지수함수

 


1. 개요
2. 그래프의 특징
3. 극한값
4. 미적분
6. 여담
7. 관련 문서


1. 개요

exponential function, 指數函數
[image]
$$y=2^x$$의 그래프
'''지수함수'''는 지수에 미지수 $$x$$가 있는 함수, 즉 $$f\left(x\right) = a^x (a>0, a \neq 1)$$ 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 달리 멱함수(冪函數)라고 하기도 한다. 대략적으로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에[1] 초월함수에 속한다. 대한민국의 수학 교육과정에서는 고등학교 수학Ⅰ(2015개정교육과정)에서 배운다.
지수함수는 지수 법칙을 실수 범위로 확장한 뒤에 배우게 되는데 실수에서의 지수 법칙을 만족하기 위해 밑 $$a>0$$을 전제로 깔고 간다. 따라서 아래 문단에서 특별한 설명이 없으면, $$a>0$$을 전제로 한다.[2]
또한 지수함수에서 $$a=1$$인 경우에는 상수함수가 되기 때문에 지수함수에서 제외한다.
정규분포에서 등장하는 확률 밀도 함수가 일종의 지수함수이며, 삼각함수 또한 지수함수의 변형으로 볼 수도 있다.

2. 그래프의 특징

  • $$a^0 = 1$$이기 때문에 $$\left(0, 1\right)$$을 반드시 지난다.
  • $$a^1 = a$$이기 때문에 $$\left(1, a\right)$$를 반드시 지난다.
  • $$\displaystyle a^{-1} = {1 \over a}$$이기 때문에 $$\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right)$$를 반드시 지난다.
  • $$a>1$$인 경우, $$x$$값이 증가하면 $$y$$값도 증가하는 증가함수이다.
  • $$0
  • 상수항이 없는 경우[A] 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다.
  • 로그함수 $$f\left(x\right) = \log_{a}{x}$$와 서로 역함수 관계이다. 즉, $$y=x$$에 대칭이다. (단. 이 때의 정의역은 당연히 0보다 큰 실수(원래 지수함수의 치역, 이것이 로그의 진수조건)로 바뀐다.)
정의역에 역수를 취한 지수함수 $$\displaystyle y = a^{1 \over x}$$의 특징은 다음과 같다.
  • $$a^1 = a$$이기 때문에 $$\left(1, a\right)$$를 반드시 지난다.
  • $$\displaystyle a^{-1} = {1 \over a}$$이기 때문에 $$\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right)$$를 반드시 지난다.
  • 점근선이 $$x=0, y=1$$인 쌍곡선이다.
  • 함수 $$f\left(x\right) = \log_{x}{a} = \dfrac{1}{\log_{a}{x}}$$와 역함수 관계이다.
정의역을 제곱하고 반수를 취한 지수함수 $$\displaystyle y = a^{-x^2}$$[3]의 특징은 다음과 같다.
  • $$a^0 = 1$$이기 때문에 $$\left(0, 1\right)$$을 반드시 지난다.
  • $$x$$의 절댓값이 증가하면 $$y$$값은 감소하는, 종 모양을 그리는 짝함수이다.
  • 상수항이 없는 경우[A] 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다.
한편, 밑과 지수가 같은 특수한 지수함수인 $$y = x^{x}$$[4]의 특징은 다음과 같다.
  • $$1^1 = 1$$이기 때문에 $$\left(1, 1\right)$$을 반드시 지난다.
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^x} = 1$$이므로[5] $$\left(0, 1\right)$$에서 출발하도록 그린다.( 단, $$0^0$$은 정의하지 않으므로 $$\left(0, 1\right)$$은 뻥 뚫어놓는다.)
  • $$x>1$$인 경우, $$x$$값이 증가하면 $$y$$값도 증가하는 증가함수이다.
  • $$0
  • $$x<0$$인 경우, 함숫값이 $$x$$가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 허수이다.
  • 이 함수의 역함수는 초제곱근 함수이다.
위 함수의 변형인 $$y = x^{1 \over x}$$의 특징은 다음과 같다.
  • $$1^1 = 1$$이기 때문에 $$\left(1, 1\right)$$을 반드시 지난다.
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{1 \over x}} = 0$$이므로 $$\left(0, 0\right)$$에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0)]으로 나누기는 정의하지 않으므로 $$\left(0, 0\right)$$은 뻥 뚫어놓는다.)
  • $$x>0$$인 구간에서 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 $$\displaystyle x = e$$ 이다. $$xe$$인 경우 $$x$$값이 증가하면 $$y$$값은 감소하는 감소함수이다.
  • $$x<0$$인 경우, 함숫값이 $$x$$가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 허수이다.
위 함수의 또 다른 변형인 $$y = x^{-x}$$의 특징은 다음과 같다.
  • $$1^{-1} = 1$$이기 때문에 $$\left(1, 1\right)$$을 반드시 지난다.
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{-x}} = 1$$이므로 $$\left(0, 1\right)$$에서 출발하도록 그린다.( 단, $$0^0$$은 정의하지 않으므로 $$\left(0, 1\right)$$은 뻥 뚫어놓는다.)
  • $$x>0$$인 구간에서 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 $$\displaystyle x = \frac{1}{e}$$ 이다. $$x<\dfrac{1}{e}$$인 경우 $$x$$값이 증가하면 $$y$$값도 증가하는 증가함수이며, $$x>\dfrac{1}{e}$$인 경우 $$x$$값이 증가하면 $$y$$값은 감소하는 감소함수이다.
  • 점근선이 $$y=0$$이다.
  • $$x<0$$인 경우, 함숫값이 $$x$$가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 허수이다.

