평면

1. 개요

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'''(Euclidean) Plane · 平面'''
3차원 상의 곡면 중 평평한 면을 '''평면'''이라 한다. 주의해야 할 것은 일상 생활의 개념과 달리 수학적인 평면은 '''무한한 면'''을 다룬다는 것이다. 즉, 직육면체의 윗면 같은 것은 평면의 '''일부'''를 도려낸 것이다.

2. 수학적 분석

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2.1. 평면의 결정 조건

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아래의 4가지 조건에 의해 평면은 유일하게 결정된다.

• 서로 다른 세 점이 주어질 때
• 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어질 때
• 두 평행한 직선이 주어질 때
• 세 각의 합이 $$2\pi$$인 삼각형이 주어질 때[1]

2.2. 평면의 위치 관계

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2.2.1. 평면과 직선

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공간 상에 있는 한 평면 $$\pi$$와 한 직선 $$l$$은 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.

• (a): 포함한다.
• (b): 한 점에서 만난다.
• (c): 평행하다. 이것을 기호로 $$\pi \parallel l$$로 나타낸다.

위에서 '''(a)''', '''(b)'''는 평면과 직선이 직접적으로 만나지만, '''(c)'''는 만나지 않는다는 것에 유의하라.

2.2.1.1. 직선과 평면의 직교

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공간 상 한 평면 $$\pi$$와 해당 평면에 대해 한 점에서 만나는 직선 $$l$$을 고려하자. 이때, 다음을 만족하면 평면 $$\pi$$과 직선 $$l$$은 직교한다고 하고, 기호로 $$l \perp \pi$$로 나타낸다.

• 직선 $$l$$과 평면 $$\pi$$ 위의 모든 직선이 직교할 때

다음 그림을 참조하라:

이때, 한 직선과 한 평면이 직교하는 것은 '''해당 직선과 그 평면 위의 평행하지 않은 두 직선이 직교한다는 것'''을 보이면 된다. 이것의 증명은 아래와 같다.

평면 $$\pi$$와 해당 평면에 한 점에서 만나는 직선 $$l$$을 고려하고, 직선 $$l$$과 직교하는 두 직선 $$m$$, $$n$$을 고려해보도록 하자. 이때, 두 직선은 평행이동을 통해여 직선 $$l$$과의 교점 $$\mathrm{O}$$에서 만나게 할 수 있다. 그러한 직선을 $$m'$$, $$n'$$이라 놓고, 직선 $$l$$에 $$\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}}$$를 만족하게 하는 두 점 $$\mathrm{P}$$, $$\mathrm{P'}$$를 잡자. 또, 두 직선 $$m$$, $$n$$이 아닌 평면 $$\pi$$ 위의 임의의 직선 $$L$$을 생각하고, 이 직선 또한 $$\mathrm{O}$$를 지나도록 평행이동한 직선을 $$L'$$이라 하자. 위 그림과 같이 $$m'$$, $$L'$$, $$n'$$을 통과하는 직선을 놓고, 해당 직선과 세 직선과의 교점을 각각 $$\mathrm{A}$$, $$\mathrm{Q}$$, $$\mathrm{B}$$라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AP'}} \qquad \qquad \overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BP'}} $$

[1] 즉, 평행선 공준이 거짓일 경우 위 3개를 만족하더라도 평면이 아니다. 위 3개를 만족하는 대표적인 반례로 푸앵카레 원반이 있다.

이에 따라 삼각형 $$\mathrm{APB}$$, $$\mathrm{AP'B}$$에서 $$\overline{\mathrm{AB}}$$는 공통임에 따라

$$ \displaystyle \triangle \mathrm{APB} \equiv \triangle \mathrm{AP'B}$$

이 성립한다. 이로부터 $$\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{QP'}}$$이 성립하므로 삼각형 $$\mathrm{PQP'}$$는 이등변삼각형이 되고, $$\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}}$$임을 고려하면,

$$ \displaystyle l \perp L' $$

을 얻는다. 이에 따라 평면 $$\pi$$ 위의 임의의 직선 $$l$$이 수직하므로

$$ \displaystyle l \perp \pi $$

임을 얻을 수 있다.

2.2.2. 평면과 평면

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공간 상에 있는 두 평면 $$\pi$$, $$\rho$$는 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.

