피쉬 수
1. 개요
ふぃっしゅ数
Fish number
일본 2ch에서 큰 수 만들기 배틀의 결과로 탄생한 큰 수. 대략 2002년 무렵에 탄생했으며, 이 수를 만든 사람은 휫슛슈(ふぃっしゅっしゅ)라는 아이디를 쓰는 2채널러.
유명한 큰 수인 그레이엄 수를 소개하는 과정에서 그레이엄 수보다 큰 수를 만들어보자는 취지에서 "가장 커다란 수를 제시하는 녀석이 우승"이라는 스레가 생겼고, 그 과정에서 휫슛슈라는 사람이 정의한 것. 그레이엄 수에 대한 오마주의 의미로, 특정한 자연수와 함수에서 얻어지는 변환을 63회 반복한 수로 정의되어 있다.
일본 인터넷 세계에서는 나름 그레이엄 수보다 큰 일본의 피쉬 수로 지명도가 있으나, 거대함 이외의 수학적인 의미는 없으며[1], 설명도 이해하기 어려운 편. 사실 단순히 크기만 놓고 따지면 이것보다 훨씬 큰 수도 많다.
2. 정의
피쉬 수는 또한 여러 버전이 있는데 대표적인 F1(피쉬 수 버전1)의 정의는 다음과 같다.[출처]
이 이외에도 6가지 버전이 더 존재한다.1. 자연수-함수쌍에서 자연수-함수쌍으로의 사상 $$S$$($$S$$변환)를 아래와 같이 정의한다.
$$S : [m, f(x)] \to [g(m), g(x)]$$
단 $$g(x)$$는 아래와 같이 정의된다.
$$B(0, n) = f(n)$$
$$B(m+1, 0) = B(m, 1)$$
$$B(m+1, n+1) = B(m, B(m+1, n))$$
$$g(x) = B(x, x)$$
1. 자연수-함수-$$S$$변환쌍에서 자연수-함수-$$S$$변환쌍으로의 사상 $$SS$$를 아래와 같이 정의한다.
$$SS : [m, f(x), S] \to [n, g(x), S2]$$
단 $$S2$$와 $$n, g(x)$$는 순서대로 아래와 같이 정의된다.
$$S2 = S^{f(m)}$$
$$S2 : [m, f(x)] \to [n, g(x)]$$
1. $$[3, x+1, S]$$에 $$SS$$ 변환을 63번 반복하여 얻은 자연수를 피쉬 수($$F_1$$), 함수를 피쉬 함수($$F_1(x)$$)라 한다.
3. 접근
다음은 피쉬 수의 계산 과정을 그나마 이해하기 쉽도록 풀어 쓴 것이다.
3.1. 함수 B(m, n)
위 정의의 $$B(m, n)$$을 조금 풀어 쓰면 다음과 같다.
- $$B(0, n) = f(n)$$
- $$B(m, 0) = B(m-1, 1)$$
- $$B(m, n) = B(m-1, B(m-1,\ ...\ B(m-1, 1)\ ...\ ))$$ (n+1번 중첩)
$$B(2, 2)$$
$$=B(1, B(1, B(1, 1)))$$
$$=B(1, B(1, B(0, B(0, 1))))$$
$$=B(1, B(1, B(0, 2)))$$
$$=B(1, B(1, 3))$$
$$=B(1, B(0, B(0, B(0, B(0, 1)))))$$
$$=...$$
$$=7$$
위와 같이 $$f(x)=x+1$$인 특수한 경우를 '''아커만 함수'''(Ackermann function)라고 하고, $$Ack(m, n)$$과 같이 표기한다.
계산 과정이 복잡하다 보니 계산해서 특정한 값이 정말 나오기는 하는 건지 의심스러울 수 있는데, 이는 수학적 귀납법으로 다음과 같이 증명할 수 있다.
- $$m=0$$이면 $$B(0, n)$$은 ($$n$$의 값에 상관없이) $$f(n)$$의 값을 갖는다.
- $$B(x, n)=B(x-1, B(x-1,\ ...\ B(x-1, 1)\ ...\ ))$$이므로 $$m=x-1$$일 때 함숫값을 갖는다면 $$m=x$$일 때도 함숫값을 갖는다.
이 아커만 함수 B(n,n)는 fgh로 $$f_\omega(n)$$으로 근사할 수 있다.
3.2. S변환
$$S$$변환은 다음과 같이 표현할 수 있다.
- 자연수와 함수의 쌍 $$[m, f(x)]$$를 준비한다.
- 주어진 함수 $$f(x)$$로 $$g(x)=B(x, x)$$를 정의한다.
- 정의한 함수 $$g(x)$$로 $$g(m)$$을 계산한다.
- 위에서 계산하고 정의한 자연수와 함수의 쌍 $$[g(m), g(x)]$$가 변환 결과이다.
$$[g(3), g(x)]$$ = $$[Ack(3, 3), Ack(x, x)]$$인데, $$Ack(m, n) = 2 \uparrow^{m-2} (n+3)-3$$임이 알려져 있으므로(#) 변환 결과는 $$[2^6 - 3, Ack(x, x)]$$ = $$[61, Ack(x, x)]$$이 된다.