3. 극한값

  • $$a>1$$의 경우
    • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = \infty$$
    • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = 0$$
  • $$0
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = 0$$
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = \infty$$
극한을 모르는 이를 위해 설명하자면, $$a>1$$이면 x값이 증가할수록 그래프가 위로 올라가고, x값이 감소할수록 x축에 점점 가까워진다는 뜻.
$$0<a<1$$이면 반대로 x값이 증가할수록 그래프가 x축에 점점 가까워지고, x값이 감소할수록 그래프가 위로 올라간다는 뜻.
이때 어느 경우든 함수의 그래프가 x축에 점점 가까워지므로 점근선이 x축이라고 볼 수 있다.

4. 미적분

  • 미분: $$ \dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} {\ln a}$$
    • $$ \dfrac{d}{dx} a^{1 \over x} = -a^{1 \over x} {\ln a \over x^2} $$
    • $$a < 0$$인 경우 : $$ \dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} ({\ln |a| + i \pi})$$
    • $$ \dfrac{d}{dx} e^{x} =e^{x}$$
    • $$ \dfrac{d}{dx} i^{x} = {i \pi \over 2} \cos ({\pi x \over 2}) - {\pi \over 2} \sin ({\pi x \over 2})$$
    • $$ \dfrac{d}{dx} a^{\ln x} = {a^{\ln x} \ln a \over x}$$
    • $$ \dfrac{d}{dx} x^{x} = x^{x}({1 + \ln x})$$
      • $$ \dfrac{d}{dx} x^{x^{x}} = x^{x^{x} + x - 1} (x (\ln x)^2 + x \ln x + 1)$$
      • $$ \dfrac{d}{dx} x^{1 \over x} = x^{-2x +1 \over x}({-1 + \ln x})$$

  • 적분 : $$ \displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$$
    • $$ \displaystyle \int a^{1 \over x} dx$$는 초등함수로 표현할 수 없다.[6]
    • $$a < 0$$인 경우 : $$ \displaystyle \int a^{x}dx = {a^{x} \over \ln |a| + i \pi} + C$$
    • $$ \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C$$
      • [math( \displaystyle \int e^{ix} dx = \sin x - i \cos x + C)]
      • $$\displaystyle \int e^{-x^2} dx$$는 초등함수로 표현할 수 없다.[7]
    • $$ \displaystyle \int i^{x} dx = {2 \over \pi} \sin ({\pi x \over 2}) - {2i \over \pi} \cos ({\pi x \over 2}) + C$$
    • $$ \displaystyle \int a^{\ln x}dx = {x a^{\ln x} \over \ln a + 1} + C$$
    • $$ \displaystyle \int x^{x} dx$$, $$ \displaystyle \int x^{-x} dx$$, $$ \displaystyle \int x^{1 \over x} dx$$는 초등함수로 표현할 수 없을뿐더러, 저 적분으로 정의되는 특수함수조차 없다.[8][9]

5. 등비수열

등비수열의 일반항은 $$a_n=ar^{n-1}$$이므로, 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수로 볼 수 있다. 등비수열#s-4 참고.