• (a): 만난다. (이때, 평면과 평면이 만나는 지점에서 직선이 형성되는데 이를 교선(Intersection line)이라 한다.)
• (b): 평행하다. 이것을 기호로 $$\pi \parallel \rho$$로 나타낸다.
• (c): 일치한다. 이것을 기호로 $$\pi = \rho $$로 나타낸다.

2.3. 삼수선의 정리

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평면 $$\pi$$ 위에 있지 않은 한 점 $$\mathrm{P}$$와 평면 $$\pi$$ 위의 직선 $$l$$ 위의 한 점 $$\mathrm{H}$$, 직선 $$l$$ 위에 있지 않은 점 $$\mathrm{O}$$에 대하여 다음이 성립하는데, 이를 '''삼수선의 정리(Theorem of three perpendiculars)'''라 한다.

• (a) $$\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi$$, $$\overline{\mathrm{OH}} \perp l$$이면, $$\overline{\mathrm{PH}} \perp l$$이다.
• (b) $$\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi$$, $$\overline{\mathrm{PH}} \perp l$$이면, $$\overline{\mathrm{OH}} \perp l$$이다.
• (c) $$\overline{\mathrm{PH}} \perp l$$, $$\overline{\mathrm{OH}} \perp l$$이면, $$\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}$$이면, $$\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi$$이다.

이를 그림으로 나타내면, 아래와 같다.

여담으로, 평면 기하학에 피타고라스 정리가 있다면, 공간 기하학에는 삼수선의 정리가 있다는 말이 있을 정도로 공간 기하학에서 자주 써먹는 정리이다. 즉, 공간 기하학을 학습하면서 이 부분을 제대로 학습하지 않고, 넘어가봤자 연습문제의 난도가 조금만 어려워져도 손도 못대는 자신을 발견할 수 있다는 뜻이다.

2.3.1. 증명

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'''(a)'''
위에서

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi \Rightarrow \overline{\mathrm{PO}} \perp l $$

또한, $$\overline{\mathrm{OH}} \perp l $$이므로 평면 $$\mathrm{PHO}$$는 $$l$$과 직교함을 알 수 있다. 이에 $$\mathrm{PHO}$$ 위의 모든 직선은 $$l$$과 직교하므로

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp l $$

'''(b)'''
위에서

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi \Rightarrow \overline{\mathrm{PO}} \perp l $$

또한, $$\overline{\mathrm{PH}} \perp l $$이므로 평면 $$\mathrm{PHO}$$는 $$l$$과 직교함을 알 수 있다. 이에 $$\mathrm{PHO}$$ 위의 모든 직선은 $$l$$과 직교하므로

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{OH}} \perp l $$

'''(c)'''
위에서

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp l , \, \overline{\mathrm{OH}} \perp l \Leftrightarrow l \perp \text{plane} \, \mathrm{PHO} $$

이에 따라 $$\overline{\mathrm{PO}} \perp l$$, $$\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}}$$가 성립하므로 $$\overline{\mathrm{PO}} $$는 평면 $$\pi$$위의 임의의 두 직선과 직교함에 따라

$$ \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi $$

2.4. 이면각

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이제부터는 두 평면이 이루는 각에 대해 알아볼 것이다. 위 그림과 같이 한 교선을 가지는 반평면 $$\pi$$, $$\rho$$를 고려하자. 이때, 각각의 평면 위에 있는 점 $$\mathrm{P}$$, $$\mathrm{Q}$$로 부터 내린 교선 위의 수선의 발을 $$\mathrm{H}$$라 하자. 이때, 두 평면이 이루는 각은 해당 수선이 이루는 각 중 작은 각 $$\angle \mathrm{PHQ} = \theta$$로 정의한다.
또한, 두 평면이 이루는 각을 '''이면각(Dihedral angle)'''이라 한다.

