RLC회로
1. 개요
RLC회로는 일반적으로 고등학교 물리에서 배우던 정전압원과 저항만의 회로에서 확장되어, 코일과 커패시터(축전기)라는 소자가 추가된 형태의 회로를 말한다.
코일과 커패시터는 이론상으로는 저항을 가지지 않는 소자이며, 회로상에 흐르는 전기에너지를 각각 자기장과 전기장의 형태로 저장하는 역할을 한다. 이렇게 에너지를 저장하고 있는 상태에서 각각의 소자 특성에 따라서 저항의 전압강하와 같은 특성을 가지게 된다. 이는 각 항목의 서술을 참조.
2. RLC회로의 구성
2.1. 직류회로에서
항상 일정한 전압을 한 방향으로만 흘리는 직류회로에서는 저항기가 전력을 열의 형태로 소모한다.
인덕터(유도자)가 포함된 회로는 회로가 이어지자마자 최대치의 전류가 흐르는 순수 저항 회로와 달리, 회로상에 전류가 흐를때 전류에 반발해 역기전력을 발생시켜 전류의 흐름을 일정시간 지연시킨다. 충분한 시간이 지나 인덕터가 시간에 따른 전류의 변화로 발생시키는 역기전력이 전류의 흐름을 방해하는 현상이 무의미해질 정도가 되면 인덕터는 전선과 같은 역할(단락)이 된다. 이때, 인덕터에 흐르는 전류에 의해 자기장이 지속적적으로 발생하며, 전원이 지속되는 한 인덕터는 자기 에너지를 갖는다.
커패시터(축전기)는 기본적으로 절연체와 같다. 전체적으로 볼 때에는 전류가 흐르다가 끊기는 것과 같이 보이나, 국소적으로 볼 때, 커패시터의 내부는 단절되어 있으므로 전류가 흐르지는 않는다. 하지만 전압이 걸리게 되면 양전하를 띠는 금속 원자와, 음전하를 띠는 자유전자는 각자 전압에 의해 이동하여[1] 커패시터 내부에 분극이 발생하게 된다. 이러한 분극이 포화상태에 다다르면 전기장의 형태로 에너지가 저장되고, 이 상태에서는 전원과 커패시터가 각각 같은 방향으로 연결된 동일 전압의 전원과 같은 상태가 되기 때문에 전류가 더이상 흐르지 않게 된다.
이렇게, RL 혹은 RC 회로에서 전류가 바로 $$\displaystyle \frac{V}{R}$$만큼 흐르지 못하고 서서히 증가하거나 감소하게 되는 현상을 '''과도현상(transient)'''이라고 한다.
또, 일반적으로 직류회로에서는 교류회로에서와의 구분을 위해 전압을 $$V$$혹은 $$E$$, 전류를 $$I$$로 표기한다.
2.1.1. 용량형 회로(Capacitive Circuit)
직류회로에 이어진 커패시터는 교류회로상에서와 달리 저항값이 존재하지 않기 때문에[2] 단순히 커패시터만을 직류전원에 연결하면 무한대의 전류가 흐르게 된다.
따라서 일반적으로는 임의의 저항을 하나 추가하거나 혹은 실제 소자가 갖는 저항성분을 포함하여 RC회로로 설명한다.
키르히호프의 제2법칙에 따르면, 회로상의 임의의 폐루프 내에 걸리는 전압은 해당 폐회로에서 발생하는 전압강하의 총 합과 같다.
RC회로의 경우 저항부분에서 $$RI$$만큼의 전압강하가 발생하고, 커패시터 부분에서 $$\displaystyle \frac{1}{C} \displaystyle \int_{-\infty}^{t} I \,dt$$만큼의 축전이 발생해 완충되는 시점에서 분극이 일어나 전류의 흐름을 끊는다. 이 정보를 바탕으로 RC회로상에서 흐르는 전류를 구하기 위해 식을 세우면
$$\begin{aligned} V=RI+\displaystyle \frac{1}{C} \displaystyle \int_{-\infty}^{t} I \,dt \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &R=\textbf{저항} \left[ Ω \right] \\ &C=\textbf{정전용량} \left[ F \right]\\ &t=\textbf{시간} \left[ s \right] \end{aligned}$$
와 같은 식이 세워진다.