이를 한 번 더 변환하면 $$[61, Ack(x, x)]$$ = $$[g(61), g(x)]$$ = $$[B(61, 61), B(x, x)]$$가 된다. 여기서 $$B(m, n)$$이 어떤 함수인지 짐작해 보기 위해 $$B(2, 4)$$를 전개해 보자.
$$B(2, 4)$$
$$=B(1, B(1, B(1, B(1, B(1, 1)))))$$
$$=...$$
$$=B(1, B(1, B(1, B(1, 61))))$$
$$=B(1, B(1, B(1, B(0, B(0, B(0, ... B(0, 1) ... ))))))$$ ($$B(0, n)$$이 62회 중첩)
$$=B(1, B(1, B(1, g^{62}(1))))$$ ($$B(0, n)=g(n)$$이므로)
$$=B(1, B(1, B(1, g^{61}(3))))$$
$$=B(1, B(1, B(1, g^{60}(61))))$$
$$=...$$
이 시점에서 이미 정상적인 계산이 불가능해진다. $$Ack(4, 2)$$도 이미 19729자리 수가 나오는 마당에 $$g(61)=Ack(61, 61)$$은... 게다가 이건 계산이 끝날 시점도 아니고, '''계산 초반이다.''' 그리고, 원래 계산하려던 것이 $$B(2, 4)$$가 아니라 $$B(61, 61)$$이었음을 생각해 보자.
여담으로, 위에서 전개한 $$B(2, 4)$$의 값을 그나마 짧고 알아보기 쉽게 표현하자면 $$g^{g^{g^{g^{62}(1)+1}(1)+1}(1)+1}(1)$$이 된다.
3.3. SS변환
$$SS$$변환을 간단히 표현하면 다음과 같다.
- 자연수, 함수, S변환의 쌍 $$[m, f(x), S]$$를 준비한다.
- 새로운 변환 $$S2$$를 '변환 $$S$$를 $$f(m)$$번 반복하는 것'으로 정의한다.
- 주어진 자연수와 함수의 쌍 $$[m, f(x)]$$에 방금 정의한 변환 $$S2$$를 가해서 새로운 쌍 $$[n, g(x)]$$를 얻는다.
- 위에서 계산하고 정의한 자연수, 함수, S변환의 쌍 $$[n, g(x), S2]$$가 변환 결과이다.
$$[3, x+1, S]$$에 $$SS$$변환을 가해 보자. $$f(3)=4$$이므로 새로 정의할 $$S2$$변환은 $$S$$변환을 4번 반복하는 것으로 나타낼 수 있다. 하지만 $$[3, x+1]$$에 S변환 2번부터 이미 답이 없다는 것을 생각하면... 게다가 1회 변환부터 답이 없는 $$SS$$변환을 무려 63번이나 반복해야 피쉬 수가 나온다.
4. 자매품
이 수 자체로도 이미 크고 아름다운데, 현재 시점에서는 자매품이 무려 7개나 있다(...) 다음 내용은 Googology Wiki(큰 수 위키)의 내용을 참고하여 작성하였다.
- 1번째 피쉬 수(Fish number 1): 이 문서의 정의~SS변환까지에서 다루고 있는 피쉬 수. Fast-growing hierarchy로 나타내면 $$f_{\omega^2+1}(63)$$ 정도의 값이 나온다.
- 2번째 피쉬 수(Fish number 2): 위의 1번째 피쉬 수와 마찬가지로 2002년경에 나온 피쉬 수. 1번째 피쉬 수와 정의는 매우 비슷하나(초반은 아예 같다!), 약간의 차이가 있어 1번째 것보다는 값이 약간(?) 더 크게 나온다. Fast-growing hierarchy로 나타내면 $$f_{\omega^3}(63)$$ 정도의 값이 나온다.
- 3번째 피쉬 수(Fish number 3): 2002년경에 나온 피쉬 수.Fast-growing hierarchy로 나타내면 $$f_{\omega^{\omega+1}63+1}(63)$$ 정도의 값이 나온다.
- 4번째 피쉬 수(Fish number 4): 2002년경에 나온 피쉬 수. 2번째로 큰 피쉬 수이며, 튜링 머신을 사용하여 크기가 이전보다 비약적으로 상승하였다.[2] 7번째 피쉬 수처럼 너무 커서 정확한 값을 계산하기는 어렵다.
- 5번째 피쉬 수(Fish number 5): 2003년경에 나온 피쉬 수.Fast-growing hierarchy로 나타내면 $$f_{\epsilon_0+1}(63)$$ 정도의 값이 나온다.
- 6번째 피쉬 수(Fish number 6): 2007년경에 나온 피쉬 수. Fast-growing hierarchy로 나타내면 $$f_{\zeta_0+1}(63)$$ 정도의 값이 나온다
- 7번째 피쉬 수(Fish number 7): 2013년에 나온 가장 큰 피쉬 수.
5. 여담
만든 이의 설명에 따르면 이미 2회 변환에서 그레이엄 수보다 큰 결과값이 나온다.
만든 이가 온라인상에 거대수론이라는 논문 형태로 정리해 놓았다.
6. 관련 문서 및 사이트
[1] 그레이엄 수가 의미 있는 이유는 단순히 크기 때문이 아니라 '수학적 증명에 사용되는 수' 가운데 가장 크기 때문임을 상기할 것[출처] 해당 페이지의 'Definition of Fish number version 1 (F1)' 문단[2] 그 무시무시한 fgh로도 근사가 불가능할 정도이다!