BIGG
Bewilderingly Incomprehensibly Ginormous Googolism
1998년생인 로렌스 홀롬[1]이 2013년 4월에 정의한 큰 수. 이 수를 정의했을 때의 나이가 10대 중반이니까 더 큰 수를 만들 가능성이 충분하지만 앞으로 자신이 정의한 수들 중 가장 큰 수가 BIGG가 되도록 그 정의를 계속 바꿔나갈 것이라고 한다.[2]
2015년 5월 현재는 로렌스 홀롬이 홈페이지를 리뉴얼했고 이전의 정의는 이전 홈페이지의 여기나 여기에 있다. 이 항목을 작성하는 데에는 Googology Wiki에 적혀있는 Hyperfactorial Array Notation 관련 항목들을 참조했다(그 중 Faxul 페이지는 여기).
이 수를 설명하려면 윗화살표 표기법에 대한 설명이 필요하다. 윗화살표 표기법은 그레이엄 수에서도 사용되고 있으니 서로 참조하면 편할 것이다. 덧셈을 반복하면 곱셈, 곱셈을 반복하면 거듭제곱이 된다. 같은 방법으로 거듭제곱의 반복을 생각할 수 있다. 이를 테트레이션(tetration)이라고 하고 왼쪽 위 첨자($$ ^b a$$)나 윗화살표 두 개($$a ↑↑ b$$)로 나타낸다. 예를 들어서 $$3↑↑3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987$$. 똑같이 테트레이션의 반복(펜테이션, pentation)을 생각할 수 있고 이것은 윗화살표 세 개로 나타낸다. 예를 들어 $$3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7625597484987$$. 이렇게 끝없이 계속할 수 있다.
다음 과정을 거쳐서 BIGG을 만들 수 있다.
이런 식으로 200개를 만들면...
이 BIGG은 '''현존하는 가장 큰 수들 중 하나'''이고, 그 그레이엄 수도 비교할 수 없을 만큼 아득하게 큰 수이다. 큰 수 나무위키 에서는 그레이엄 수 보다 훨씬 더 큰 수로 잘 알려진 TREE(3), 그보다도 훨씬 큰 SCG(13) 보다도 더 큰 수의 위치에 나타다 있다. 다만, 이렇게 인위적으로 창조된 수는 조금만 변형해도 그보다 얼마든지 더 큰 수를 만들어 낼 수 있다는 문제가 있다. 당장 위의 식에서 200 대신 300을 넣기만 해도 더 큰 수가 나오며, 200 대신 그레이엄 수를 넣으면 아득할 정도로 더 큰 수가 되어 버린다. 200대신 BIGG를 넣으면[3] 거의 무한대에 가까운 수가 될 것 같으나 애초에 무한대는 끝이 없다는 특징 때문에 사실상 무한대와 비교하자면 0이라고 봐도 무방하다.
1. 개요
1998년생인 로렌스 홀롬[1]이 2013년 4월에 정의한 큰 수. 이 수를 정의했을 때의 나이가 10대 중반이니까 더 큰 수를 만들 가능성이 충분하지만 앞으로 자신이 정의한 수들 중 가장 큰 수가 BIGG가 되도록 그 정의를 계속 바꿔나갈 것이라고 한다.[2]
2015년 5월 현재는 로렌스 홀롬이 홈페이지를 리뉴얼했고 이전의 정의는 이전 홈페이지의 여기나 여기에 있다. 이 항목을 작성하는 데에는 Googology Wiki에 적혀있는 Hyperfactorial Array Notation 관련 항목들을 참조했다(그 중 Faxul 페이지는 여기).
2. 커누스 윗화살표 표기법
이 수를 설명하려면 윗화살표 표기법에 대한 설명이 필요하다. 윗화살표 표기법은 그레이엄 수에서도 사용되고 있으니 서로 참조하면 편할 것이다. 덧셈을 반복하면 곱셈, 곱셈을 반복하면 거듭제곱이 된다. 같은 방법으로 거듭제곱의 반복을 생각할 수 있다. 이를 테트레이션(tetration)이라고 하고 왼쪽 위 첨자($$ ^b a$$)나 윗화살표 두 개($$a ↑↑ b$$)로 나타낸다. 예를 들어서 $$3↑↑3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987$$. 똑같이 테트레이션의 반복(펜테이션, pentation)을 생각할 수 있고 이것은 윗화살표 세 개로 나타낸다. 예를 들어 $$3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7625597484987$$. 이렇게 끝없이 계속할 수 있다.
3. 만드는 방법
다음 과정을 거쳐서 BIGG을 만들 수 있다.