이와같은 식에서는 바로 미분방정식을 풀어낼 수 없기때문에, 먼저 전류 $$I=\displaystyle \frac{dQ}{dt}$$라는, 전하에 관한 식으로 고쳐서 다시 대입한다.
$$\begin{aligned} V&=RI+\displaystyle \frac{1}{C} \displaystyle \int_{-\infty}^{t} \frac{dQ}{\cancel{dt}} \,\cancel{dt} \\ V&=R\displaystyle \frac{dQ}{dt}+\displaystyle \frac{Q}{C}\end{aligned}$$
이와같이 전하량에 관한 1계 미분방정식이 얻어진다.
이 식을 변형하자. 이 식은 적당히 조작하면 변수분리법이 적용 가능하다. 따라서
$$\begin{aligned} V - \displaystyle \frac{Q}{C}=R \frac{dQ}{dt} \\ \displaystyle -\frac{1}{C}(Q-CV)=R \frac{dQ}{dt} \\ \displaystyle \frac{dQ}{(Q-CV)}=-\frac{dt}{RC} \end{aligned}$$
양 변에 적분을 취하면
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{Q-CV}\,dQ=-\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{RC}\,dt \end{aligned}$$
이때, 정적분을 통해 적분 구간을 설정해준다. 시간이 0일때 커패시터에 축적된 전하량을 $$q_0$$로 두고, 시간이 $$t$$일때의 전하량을 $$q(t)$$라고 둔다면
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_{q_0}^{q(t)} \displaystyle \frac{1}{Q-CV}\,dQ=-\displaystyle \int_{0}^{t} \displaystyle \frac{1}{RC}\,dt \end{aligned}$$
와 같은 등식이 성립할 수 있다.
따라서
$$\begin{aligned} \displaystyle { \left[ \ln{(Q-CV)} \right] _{q_0}^{q(t)}}&=\displaystyle -\left[ \frac{1}{RC}t \right]_{0}^{t} \\ \displaystyle \ln{\frac{q(t)-CV}{q_0-CV}}&=\displaystyle -\frac{1}{RC}t \\ \displaystyle q(t)-CV&=(q_0-CV) e^{ -\frac{t}{RC}} \\ \displaystyle q(t)&=(q_0-CV)e^{-\frac{t}{RC}} + CV \\ \displaystyle q(t)&=q_0e^{-\frac{t}{RC}}-CVe^{-\frac{t}{RC}} + CV \\ q(t)&=CV(1-e^{-\frac{t}{RC}}) + q_0e^{-\frac{t}{RC}} \end{aligned}$$
와 같은 식이 도출된다.
여기서 따로 주어진 값이 없다면, 전압이 걸리기 직전 시간 $$t=0$$일 때의 커패시터의 전하량은 0이므로, $$q_0=0$$이라고 할 수 있다. 따라서 뒷부분의 항은 소멸한다.
$$\begin{aligned} q(t)=CV(1-e^{-\frac{t}{RC}}) \end{aligned}$$
이 전하에 관한 식이 바로 시간에 따른 커패시터의 충전 전하량을 나타내는 방정식이 된다. $$q(t)$$와 시간 $$t$$에 관한 그래프를 그리면 그것이 커패시터의 시간당 충전 그래프가 되게 된다.
이제 $$q(t)$$를 시간에 대해 미분해주면 정의에 따라 이 식은 회로에 흐르는 전류에 관한 식이 된다. 양변을 시간에 대해 미분하자.
$$\begin{aligned} \,\,q(t)&=CV-CVe^{-\frac{t}{RC}} \\ \displaystyle \frac{dq(t)}{dt}&=(\cancel{-C}V)(\cancel{-}\frac{1}{R\cancel{C}})e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{V}{R}e^{-\frac{t}{RC}} \\ I&=\displaystyle \frac{V}{R} e^{-\frac{1}{RC}t} \end{aligned}$$
이것이 RC '''등가회로'''의 전류에 대한 미분방정식의 해이며, 시간에 따라 폐회로를 흐르는 전류의 양에 대한 그래프를 그릴 수 있다.
또, 키르히호프 제2법칙에 따르면
$$\begin{aligned} V=V_R+V_C \end{aligned}$$
이라는 법칙이 성립한다.
