포인팅 벡터

 


1. 개요
2. 포인팅 벡터의 도출
2.1. 전자기장이 전하에게 하는 일률
2.2. 전자기 에너지 밀도
2.3. 에너지의 보존-포인팅 정리
2.4. 포인팅 벡터 도출
3. 전자기파에 저장된 에너지
4. 포인팅 벡터의 타당성
5. 시간에 대한 평균 포인팅 벡터
6. 에너지 연속 방정식
7. 관련 문서


1. 개요

'''Poynting vector'''
전자기파의 단위 면적, 단위 시간당 면적을 통과하는 전자기 에너지 흐름을 나타내는 벡터이다.
영국의 물리학자 포인팅(J. H. Poynting; 1852~1914)이 처음 유도했다.[1]

2. 포인팅 벡터의 도출


2.1. 전자기장이 전하에게 하는 일률

어떤 부피 $$V$$ 내에 전자기장[2]이 있는 상황을 고려해보자. 전하가 전자기장에서 받는 힘은 로런츠 힘이므로 전하가 미소 변위 $$d \mathbf{l}$$를 이동했을 때, 전자기장이 한 일은

$$\displaystyle dW=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot d \mathbf{l} $$
[1] 여담으로, 포인팅 벡터의 영어 표시가 'Pointing vector'라 생각하는 학생들도 간혹 있는데, 물리학자 이름을 딴 것이므로 아님에 주의하라.[2] 전자기파는 그 부피 내를 지나면서 안에 전자기장을 만든다.
이때, $$d \mathbf{l}=\mathbf{v}\,dt$$로 쓸 수 있으므로

$$\displaystyle dW=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}\,dt $$
따라서 전자기장이 하는 일률은

$$\displaystyle \frac{dW}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v} $$
이때, 식은 전기장과 자기장에 대한 항으로 나뉘어지나, 자기장 항은 없어진다. 따라서 자기장은 전하에게 일을 하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이에,

$$\displaystyle \frac{dW}{dt}=q\mathbf{E} \cdot \mathbf{v} $$
이때, 이 식은 다음과 같이 전하 밀도를 이용하면,

$$\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{E} \,dV $$
형태로 쓸 수 있다. 위 항 중 $$\mathbf{J} \equiv \rho \mathbf{v}$$로 쓸 수 있으므로 위 항은

$$\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} \,dV $$
임을 알 수 있다. 이 전기장이 전하에게 해준 일은 '''줄 발열(Joule heating)'''이라는 현상으로 나타난다.

2.2. 전자기 에너지 밀도

전기장과 자기장은 장에 에너지가 저장되어 있으며, 그것들은 단위 부피 당 에너지인, 에너지 밀도로 표현될 수 있다. 전기장과 자기장에 대한 에너지 밀도는 다음과 같다.
  • 전기장의 에너지 밀도: $$\displaystyle u_{E} \equiv \frac{1}{2}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{D}) $$
  • 자기장의 에너지 밀도: $$\displaystyle u_{B} \equiv \frac{1}{2}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{H}) $$
전기장의 에너지 밀도는 커패시터에서 전기장에 대한 가우스 법칙과 전압의 정의, 그리고 커패시터 전기 에너지 공식으로부터 얻을 수 있으며, 마찬가지로 자기장의 에너지 밀도는 인덕터에서 비슷한 방식으로 유도하면 된다.