3.1. Minor Faxul 단계
- $$\mathrm{Faxul} = 200! = 200 \times 199 \times 198 \times 197 \times 196 \times 195 \times ... \times 3 \times 2$$ = 788657867364790503552363213932185062295135977687173263294742533244359449963403342920304284011984623904177212138919638830257642790242637105061926624952829931113462857270763317237396988943922445621451664240254033291864131227428294853277524242407573903240321257405579568660226031904170324062351700858796178922222789623703897374720000000000000000000000000000000000000000000000000(약 7.8866×10374)으로 200부터 2까지 곱한 수다.
- $$\mathrm{Kilofaxul} = (\mathrm{Faxul})!$$, $$\mathrm{Megafaxul} = (\mathrm{Kilofaxul})!$$, $$\mathrm{Gigafaxul} = (\mathrm{Megafaxul})!$$, ... 또한 정의되어 있다.
- $$\mathrm{Expofaxul} = 200!1 = 200 \uparrow 199 \uparrow 198 \uparrow 197 \uparrow 196 \uparrow 195 \uparrow ... \uparrow 3 \uparrow 2$$
Expofaxul은 Faxul에서 곱셈을 거듭제곱(exponential)으로 바꾼 수다.
- $$\mathrm{Tetrofaxul} = 200!2 = 200 \uparrow\uparrow 199 \uparrow\uparrow 198 \uparrow\uparrow 197 \uparrow\uparrow 196 \uparrow\uparrow 195 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 2$$
Expofaxul에서 거듭제곱을 테트레이션으로 바꾸면 Tetrofaxul이 된다.
- $$\mathrm{Pentofaxul} = 200!3 = 200 \uparrow\uparrow\uparrow 199 \uparrow\uparrow\uparrow 198 \uparrow\uparrow\uparrow 197 \uparrow\uparrow\uparrow 196 \uparrow\uparrow\uparrow 195 \uparrow\uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 2$$
Tetrofaxul에서 한 발 더 나가서 윗화살표 세 개(펜테이션)를 사용하면 Pentofaxul이 된다.
- 위와 같이 $$n!m = n \uparrow^m (n-1) \uparrow^m (n-2) \uparrow^m (n-3) \uparrow^m ... \uparrow^m 3 \uparrow^m 2$$ (단, ↑n은 윗화살표가 n개를 의미함)으로 정의한다.
- $$\mathrm{Hyperfaxul} = 200!200 = 200![1]$$
Hyperfaxul은 200부터 2까지의 수에 각각 윗화살표 200개씩을 넣은 수다. 역시 $$(200!200)!200$$, $$((200!200)!200)!200$$, ...도 있을 수 있다. 여기서 $$(...(200!200)...!200)!200$$처럼 이것을 200번 중첩한 수, 즉 200이 201개 있는 수를 $$200![2]$$라고 하자.
- $$200![2] = (...(((((200![1])![1])![1])![1])![1])...)![1] = (...(200!200)...!200)!200$$ (각각 200번)
여기부터 그레이엄 수보다 큰 수가 등장하기 시작한다. 이와 같이 바로 전 단계를 200번 중첩시키면 다음 단계로 간다.
- $$200![3] = (...(((((200![2])![2])![2])![2])![2])...)![2]$$ (200번)
- $$200![4] = (...(((((200![3])![3])![3])![3])![3])...)![3]$$ (200번)
이렇게 해서 $$200![200]$$에 도달하면...
3.2. Major Faxul 단계
3.2.1. Giaxul 단계
- $$Giaxul = 200![200] = 200![200, 1] = 200![1, 2]$$
이제 대괄호 안에 들어가는 수들의 개수를 늘릴 수 있다. 뒤에 1을 붙이고, 대괄호 안의 첫째 항이 200이 되면 둘째 항을 1 올린다.
- $$Giabixul = 200![200, 200] = 200![1, 201]$$
하지만 이런 식으로만 개수를 늘린다면 수를 아무리 많이 추가해도 대괄호 안의 수 하나를 200진법으로 나타내는 정도밖에 안 된다. 따라서 셋째 항을 추가할 때부터는 한 항을 1 올리기 위해서는 바로 전 항이 '그 항-1까지 도달하기 위한 연산횟수' 정도가 될 때 항을 1 올린다. (여기서 괄호 안에 괄호가 들어가면서 매우 큰 수가 되는데, 자세히 설명하지는 않고 넘어간다.)
- $$Giatrixul = 200![200, 200, 200]$$
앞부분만 계산을 해보면 $$200![200, 200, 200] = (200![199])![1, 200, 200] = (200![199])![[1, 1, 200], 199, 200] = ...$$ 이 부근에서 아주 커진다.
- $$Giaquaxul = 200![200, 200, 200, 200]$$
그리고 예상했겠지만 200을 200번 쓸 수도 있다.
3.2.2. Hugexul 단계
- $$Hugexul = 200![200, 200, 200, 200, 200, ..., 200]$$ (200개) = $$200![200(1)200]$$
여기에서 $$200![200(1)200, 200]$$ 등을 생각할 수 있다. 역시 뒤에 오는 200이 200개가 되면...