2.5. 평면의 방정식

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이제부터 공간좌표 상 평면을 기술하는 방정식을 찾기 위하여 우리는 어떤 평면에 수직한 벡터 $$\mathbf{n}$$을 고려해보도록 한다. 이것의 해당 평면의 '''법선 벡터(Normal vector)'''라 하는 것도 참고하자. 이때,

$$ \displaystyle \mathbf{n}=(a,\,b,\,c) $$

라 놓자. 여기서 $$a \sim c$$는 상수이다. 또한 평면이 점 $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$를 지난다고 했을 때, 평면 위의 임의의 점 $$(x,\,y,\,z)$$을 종점, $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$를 시점으로 하는 벡터

$$ \displaystyle \mathbf{p}=(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) $$

라 놓을 수 있다. 이때, $$\mathbf{n}$$이 평면에 수직하기 때문에 평면 위에 있는 임의의 벡터 또한 이에 수직하다. 따라서 이들의 내적의 값은 0이 됨에 따라

$$ \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p} &= (a,\,b,\,c) \boldsymbol{\cdot}(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) \\ &=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) \\&=0 \end{aligned} $$

즉, 법선 벡터가 $$(a,\,b,\,c)$$이고, 점 $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$를 지나는 평면의 방정식은

$$ \displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) =0 $$

이다. 일반적인 형태로는

$$ \displaystyle Ax+By+Cz+D=0 $$

의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $$A \sim D$$는 상수이다.
또한 양함수 형태로 쓰면,

$$ \displaystyle z=f(x,\,y)=\alpha x+\beta y+\gamma $$

꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $$\alpha \sim \gamma$$는 상수이다. 즉, 좌표공간 상 평면을 기술하는 것은 $$z$$가 $$x$$, $$y$$에 대한 일차식으로 이루어져있을 때임을 알 수 있다.
여기서 법선 벡터를 이용하여 평면의 위치 관계에 대해 더 논의할 수 있는데, 좌표공간 상 두 평면이 있고, 해당 평면의 법선 벡터를 각각 $$\mathbf{n}_{1}$$, $$\mathbf{n}_{2}$$이라 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• 평행하거나 일치: $$\mathbf{n}_{1}=k \mathbf{n}_{2}$$ (단, $$k$$는 상수.)
• 직교: $$\mathbf{n}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_{2}=0$$

2.5.1. 세 점을 지나는 평면의 방정식

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서로 다른 세 점 $$\mathrm{P}$$, $$\mathrm{Q}$$, $$\mathrm{R}$$을 고려하자. 평면은 서로 다른 세 점이 주어지면 유일하게 결정되므로 이 세 점으로 평면의 방정식을 결정할 수 있다.
가장 쉬운 방법은 외적을 이용하여 법선 벡터를 직접 구하는 것이다. 평면 위의 모든 벡터는 법선 벡터와 수직하고, 해당 세 점이 구하는 평면 위의 점이기 때문에 $$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$, $$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$$을 구하고, 이 두 벡터를 외적하면 구하는 평면의 법선 벡터가 나온다. 그리고 세 점 중 하나를 이용하면 바로 구해진다.
그러나 문제는 고등학생은 이 쉬운 방법을 쓰지 못한다는 것이다. 그 이유는 고급수학을 배우지 않는 한 외적을 배우지 않기 때문이다. 그렇기 때문에 고등학교 수준에서는 구하는 평면의 방정식을 $$Ax+By+Cz+D=0$$ 꼴로 놓고, 세 점을 대입하여 세 변수를 한 변수로 표현한 뒤 해당 변수와 공통 인수를 약분하는 방법을 사용하게 된다.

2.5.2. 교선의 방정식

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교선은 곧 두 평면 상에 동시에 놓인다. 따라서 해당 직선의 방향 벡터는 각각의 법선 벡터와 수직하다. 어떤 두 평면의 법선 벡터를 각각 $$\mathbf{n}_{1}$$, $$\mathbf{n}_{2}$$라 하자. 교선의 방향 벡터는 이들과 각각 수직해야 하므로 외적을 이용하여 교선의 방향 벡터를

$$ \displaystyle \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} $$

로 놓을 수 있다. 또한 두 평면의 방정식을 연립함으로써 교점의 좌표를 구할 수 있다.[2] 따라서 구한 교점의 좌표와 외적을 통해 구한 법선 벡터를 이용함으로써 교선의 방정식을 구할 수 있다.