여기서, 위의 식을 $$V_C$$에 관한 식으로 고치면, 이는 커패시터의 양단 전압에 관한 식이 된다.
$$\begin{aligned} V_C=V-V_R=V-RI \end{aligned}$$
여기서 저항에 흐르는 전류 $$I$$는 직렬회로의 특성상 모든 소자에 같은 전류가 흐르므로, 등가회로의 전류값인 $$\displaystyle \frac{V}{R} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}$$을 대입해도 무방하다.
$$\begin{aligned} V_C=V-\cancel{R}\displaystyle \frac{V}{\cancel{R}} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}=V \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} \right)\end{aligned}$$
이 식을 해석하면, 커패시터의 양단 전압은 시간이 지남에 따라 점점 증가하게 된다. 이때, 전압의 극성은 전원과 서로 마주보게 되며[3], 때문에 커패시터의 양단전압이 높아질수록 인가해주었던 전압에 의한 전류의 흐름은 방해받게 된다.
그리고 시간이 아주 충분히($$t \rightarrow \infty$$) 흘렀을 때, 커패시터의 양단 전압은 전압 $$V$$에 한없이 가까이 수렴하게 되고, 전압원과 서로 상쇄되어 폐루프 내의 전압이 0이 되어 개방상태와 같이 된다.
또, 직류전원이 인가된 커패시터에서 전하-전압-정전용량의 관계는 $$V=\displaystyle \frac{Q}{C}$$로 익히 알려져있는데, $$q(t)$$에서 $$C$$를 나누면 $$V_C$$가 되는것으로 이 또한 제대로 성립하는것을 알 수 있다.
그렇다면 전압이 계속적으로 걸리는 상태일 때, 이 RC회로가 소모하는 전기 에너지에 대해 논의해보자.
소자를 직렬로 연결한 회로상에서, 전체 회로가 소모하는 전기 에너지는 각 소자가 소모하는 전기 에너지의 총합과 같다.
따라서 다음 식이 성립한다.
$$\begin{aligned} W&=W_R+W_C=\displaystyle \int_{0}^{\infty} W_R\,dt + \displaystyle \int_{0}^{\infty} W_C\,dt \\ &=\displaystyle \int_{0}^{\infty} V_RI_R\,dt + \displaystyle \int_{0}^{\infty} V_CI_C\,dt \end{aligned}$$
이고, $$I_R=I_C=I$$이므로,
$$\begin{aligned} W=\displaystyle \int_{0}^{\infty} V_R\displaystyle \frac{V}{R} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}\,dt + \displaystyle \int_{0}^{\infty} V_C\displaystyle \frac{V}{R} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}\,dt \end{aligned}$$
이며,
$$V_R=I_RR=IR$$, $$V_C=V \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} \right) $$
이므로, 각 대입하면
$$\begin{aligned} W&=\displaystyle \int_{0}^{\infty} V e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} \cdot \displaystyle \frac{V}{R} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}\,dt + \displaystyle \int_{0}^{\infty} V \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} \right) \cdot \displaystyle \frac{V}{R} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}\,dt \\ &= \displaystyle \frac{V^2}{R} \int_{0}^{\infty} e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t} \,dt + \displaystyle \frac{V^2}{R} \int_{0}^{\infty} \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} \right) \cdot e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t}\,dt \\ &= \displaystyle \frac{V^2}{R} \int_{0}^{\infty} e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t} \,dt + \displaystyle \frac{V^2}{R} \int_{0}^{\infty} e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} - e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t}\,dt \\ &= \displaystyle \frac{V^2}{\cancel{R}} \left( -\frac{\cancel{R}C}{2} \right) \left[ -e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t} \right]^{\infty}_0 \displaystyle +\frac{V^2}{\cancel{R}} \left[-\cancel{R}C e^{\displaystyle -\frac{1}{RC}t} +\frac{\cancel{R}C}{2} e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t} \right]^{\infty}_0 \\ &= \displaystyle \frac{CV^2}{2} \left[ -e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t} \right]^{\infty}_0 + \displaystyle CV^2 \left[-e^{-\displaystyle \frac{1}{RC}t} + \frac{1}{2} e^{-\displaystyle \frac{2}{RC}t} \right]^{\infty}_0 \\ &= \displaystyle -\frac{CV^2}{2} \left[ e^{-\displaystyle \frac{2}{RC} \cdot \infty} - e^{-\displaystyle \frac{2}{RC} \cdot 0} \right] + \displaystyle CV^2 \left[ \left( -e^{-\displaystyle \frac{1}{RC} \cdot \infty} + \frac{1}{2}e^{-\displaystyle \frac{1}{RC} \cdot \infty} \right) - \left( -e^{-\displaystyle \frac{2}{RC} \cdot 0} + \frac{1}{2} e^{-\displaystyle \frac{2}{RC} \cdot 0} \right) \right] \\ &=\displaystyle -\frac{CV^2}{2} (0-1) + CV^2 \left[ \cancel{(-0+0)} - (-1+\frac{1}{2}) \right] \\ &= \frac{CV^2}{2} + \frac{CV^2}{2} \\ &= CV^2 \end{aligned}$$
이 된다
이 식을 해석하면, 아무리 많은 시간이 흘러도, 커패시터에 전하가 완전히 충전되는 순간 전류가 흐르지 않기 때문에, 저항은 정확히 커패시터가 저장할 수 있는 양만큼만 전기 에너지를 소모하게 된다는 뜻이다.
