} {}_2F_1(a,\,b;\,c;\,z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar{n}}b^{\bar{n} }}{c^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]
[1] 즉, 매개변수로 들어갈 집합 크기에 맞춰서 $$p, q$$를 넣어야 한다.

3. 몇 가지 특수한 경우

  • $$\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z $$
    • $$\displaystyle {}_0F_0(;;z) $$는 항상 지수함수이다.
  • $$\displaystyle {}_0F_1\left(;\frac{1}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z $$
  • $$\displaystyle z\cdot{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\sin z $$
  • $$\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a} $$
    • 특히 $$a=1$$인 경우, $$\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n$$이고, $$\left\vert z \right\vert<1$$일 때 초기값 $$1$$, 공비가 $$z$$인 기하급수이다.
  • $$\displaystyle {}_2F_1(1,\,1;\,2;\,z)= \ln\left(1-z\right) $$
  • $$\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z) $$
  • $$\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z) $$

  • $$\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z}$$

4. 관련 문서