2.5.3. 교선을 지나는 평면의 방정식

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좌표평면 위의 두 평면 $$ax+by+cz+d=0$$, $$a'x+b'y+c'z+d'=0$$를 고려하자. 이 두 평면이 일치하거나 평행하지 않은 이상, 두 평면은 교차하여 교선을 형성한다. 이 교선 위의 점을 $$(\alpha, \, \beta, \, \gamma)$$라 둔다면, 이 점에서

$$ \displaystyle \begin{aligned} a\alpha+b\beta+c\gamma+d&=0 \\ a'\alpha+b'\beta+c'\gamma+d'&=0 \end{aligned} $$

[2] 다만, 미지수가 3개인데 식은 2개이므로 각 미지수의 비 밖에 구하지 못한다.

가 성립한다. 이때, 다음의 방정식

$$ \displaystyle ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0 $$

을 고려하자. 여기서 $$k$$는 상수이다. 이 방정식이 공간좌표 상 평면을 나타내는 것은 수학적으로 자명하며, 이 평면에 교선 위의 점을 대입하면,

$$ \displaystyle a\alpha+b\beta+c\gamma+d+k(a'\alpha+b'\beta+c'\gamma+d')=0 $$

이것은 $$k$$값에 관계 없이 성립하는 항등식이므로 해당 평면은 두 평면의 교선을 지난다는 것을 알 수 있다. 다만 위 형식에서는 $$a'x+b'y+c'z+d'=0$$가 제외되는 문제가 발생하기 때문에

$$ \displaystyle m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0 $$

의 형식으로 쓰기도 한다. $$m$$, $$n$$은 상수이다.

2.6. 점과 평면 사이의 거리

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공간좌표 상 한 평면 $$ ax+by+cz+d=0$$과 평면 외부의 점 $$\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$을 고려하자. 또한 이 평면이 $$\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$$을 지난다고 생각해보자.
우선 주어진 평면의 법선 벡터는 $$\mathbf{n}=(a,\,b,\,c)$$가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 $$\mathbf{p} \equiv \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$

$$ \displaystyle \mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},\,y_{0}-y_{1},\,z_{0}-z_{1}) $$

를 고려하자.
그렇다면, 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리는 한 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 $$\mathbf{p}$$의 법선 벡터 $$\mathbf{n}$$ 위로의 스칼라 사영[3]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리를 $$s$$라 놓으면,

[math( \displaystyle \begin{aligned} s&=\text{comp}_{\mathbf{n}} \, \mathbf{p} \\
&=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}|}{|\mathbf{n}|} \\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})+c(z_{0}-z_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\
&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{aligned} )]

[3] 정사영 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.

의 결과를 얻는다.

2.7. 평면이 이루는 각

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2.7.1. 평면과 직선이 이루는 각

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위 그림과 같이 한 평면 $$\pi$$와 이 평면에 한 점에서 만나는 직선 $$l$$을 고려해보자. 이 직선이 평면과 이루는 각을 $$\theta$$라 하자. 이때, $$\theta$$는 예각으로 잡는다. 그렇다면, 평면 $$\pi$$의 법선 벡터 $$\mathbf{n}$$와 직선 $$l$$의 방향 벡터 $$\mathbf{u}$$가 이루는 각은 두 종류[4] 가 가능하다: $$\pi/2-\theta$$, $$\pi/2+\theta$$ 이때,

$$ \displaystyle \left| \cos{\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)} \right|=\left| \cos{\left( \frac{\pi}{2}+\theta \right)} \right|=\sin{\theta} $$

[4] 그림의 상황은 모든 상황을 표현하는 것이 아닌 한 상황을 묘사하는 것에 유의하라.

이므로 다음을 얻는다.

$$ \displaystyle \sin{\theta}=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}|}{|\mathbf{n}| |\mathbf{u}|} $$

2.7.2. 이면각

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위 그림과 같이 두 평면 $$\pi$$, $$\rho$$를 고려하자. 이때, 위 그림과 같이 교선에 내린 수선이 이루는 각을 $$\theta$$라 하자. 이때, 이 각은 곧 두 법선 벡터가 이루는 각의 크기와 같으므로 두 평면의 이면각을 $$\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} \leq \pi/2)$$라 하면,

$$ \displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta_{0}}&=|\cos{\theta}| \\ &=\frac{|\mathbf{n}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_{2}|}{|\mathbf{n}_{1}| |\mathbf{n}_{2}|} \end{aligned}$$

임을 알 수 있다.