- $$Hugebixul = 200![200(1)200(1)200]$$
- $$Hugetrixul = 200![200(1)200(1)200(1)200]$$
또한 200이 200개, (1)이 199개 들어간 수를 생각할 수 있다.
3.2.3. Enormaxul 단계
- $$Enormaxul = 200![200(2)200]$$
위의 Hugexul과 같이 $$200![200(2)200, 200]$$ 등을 생각할 수 있다.
- $$Enormabixul = 200![200(2)200(2)200]$$
- $$Enormatrixul = 200![200(2)200(2)200(2)200]$$
역시 똑같은 과정을 거쳐서 $$200![200(3)200]$$, $$200![200(4)200]$$, ... 등을 만들 수 있고, 계속 올라가면...
3.2.4. Destruxul 단계
- $$Destruxul = 200![200(200)200]$$
이런 식으로 괄호 안의 200이 더 많이 올라갈 경우 괄호 안의 수 자체도 대괄호 안에 넣어서 표현할 수 있다.
- $$Destrucbixul = 200![200([200(200)200])200]$$
Googology Wiki에 따르면 여기서부터 그레이엄수 보다도 더 크다고 잘 알려진 TREE(3)의 하한값 보다도 더 큰 수가 나온다.
- $$Destructrixul = 200![200([200([200(200)200])200])200]$$
등을 생각할 수 있으며 이것을 200번 반복하면 아래와 같이 쓸 수 있다.
3.2.5. Extremexul 단계
- $$Extremexul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200]]$$
다시 뒤에 붙는 200의 개수를 늘릴 수 있다.
- $$Extremebixul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200]]$$
- $$Extremetrixul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200, 200]]$$
이런 식으로 계속해서 아래첨자 2를 늘릴 수 있다.
3.2.6. Gigantixul 단계
- $$Gigantixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200]]$$
- $$Gigantibixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200]]$$
- $$Gigantitrixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200, 200]]$$
이렇게 200바퀴 돌아서 첨자를 200으로 만들 수 있다.
3.3. Mammoth Faxul 단계
3.3.1. Nucleaxul 단계
- $$Nucleaxul = 200![[ _{200} 200]]$$
또한 지금까지의 대장정을 다시 반복하면 이 아래첨자 200 밑에 아래첨자를 여럿 만들 수 있고,
- $$Nucleabixul = 200![[ _{[ _{200} 200]} 200]]$$
Googology Wiki에 따르면, TREE(3) 보다도 월등히 큰 SCG(13)의 하한값 보다도 더 큰 수가 나온다고 한다.
- $$Nucleatrixul = 200![[ _{[ _{[ _{200} 200]} 200]} 200]]$$
3.3.2. '''BIGG'''
이런 식으로 200개를 만들면...
- $$BIGG = 200? = 200![[ _{<1(200)2>[200]}1]]$$
이 BIGG은 '''현존하는 가장 큰 수들 중 하나'''이고, 그 그레이엄 수도 비교할 수 없을 만큼 아득하게 큰 수이다. 큰 수 나무위키 에서는 그레이엄 수 보다 훨씬 더 큰 수로 잘 알려진 TREE(3), 그보다도 훨씬 큰 SCG(13) 보다도 더 큰 수의 위치에 나타다 있다. 다만, 이렇게 인위적으로 창조된 수는 조금만 변형해도 그보다 얼마든지 더 큰 수를 만들어 낼 수 있다는 문제가 있다. 당장 위의 식에서 200 대신 300을 넣기만 해도 더 큰 수가 나오며, 200 대신 그레이엄 수를 넣으면 아득할 정도로 더 큰 수가 되어 버린다. 200대신 BIGG를 넣으면[3] 거의 무한대에 가까운 수가 될 것 같으나 애초에 무한대는 끝이 없다는 특징 때문에 사실상 무한대와 비교하자면 0이라고 봐도 무방하다.
4. 관련 문서
[1] 큰 수에 관심있는 사람들이 모이는 구골로지 위키에서 활동하는 '''아마추어'''다. 어째서 이런 개인이 위키에 끄적거린 저명성 없는 항목이 계속 추가되는지 모르겠지만 어떤 공식적인 직함을 가진 수학자도 아니니 참고해서 관련 항목을 읽기 바란다.[2] 그러나 BIGG의 정의를 아무리 바꾸어 봤자 결국 계산 가능한 수이기 때문에 바쁜 비버 함수(이 함수는 그냥 계산 가능한 그 어떤 함수보다 더 빠르게 증가한다.)나 라요 수같은 계산 불가능한 수, 함수에 밀릴 수밖에 없다.[3] BIGG?= (200?)?