그러므로 전체 회로가 소비한 전기 에너지는 $$CV^2$$이지만 절반은 커패시터에 분극된 전하의 형태로 저장되고, 나머지 절반은 저항이 소모한 값이 된다.
만일 이 회로에서 전원 공급을 끊는 동시에 커패시터와 저항만이 있는 새로운 폐회로를 구성해준다면 커패시터에 저장된 에너지 $$\displaystyle \frac{CV^2}{2}$$만큼의 에너지가 폐회로를 돌며 저항에서 소모된 뒤, 회로에 흐르는 전류는 0이 된다.
2.1.2. 유도형 회로(Inductive Circuit)
직류회로에 이어진 커패시터는교류회로상에서와 달리 저항값이 존재하지 않기 때문에[4] 단순히 인덕터만을 직류전원에 연결하면 무한대의 전류가 흐르게 된다.
따라서 보통은 저항을 하나 추가하여 RL회로로 설명한다.
키르히호프의 제2법칙에 따르면, 회로상의 임의의 폐루프 내에 걸리는 전압은 해당 폐회로에서 발생하는 전압강하의 총 합과 같다.
RL회로의 경우 저항부분에서 $$RI$$만큼의 전압강하가 발생하고, 인덕터 부분에서 $$-L\displaystyle \frac{di}{dt}$$만큼의 역기전력이 발생해 전압의 흐름을 방해한다. 따라서 RL회로상에서 흐르는 전류를 구하기 위해 식을 세우면
$$\begin{aligned} V=RI+L\displaystyle \frac{dI}{dt} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &R=\textbf{저항} \left[ Ω \right] \\ &L=\textbf{유도계수} \left[ H \right]\\ &t=\textbf{시간} \left[ s \right] \end{aligned}$$
와 같은 형태의 1계 미분방정식이 세워진다.
미분방정식의 소멸연산자 기법[5]을 적용하여 $$\displaystyle \frac{d}{dt}=D$$로 두는것으로 다음과 같이 식을 변형할 수 있다.
$$\begin{aligned} V=DLI+RI \end{aligned}$$
양변에 $$D$$를 곱하면
$$\begin{aligned} 0=RDI+LD^{2}I \\ 0=D(R+LID)I \end{aligned}$$
이에따라, $$D$$에 관한 2차방정식을 풀면
$$\begin{aligned} D=0 \,\, or \,\, D=-\displaystyle \frac{R}{L} \end{aligned}$$
이라는 두개의 해가 나온다.
일반적으로 이 $$D$$값이 실수인 경우, 미분방정식의 해는 $$Ae^{Dx}$$와 같은 형태의 지수함수로 나오는 경우가 잦다.
제시된 식의 경우, $$D$$가 두개나왔으므로, 일반해를 $$I(t)=C_1e^{D_1t}+C_2e^{D_2t}$$와 같은 형태로 구성할 수 있다.[6]
$$\begin{aligned} I=C_1e^{0 \cdot t}+C_2e^{-\displaystyle \frac{R}{L} \cdot t}=C_1 \cdot 1+C_2e^{-\displaystyle \frac{R}{L} \cdot t}=C_1+C_2e^{-\displaystyle \frac{R}{L} \cdot t} \end{aligned}$$
시간 $$t=0$$일때, 각 소자에 흐르는 전류는 모두 0이므로, 초기값 대입을 통해 상수를 결정지어주자.
$$\begin{aligned} 0=C_1+C_2e^{-\displaystyle \frac{R}{L} \cdot 0}=C_1+C_2 \cdot 1 \\ C_1=-C_2 \end{aligned}$$
따라서 전류 $$I$$는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
$$\begin{aligned} I=-C_2(1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} \cdot t}) \end{aligned}$$
또, 앞서 충분히 시간이 흐른 뒤의 RL회로상에서 인덕터는 역할을 하지 못하고 단락된 상태의 회로가 된다고 하였다.