2.8. 삼원일차연립방정식과 평면

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다음과 같은 삼원연립일차방정식을 생각해보자.

[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d&=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'&=0 \\ a''x+b''y+c''z+d''&=0
\end{matrix}\right. )]

우리가 이 방정식을 푼다는 것은 곧 세 방정식을 동시에 만족시키는 $$x \sim z$$를 구하는 것과 같다. 그런데 각각의 방정식은 좌표공간 상 평면을 나타내는데 좀 더 생각해보면 위 세 등식이 동시에 만족하는 점은 세 평면의 교점 뿐이다. 즉, 우리가 삼원연립일차방정식을 푼다는 것은 세 평면의 교점의 좌표를 구하는 것과 같은 과정인 것이다.
더 나아가 평면의 위치 관계를 알 수 있다면 해의 개수도 정해진다. 우리가 직선 문서에서 다뤘듯, 이원일차연립방정식도 해를 갖는 경우와 불능, 부정 3개의 특성을 갖는다고 했다. 이 경우도 마찬가지다. 평면의 위치 관계에 따라 교점이 없을 수도 있고, 교점이 아닌 직선일 수도 있다. 또 세 평면이 모두 평행하여 교점이 아예 없는 경우도 있을 것이다. 즉, 삼원연립일차방정식 또한 세 평면의 위치 관계에 따라 해의 특성이 정해진다는 것을 알 수 있다.

2.9. 접평면의 방정식

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접평면이란, 3차원 이상의 도형에 접하는 평면이다. 즉, 2차원에서는 곡선에 접하는 직선 즉, 접선의 개념을 다뤘듯, 비슷하게 접하는 평면을 구하는 것이 이 문단의 목표인 것이다.
델(연산자) 문서의 그레이디언트 항목을 보면, 4차원 도형의 등위곡면에 수직한 벡터는 $$f(x,\,y,\,z)=k$$에 대하여 $$\boldsymbol{\nabla}f$$임을 알 수 있었다. 따라서 해당 등위곡면에 대한 접평면을 구하는 문제로 치환할 수 있고, 해당 곡면의 한 점 $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$의 표면에 수직한 벡터는

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$

가 될 것이다. 이로써 우리는 접평면의 법선 벡터를 구한 셈이다. 그리고 해당 접평면이 점 $$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$을 지나야만 하는 것에서 부터 접평면의 방정식은 아래와 같이 됨을 알 수 있다.

$$ \displaystyle [\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{x} (x-x_{0})+[\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{y}(y-y_{0})+[\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{z}(z-z_{0})=0 $$

이제 우리는 위의 내용을 바탕으로 3차원 공간에서 반지름 4인 구를 기술하는 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^2$$의 한 점 $$(\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3})$$의 접평면의 방정식을 구해보도록 하자. 우선적으로 우리는

$$ \displaystyle f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} $$

로 택하자. 이때,

$$ \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=(2\sqrt{2},\,2\sqrt{2}, 4\sqrt{3})$$

을 쓸 수 있다. 그러나 해당 벡터의 상수배한 $$(\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3})$$를 써도 무방하다. 따라서 구하는 접평면의 방정식은

$$ \displaystyle \sqrt{2}(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(y-\sqrt{2})+2\sqrt{3}(z-2\sqrt{3})=0 $$

으로 구할 수 있다.

3. 기타

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• 2009 개정 교육과정에서는 중학교에서 간단히 배우고 고등학교 기하와 벡터 교과목에서 자세히 다루었다. 그러나 2015 개정 교육과정에 들며 공간벡터가 제외되면서, 좌표공간에서 평면의 방정식을 나타내는 방법이 제외되었다.
• 많은 학생들이 기하와 벡터를 배울 때 비교적 쉬웠던 원뿔곡선 파트를 넘어, 본격적으로 공간으로 넘어가게 돠면서 고전하는 파트 중 하나이다. 이 부분은 개념 이해가 필연적으로 중요하며, 개념에 대한 정확한 이해를 바탕으로 많은 문제를 풀어봐야 각종 내신이나 모의고사를 대비할 수 있다.
• 택시 기하학은 평면 위에서 전개되지만, 위의 내용이 성립하지 않는다.

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학
  • 해석기하학
• 공간
• 도형