6. 여담

  • 어떤 현상이나 수치가 갑자기 늘어나는 양상[10]을 영어로는 exponential growth라고 한다. 이걸 직역하면 '지수(함수)적 성장'이다. 한국어로는 보통 '기하급수적'이라고 표현하는데 같은 의미.
대학 수준의 해석학이나 복소함수론에서[11] 지수 함수를 정의할 때에는, 밑이 $$a$$인 지수함수를 먼저 정의하는 게 아니라 먼저 [math(e)]를 밑으로 하는 지수함수 $$e^z = \exp{z} \left(z \in \mathbb{C}\right)$$[12]를 정의하고 그 다음에 밑이 $$e$$가 아니라 $$a$$인 경우를 정의하기도 한다.
$$e^z = \exp{z}$$을 $$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots$$[13]이라고 정의한 다음, $$a^z$$을 $$a^z = \exp\left(z \cdot \log{a}\right) = e ^ {z \cdot \log{a}}$$[14]로 정의하는 식.
또한 해당 정의를 행렬(!!!)에 적용시킨 Exponential Matrix 라는것도 존재한다. 대충 정방행렬 $$A$$에 대해 $$e^A = \exp{A}$$를 $$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{A^n}{n!}} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \frac{A^4}{4!} + \cdots$$ 식으로 정의하는데 마찬가지로 각 성분마다 값이 수렴하므로 존재성이 보장된다. 하지만 보통 계산은 저렇게 이루어지지 않고 적분변환이나 대각화, 삼각화를 이용하여 구하는 것이 일반적이다. 이는 주로 선형 연립미분방정식의 동차해를 구할 때 이용된다.

7. 관련 문서


[1] 일반적인 다항식과는 달리, 거듭제곱 자리에 정의역이 들어가기 때문. 다만 테일러 급수를 이용하면 무한차 다항식으로 표현이 가능하다.[2] $$a$$가 0이면 정의역이 $$x>0$$이 되고 치역이 '''[math(0)]뿐'''이다. $$a$$가 0보다 작으면, 음의 정수일 때에만 함숫값이 실수이며 $$a$$가 정수가 아닌 음의 실수라면 함숫값이 허수이므로, 공역이 실수 혹은 그의 부분집합이라면 그래프가 '''불연속적'''이다. $$a<0$$의 경우 오일러의 등식을 이용해서 미분과 부정적분을 구할 수 있다.[A] A B 그말인즉슨 y축 방향으로 평행이동을 시키지 않았을 경우[3] 형태를 보면 알겠지만 확률 밀도 함수이다. 가우스 함수라고도 한다.[4] 테트레이션을 이용하여 $$y = x \uparrow\uparrow 2$$ 로 표현할 수 있다.[5] $$x^x$$에 자연로그를 취한 다음 로피탈의 정리로 풀면 된다.[6] 부정적분식이 $$ \displaystyle \int a^{1 \over x} dx = x a^{1 \over x} - \text{Ei}({\ln a \over x}) \ln a + C$$로, Ei는 지수 적분 함수라는 특수함수이다.[7] 적분식이 $$\displaystyle \int e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + C$$로, $$\mathrm{erf}(x)$$는 오차함수(Error Function)라는 특수함수이다.[8] 울프람 알파에서는 (no result found in terms of standard mathematical functions)라고 표시된다. 다만 특수함수는 누군가가 직접 만들면 되긴 한다. 외국 포럼에서도 $$x^x$$의 적분이 어떻게 되는지 담론이 오가고 있다.[9] $$[0,1]$$ 구간에 한정해서 2학년의 꿈이 정의되어 있기는 하다.[10] 예를들면 과학의 발전속도가 이러한 양상을 띤다.[11] 딱히 복소함수론이 아니더라도 고등학교 이후의 수학에서는 지수함수 관련으로 e 이외의 수는 들러리 취급당한다.[12] 같은 표기를 왼쪽처럼 쓰기도 하고 오른쪽처럼 쓰기도 한다. 복소수에서의 지수함수라는 점을 강조하기 위해 우측 표기를 쓰는 경우가 있다.[13] 여기서 $$n! = n \times \left(n-1\right) \times \left(n-2\right) \times \cdots \times 2 \times 1$$. 항목 참고.[14] 여기에서의 log는 상용로그가 아니라 밑이 e인 자연로그를 말한다. 대한민국 고등학교에서 ln이라고 쓰던 바로 그것.

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