직렬회로에서의 이론상 인덕터의 저항은 0이므로, 상기 RL회로의 등가저항은 $$R$$이라고 볼 수 있다.
따라서 $$t=\infty$$일 때의 전류값은 $$\displaystyle \frac{V}{R}$$이라고 할 수 있다. 이를 대입하면
$$\begin{aligned} I=\displaystyle \frac{V}{R}=-C_2 \displaystyle \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} \cdot \infty} \right)=-C_2 \end{aligned}$$[7]
이 되므로, $$C_2=-\displaystyle \frac{V}{R}$$이다.
$$C_2$$의 값 또한 정해졌으므로 원래의 식에 대입해주면
$$\begin{aligned} I=\displaystyle \frac{V}{R} \displaystyle \left(1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} t} \right) \end{aligned}$$
이라는 형태로 식이 완성된다.
이 식을 해석하면, RL직렬회로의 전류값은 처음에는 거의 흐르지 않다가 시간이 지날수록 점점 증가하는 형태를 보이게 됨을 알 수 있다.
이때, $$e^{-1}$$이 되게하는 $$t$$값은 $$\displaystyle \frac{L}{R}$$인데, 이를 시정수 $$\tau$$라고 한다.
또, 이 방정식에 따르면 $$t$$의 값에 따라 전류값은 $$\displaystyle \frac{V}{R}$$에 한없이 가깝게 근접하지만 절대 $$\displaystyle \frac{V}{R}$$이 되지는 않음을 알 수 있다. 하지만 실제로는 $$\displaystyle \frac{V}{R}$$값의 약 98.17%에 도달하는 $$4\tau$$정도의 시간이 흐른 뒤에는 목표했던 전류값에 도달한것으로 친다.
또한, 우리는 앞에서 인덕터가 자기에너지의 형태로 전기에너지를 저장한다고도 논의했다.
인덕터의 역기전력은 회로에 흐르는 전류가 변화할 때만 발생하는데, 전류는 전압이라는 입력에 대한 출력이다.
따라서 회로 전체의 등가저항 R에 의해 정해지는 값인 $$\begin{aligned} I=\displaystyle \frac{V}{R} \end{aligned}$$를 넘을 수는 없다.[8] 즉 전류가 $$\begin{aligned} \displaystyle \frac{V}{R} \end{aligned}$$ 의 값에 가까워질수록 그 변화율 또한 같이 작아지게 되고, 전류의 변화율에 의존하는 역기전력 역시 작아지게 된다. 때문에 수식은 서서히 역기전력에 의한 방해가 적어지며 전류값이 $$\begin{aligned} I=\displaystyle \frac{V}{R} \end{aligned}$$ 에 수렴하는 그래프를 띄게 된다. 이후 충분한 시간이 흘러 전체 전류가 충분히 $$\begin{aligned} \displaystyle \frac{V}{R} \end{aligned}$$에 가까워졌을 때 부터, 인덕터는 단락상태와 같은 취급을 받게 된다.
단, 이 상태의 인덕터는 단락상태로 취급된다고 하더라도, 도선에 전류가 흐를 때 발생하는 자기장의 형태로 일정한 크기의 자기에너지를 갖게 된다.
그렇다면 이번에는 RL회로가 소모하는 전기 에너지에 관해 논의해보자.
직류회로에서 전기 에너지는
$$\begin{aligned} W=\displaystyle \int_{0}^{t} VI\,dt \end{aligned}$$
로 정의된다.