2.3. 에너지의 보존-포인팅 정리

이제 부터는 어떤 부피 $$V$$ 내에 전자기장과 전하들이 있는 상황을 고려해보자. 이때, 어떤 벡터 $$\mathbf{S}$$는 전자기파에 의해 단위 시간, 단위 면적당 면적을 투과하는 에너지를 기술하는 벡터라 가정하자. 그렇게 되면, $$V$$ 내의 전자기 에너지 $$U$$ 보존은

$$\displaystyle -\frac{dU}{dt}=\frac{dW}{dt}+\oiint_{S} \mathbf{S}\cdot d \mathbf{a} $$
으로 나타나게 된다. 이때, $$S$$는 $$V$$를 둘러싸는 폐곡면이고, 위에서 다뤘듯, $$dW$$는 전자기장이 전하에게 해준 일이다. 즉 위의 식은 다음을 나타낸다.
'''어떤 부피 내에서 단위 시간당 전자기 에너지 변화는 전자기장이 전하에게 단위 시간당 해준 일과 전자기파에 의해 유출되는 단위 시간당 에너지 양과 같다.'''

2.4. 포인팅 벡터 도출

위에서 도출된 식을 다음과 같이 쓰자.

$$\displaystyle -\iiint_{V} \frac{\partial u}{\partial t}\,dV=\frac{dW}{dt}+\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S})\, dV $$
위에서 전자기장이 전하에게 하는 일을 논의했으므로 그 결과를 쓰면,

$$\displaystyle -\iiint_{V} \frac{\partial u}{\partial t}\,dV=\iiint_{V} (\mathbf{J} \cdot \mathbf{E})\,dV +\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S})\, dV $$
$$u$$는 $$V$$ 내의 전자기 에너지 밀도이다. 따라서

$$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}=0 $$
이제 전류 밀도를 자유 전하 밀도 $$\mathbf{J}_{f}$$라 가정하자. 그렇게 되면,

$$\displaystyle \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}-\frac{\partial u}{\partial t}$$
으로 쓸 수 있다. 이때, 맥스웰 방정식의 네 번째 식을 사용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}&=\left[ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right] \cdot \mathbf{E} \\ &=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \cdot \mathbf{E} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} \end{aligned} $$
이때, 벡터 항등식

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})=(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\cdot \mathbf{H}-(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H})\cdot \mathbf{E} $$
을 이용하면,

$$\displaystyle \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}=- \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})+(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})\cdot \mathbf{H}- \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} $$
패러데이 법칙에서

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E}&=- \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathbf{H}- \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} \\ &=- \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{H})-\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} \right)- \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \right) \end{aligned} $$
따라서 식들을 비교하면, 다음을 얻는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S} &= \mathbf{E} \times \mathbf{H} \\ \frac{\partial u}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} \right)+ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} \right) \end{aligned} $$
이때, $$\mathbf{S}$$를 '''포인팅 벡터'''라 한다. 이때, 포인팅 벡터의 방향은 전자기파 진행 시의 전기장과 자기장과의 관계에 의해 전자기파의 진행 방향과 일치한다는 것을 알 수 있다.

3. 전자기파에 저장된 에너지

윗 문단의 논의로 다음을 얻는다.

$$\displaystyle u=\frac{1}{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} +\frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} $$
각 항은 전기장과 자기장에 저장되는 에너지 밀도이다. 즉,

$$\displaystyle u=u_{E} +u_{B} $$
을 만족한다. 이때, $$\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}$$, $$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$$로 쓸 수 있는 단순한 매질에서

$$\displaystyle u=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2} + \frac{1}{2 \mu}B^{2} $$
로 표시할 수 있다. 그런데, 전자기파 문서에서 전자기파는 다음과 같이 방사된다는 것을 안다.

$$\displaystyle E=vB \qquad \qquad v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} $$
이것을 이용하면,

$$\displaystyle u=\frac{1}{2} \varepsilon E^{2} +\frac{1}{2} \varepsilon E^{2}=\varepsilon E^{2} $$
임을 쉽게 증명할 수 있고, 위 논의는 다음을 말해준다.
'''전자기파에 저장된 에너지는 전기장에 저장된 에너지와 자기장에 저장된 에너지가 반반 나뉘어 저장돼있다.'''

