푸앵카레 정리
1. 개요
Poincaré theorem
밀레니엄 문제 중 하나이자, 그 중에서 현재까지 유일하게 해결된 문제이다.
푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)으로 불렸으나 수학자 그리고리 페렐만이 증명에 성공하여 일반적인 정리(theorem)로 수용되어 푸앵카레 정리, 페렐만의 정리 등으로 불린다.[1]
콜린 루크(Colin Rourke)라는 수학자는 푸앵카레 추측을 증명했다고 생각해 관련 학자들에게 검토도 하지 않고 언론에 먼저 발표했으나 몇 달 뒤 증명에 심각한 결함이 있다는 사실이 밝혀져 망신을 당한 적이 있다.
2. 개념 및 해설
여기서 말하는 구(Sphere)란 공(Ball)의 경계를 뜻하며 3차원 구(ex:$$x^2+y^2+z^2+w^2=1$$)란 곧 4차원 공(ex:$$x^2+y^2+z^2+w^2<1$$)의 경계를 뜻한다. 여기에서 3차원 구란 사실상 4차원 도형이다. 이 추측과 비슷한 명제로 2차원 공간 버전이 있는데 여기서 말하는 2차원 구 역시 3차원 공의 표면인 구면을 뜻한다. 지구는 3차원이지만, 지구의 표면만 생각하면 위도와 경도로만 정의되는 2차원 공간이 되듯이 말이다. 그래서 '우주에 무한한 길이의 실을 맨 로켓을 쏘아보내서 그것을 제대로 회수한 다음, 끈을 당겨서 아무런 이상이 없으면 구형 모양의 우주이고, 중간에 무언가 걸리면 구형 모양의 우주는 아니다'라는, 쉬운(?) 비유로 대신 설명된다.
간단한 예로, '''속이 빈 도넛 모양'''의 3차원 공간을 생각해 볼 수 있다.[2] 이 공간 내부에서 실을 맨 로켓을 쏘아 도넛 모양을 따라 이동하게 한 후, 제자리로 돌아오게 한다고 가정하자. 그 다음에 실을 당겨서 회수하려고 한다면, 그 실은 도중에 반드시 도넛 중앙의 빈 공간을 이루는 벽에 걸리게 될 것이다. 그러므로 도넛 모양은 구로 변형시킬 수 없다. 도넛 모양 대신 구형 공간을 생각한다면, 실은 별다른 장애 없이 한 점으로 묶여 수렴할 수 있을 것이다.
위 설명을 풀어서 시각화한 EBS 다큐멘터리 <문명과 수학> 제5부 마지막 부분.
똑같이 푸앵카레의 이름이 들어간 푸앵카레-호프 정리와 헷갈리지 말자. 이건 벡터장 관련이다.
3. 제시와 증명
원래 앙리 푸앵카레는 3차원 구공간(4차원 공의 경계)에 대해 추측했다. 이 추측은 2차원의 경우 우리의 직관처럼 닫힌 곡면위의 곡선을 한 점으로 줄일 수 있으면 구면으로 줄일 수 있다는데서 착안하여 3차원의 구공간에서도 성립하는지 여부를 물은 것이었다. 따라서 같은 질문에 대해 보다 높은 차원에서 성립하는지 물어보는 것은 자연스러운 일인데, 차원이 높으면 증명이 어려울 것이라는 통념과 달리 5차원 구 이상의 경우(6차원 공 이상의 경계)가 스티븐 스메일에 의해서 1961년 가장 먼저 풀렸다.[3] 또한 1982년 마이클 프리드먼이 4차원 단순다양체의 완전한 분류로부터 4차원 푸앵카레 추측도 해결이 되고 원래 문제만 증명이 되지 않고 남았다.
밀레니엄 문제에 선정되어 100만 달러의 상금이 걸렸다가, 이후 그리고리 페렐만이 증명했다.
그리고리 페렐만은 arXiv라는 과학, 수학 문서, 논문 공유 사이트에 자신의 결과를 공개했다. 발표한 논문 제목과 발표 날짜를 적었다. 논문 제목을 클릭하면 논문을 볼 수 있는 페이지로 이동된다.
- The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002년 11월 11일(39쪽)
- Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003년 3월 10일,(22쪽)
- Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003년 7월 17일(7쪽)
4. 필즈상의 보고
존 밀러는 푸앵카레 추측의 미분동형 버전에 대해서 7차원 구에 대한 반례를 발견한 공로로 1962년에 필즈상을 수상했다.
스티븐 스메일은 5차원 이상에 대해서 해결하며 1966년에 필즈상을 수상하였다.
마이클 하틀리 프리드은 4차원에서 해결하며 1985년 필즈상을 수상하였다.
그리고리 페렐만은 3차원에서 해결하며 2006년 필즈상에 선정되었다. 비록 본인이 수상을 거절했지만 수상자 명단에는 분명하게 기록되어 있다.
이 문제 하나로 직접적인 해결에 3개, 연관 문제로 1개, 총 4개의 필즈상이 수여되었다.
5. 관련 문제
푸앵카레 추측의 미분동형 버전도 있는데, 이는 존 밀너에 의해 7차원 구에 대한 반례가 발견되었다. 따라서 구와 위상동형이지만 서로 미분동형이 아닌 것들을 분류해 Exotic Sphere라 하는데, 7차원 Exotic Sphere는 원래의 구를 포함해 28종류나 존재한다. 미분동형 버전의 경우 63차원까지는 Exotic Sphere의 개수까지 정리되어 있다. 단 4차원은 아직 미해결인데, 존재성도 미해결이고 존재한다고 할때 그 개수의 상한조차 가산무한이란게 전부.
[1] 수학에서 추측은 증명 미완 또는 증명 불가의 명제를 지칭하며 증명될 경우 일반적인 정리로 수용된다. 가설을 제안한 사람의 이름이 그대로 살아 있는 경우도 있고, 증명자의 이름으로 바뀌는 경우도 있다. 케바케. 다만 이 경우처럼 너무 유명한 경우는 잘 안 바뀌긴 한다.[2] 사실 이놈도 4차원이므로 차원을 하나 내려서 도넛면을 생각하는 게 쉽다. 다른 한 차원은 대충 초끈이론마냥 말아놓든가 하자.[3] 사실, 차원이 하나씩 늘면 공간에 대한 개념이 하나씩 느는데, 이 증가하는 개념들이 일종의 수학적 도구(?)정도로 작용해서 문제를 푸는 데에 대한 제한을 없애준다고 할 수 있다. 그래서 4차원 이상의 푸앵카레 추측에 대한 증명이 먼저 이루어진 것이다. 출처-푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다. 조지 G. 슈피로 著.