최소공배수
1. 개요
'''Least Common Multiple, LCM · 最小公倍數'''
초등학교에서 약수 (divisor or factor) 와 배수 (multiple) 를 배운 뒤에 최대공약수 (greatest common divisor or greatest common factor) 와 함께 배우게 되는 내용. '''공배수''' (common multiple) 란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 '''공통인 배수'''라는 뜻이다. 최소공배수 (least common multiple) 는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 $$a,b$$의 최소공배수를 기호로 $$\text{lcm}\left(a,b\right)$$로 표기하며,[1] 더욱 줄이면 $$\left[a,\,b\right]$$로 표기하기도 한다.[2]
간혹 최'''대'''공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문.
2. 찾는 법
예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.
여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 예로 '''60갑자'''는 10갑(갑을병정...)과 12자(자축인묘...)의 조합을 의미하는 것으로, 60가지의 조합이 있어 60갑자라고 부르는 것이다. 이처럼 최소공배수는 나열에 해당하는 경우의 수를 구할 때 사용한다.10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,
이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[3] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.$$10=2\cdot5$$
$$12=2^2\cdot3$$
위에서 봤듯이 최소공배수는 대수학적으로는 그 성질을 다루기가 매우 까다롭기 때문에 특수함수에 속한다.
최대공약수 $$\gcd$$를 이용하는 방법도 있다. 최대공약수와 다음과 같은 관계가 성립한다:
단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 순환논법이 될 수 있음을 주의해야 한다.$$\mathrm{lcm}(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a,\,b)}$$
3. 성질
두 정수 $$a,b$$에 대하여,
- $$\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab$$
- $$\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab$$
- $$a\mid \text{lcm}\left(a,b\right)$$
- $$b\mid \text{lcm}\left(a,b\right)$$
4. 증명
1. $$\gcd\left(a,b\right)=G$$라 하자. 그럼 적당한 정수 $$m$$, $$n$$에 대해 $$a=Gm,b=Gn$$, ($$m,n$$은 서로소)가 성립한다. 이 때, lcm$$\left(a,b\right)=Gmn$$이다. 따라서, $$\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab$$
2. $$\gcd\left(a,b\right)=G$$라 하자. 그럼 적당한 정수 $$m,n$$에 대해 $$a=Gm$$, $$b=Gn$$, ($$m,n$$은 서로소)가 성립한다. 이 때, $$\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn$$이다. 따라서, $$\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab$$