4. 포인팅 벡터의 타당성

이때까지 수학적 처리를 통해 포인팅 벡터를 얻어왔다. '이렇게 얻어진 포인팅 벡터는 과연 타당한가?'에 대한 물음이 이 정도 되면 나올 것이다. 이 문단에서는 포인팅 벡터의 타당성을 확인해보자. 포인팅 벡터는 위에서 논의했듯,

$$\displaystyle \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} $$
로 주어진다. 이것을 다시 쓰면,

$$\displaystyle \mathbf{S} = \frac{1}{\mu} \mathbf{E} \times \mathbf{B} $$
으로 쓸 수 있고, $$\displaystyle \mathbf{E} \times \mathbf{B}$$의 방향은 전자기파의 진행 방향 $$\hat{\mathbf{k}}$$이며, 전자기파가 진행될 때, $$E=vB$$임을 안다. 또한, $$v=(\sqrt{\varepsilon \mu })^{-1}$$로 쓸 수 있으므로

$$\displaystyle \mathbf{S} = \hat{\mathbf{k}} \frac{E^{2}}{\mu v} = \varepsilon E^{2}\cdot v\hat{\mathbf{k}}=u \mathbf{v} $$
가 된다. 따라서 포인팅 벡터는 위에서 논의한 전자기파에 저장된 에너지와 진행 속도가 곱해진 벡터임을 알 수 있다. 따라서 처음에 가정했던 '전자기파에 의해 단위 시간, 단위 면적당 면적을 통과하는 에너지를 기술하는 벡터'의 타당성을 볼 수 있다.
좀 더 쉽게 이해하기 위해 전류 밀도를 예로 들어보자. 전류 밀도는 단위 시간, 단위 면적당 면적을 통과하는 전하의 유량이다. 이 전류 밀도는

$$\displaystyle \mathbf{J}=\rho \mathbf{v} $$
로 쓸 수 있다. 따라서 논의하고 있는 포인팅 벡터에서는 $$\rho \, \rightarrow \, u$$로 바뀌었을 뿐이고, $$u$$ 또한 명백히 물리량의 밀도를 나타낸다. 그렇기 때문에 다르게 생각하면, 에너지 알갱이가 어떤 면적을 속도를 가지고 유출한다는 것으로도 전자기파에 의해 유출되는 에너지를 해석할 수도 있다.

5. 시간에 대한 평균 포인팅 벡터

이제 전자기파의 복사 강도에 해당하는 평균 포인팅 벡터에 대해 알아보고자 한다. 이것은

$$\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \mathbf{E} \times \mathbf{H} \rangle $$
으로 계산된다. 간단한 예를 들어보도록 하자. $$x$$축으로 선형 편광되고, 진행 방향이 $$\hat{\mathbf{z}}$$인 진공에서의 전기장

$$\displaystyle \mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}}E_{0}e^{i(kz-\omega t)} $$
이 있을 때, 자기장 세기는

$$\displaystyle \mathbf{H}=\hat{\mathbf{y}}\frac{E_{0}}{\mu_{0} c}e^{i(kz-\omega t)}=\hat{\mathbf{y}}\varepsilon_{0} E_{0}ce^{i(kz-\omega t)} $$
가 된다.[3] 그런데 관측할 수 있는 영역은 실수부의 파이므로 실수부만 취하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Re}(\mathbf{E})&=\hat{\mathbf{x}}E_{0}\cos{(kz-\omega t)} \\ \mathrm{Re}(\mathbf{H})&=\hat{\mathbf{y}}\varepsilon E_{0}c\cos{(kz-\omega t)} \end{aligned}$$
[3] 전자기파 문서에서 전자기파가 공간상에 방사될 때, 두 장은 어떠한 관계를 가지고 있는지 보라.
따라서 구하는 포인팅 벡터는

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{S}&= \mathrm{Re} (\mathbf{E}) \times \mathrm{Re} (\mathbf{H}) \\ &=\hat{\mathbf{z}}\varepsilon_{0} E_{0}^{2}\cos^{2}{(kz-\omega t)} \end{aligned} $$
이상에서

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{S} \rangle&=\hat{\mathbf{z}}\ \langle \varepsilon E_{0}^{2}\cos^{2}{(kz-\omega t)} \rangle \\ &=\hat{\mathbf{z}}\varepsilon E_{0}^{2} \langle \cos^{2}{(kz-\omega t)} \rangle \end{aligned} $$
이때, 한 주기에 대한 코사인 제곱 항의 시간 평균은 $$1/2$$이므로

$$\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle=\hat{\mathbf{z}} \frac{1}{2} \varepsilon E_{0}^{2} $$
으로 구할 수 있다.
아래와 같은 물리량을 생각해보자.

$$\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle \cdot d \mathbf{a} $$
이 물리량은 어떤 미소 면적을 통과하는 단위 시간당 에너지의 평균적인 미소 유량을 의미하게 된다. 따라서 어떤 면적에 대해서는 위를 적분하면, 얻을 수 있다.
이번에는 평균 포인팅 벡터를 쉽게 계산하는 방법에 대해 알아보자. 전자기파가 단색 평면파라면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{E_{0}}e^{-i \omega t} \\ \mathbf{H}&=\mathbf{H_{0}}e^{-i \omega t} \end{aligned} $$
로 주어질 것이다. 그런데 관측 가능한 파는 실수부에 한해서 이므로, 평균 포인팅 벡터는 실수부만 취해야 한다. 즉,

$$\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle = \langle \mathrm{Re} (\mathbf{E}) \times \mathrm{Re} (\mathbf{H}) \rangle $$
이때,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Re} (\mathbf{E})&= \frac{1}{2} (\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\ast}) \\ \mathrm{Re} (\mathbf{H})&= \frac{1}{2} (\mathbf{H}+\mathbf{H}^{\ast}) \end{aligned} $$
로 쓸 수 있다. $$\ast$$는 복소 공액(켤레 복소수)을 취한다는 의미에서 붙였다. 따라서,

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle \mathbf{S} \rangle &=\frac{1}{4} \langle (\mathbf{E}+\mathbf{E}^{\ast}) \times (\mathbf{H}+\mathbf{H}^{\ast}) \rangle \\ &=\frac{1}{4} \left[ \langle \mathbf{E} \times \mathbf{E}^{\ast} \rangle + \langle \mathbf{H}^{\ast} \times \mathbf{H} \rangle + \langle ( \mathbf{E} \times \mathbf{H}^{\ast} )+( \mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H} ) \rangle \right] \end{aligned} $$
이때, 앞 두 항에 대한 계산을 해보면 0을 얻고, 뒤 항은 시간 항이 사라지므로 결국 평균 값은 제3항의 벡터 연산을 한 값과 같다. 결국 다음과 같이 계산할 수 있음을 얻는다.

$$\displaystyle \langle \mathbf{S} \rangle =\frac{1}{2} \mathrm{Re} (\mathbf{E} \times \mathbf{H}^{\ast})=\frac{1}{2} \mathrm{Re} (\mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H}) $$

6. 에너지 연속 방정식

위에서 전자기장의 에너지 보존에 대해,

$$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}=0 $$
로 쓸 수 있다고 했다. 이때, 전하에게 한 일 또한 밀도 형태로 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \frac{dW}{dt}=\iiint_{V} \frac{\partial u_{\mathrm{mech} } }{\partial t} \,dV $$
따라서 위에서 논의한 에너지 보존을

$$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}(u+u_{\mathrm{mech}})+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{S}=0 $$
로 쓸 수 있다. 이것을 전자기학의 에너지 연속 방정식이라 한다.
참고로, 정상 전류를 다뤘을 때, 전류에 대한 연속 방정식과 비교해보면 분명한 의미를 알 수 있다.

$$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{J}=0 $$
연속 방정식에 대한 자세한 내용은 해당 문서를 참조하라.

7. 관련 문서