앞서 RL회로의 각 소자에서 발생하는 전압강하의 합은 회로에 걸리는 전압의 합과 같음을 이용해 방정식을 풀어나갔으므로 이를 다시 한 번 이용하면
$$\begin{aligned} W&=\displaystyle \int_{0}^{t} \displaystyle \left(RI+L\displaystyle \frac{dI}{dt} \right) I\,dt \\ &=\displaystyle \int_{0}^{t} VI^2 dt +\displaystyle \int_{0}^{t}LI\displaystyle \frac{dI}{\cancel{dt}} \cancel{dt} \\ &=\displaystyle \int_{0}^{t} VI^2 dt +\displaystyle \int_{0}^{t}LI{dI} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} W=\displaystyle \frac{1}{2} \left[ LI^2 \right]^t_0 +\displaystyle \int_{0}^{t} VI^2 dt \end{aligned}$$
이며, 앞서 전류 $$I$$는 $$I=\displaystyle \frac{R}{L} \displaystyle \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} t} \right) $$임을 논의했으므로 대입하여 주면
$$\begin{aligned} W&=\displaystyle \frac{1}{2} \left[ L \left( \displaystyle \frac{V}{R} \displaystyle \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} t} \right) \right)^2 \right]^t_0 +\displaystyle \int_{0}^{t} VI^2 dt \\ &=\displaystyle \frac{L}{2} \left( \frac{V}{R} \right)^2 \left[ \displaystyle \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} t} \right)^2 \right]^t_0 +\displaystyle \int_{0}^{t} VI^2 dt \end{aligned}$$
여기서 충분한 시간이 흘렀다는 의미로 $$t \rightarrow \infty$$로 극한을 취해주면
$$\begin{aligned} W=\displaystyle \frac{L}{2} \left( \frac{V}{R} \right)^2 \left[ \displaystyle \left( 1-e^{-\displaystyle \frac{R}{L} t} \right)^2 \right]^{\infty}_0 +\displaystyle \int_{0}^{t} VI^2 dt \\=\displaystyle \frac{1}{2} L \displaystyle \left( \displaystyle \frac{V}{R} \right)^2 \left[ 1-0 \right] +\displaystyle \int_{0}^{\infty} VI^2 dt \end{aligned}$$
의 형태로 나타남을 알 수 있다.
즉, 시간이 무한히 흐른다고 해도, 인덕터에 저장되는 자기에너지는 $$\displaystyle \frac{1}{2} L \displaystyle \left(\displaystyle \frac{V}{R} \right)^2=\displaystyle \frac{1}{2} LI^2$$라는 한계가 있으며, 저항은 시간에 비례해서 계속적으로 열에 의한 전력소모가 발생한다는 의미로 해석할 수 있다.
인덕터의 기전력은 기본적으로 전류의 방향의 흐름에 반해 발생하는 역기전력이므로, 이와 같이 정상상태에 도달했을 때에는 극성이 무의미할 정도로 그 크기가 작게 된다.
만일 이 인덕터 소자에 축적된 자기에너지를 다른 소자에서 사용하겠답시고 순간적으로 전원으로부터 인덕터를 분리하게 되면, 순간적인 전류의 변화량이 무한대로 치솟게 되어[9] 유도되는 전압에 의해 소자가 파손될 수 있다. 때문에 인덕터의 순간적인 스위칭은 보통 권장되지 않으며, 부가적인 다른 회로 구성을 통해 이러한 현상을 막는다.
2.2. 교류회로에서
RLC회로는 문자 그대로 저항(R) L(유도자) C(축전기) 가 직렬로 교류전원에 연결된 회로이다. 세 저항요소에서 걸리는 전압의 위상이 제각각이기 때문에 일반적인 회로의 저항처럼 각각을 독립해 계산한 것을 그대로 적용시킬 수 없다. 즉 교류전원의 기전력의 그래프와 전체 전압의 그래프는 위상차를 가지게 된다.
또, 일반적으로 교류회로에서는 직류회로와의 구분을 위해 전압을 $$v(t)$$혹은 $$e(t)$$, 전류를 $$i(t)$$로 표기한다.
2.2.1. 저항형 회로(Resistive Circuit)
저항과 교류전원장치만으로 구성된 회로를 생각하자. 이 때 회로의 전압은 교류전원의 최대기전력$$ E_{m} $$ 과 각진동수$$ \omega_{d} $$ 에 대해 $$V\left( t\right) =E_{m}\sin \omega _{d}t$$으로 표현된다. 이 때, I=V/R에서 저항에 흐르는 전류는 $$I\left( t\right) =\dfrac {E_{m}}{R}\sin\omega _{d}t=I_{m}\sin \omega _{d}t$$이 된다. 여기서 주목할 점은 전압과 전류의 위상차가 없다는 것이다.
2.2.2. 용량형 회로(Capacitive Circuit)
축전기와 교류전원만이 있는 회로를 생각하자. 위와 같은 전원으로 취급할 때 축전기에 걸리는 전압은 $$V\left( t\right) =V_{C}\sin \omega _{d}t$$ 이다.
여기서 $$ V_{C} $$는 축전기에 걸리는 최대전압이다. 이제 여기서 축전기에 걸리는 전류를 구하면,$$ i=\dfrac {dq}{dt} $$와 축전기의 전하량 q=CV (C는 전기용량) 으로부터
$$\begin{aligned} I\left( t\right) &=\dfrac {dq}{dt}=\dfrac {d}{dt}(CV_{c}\sin \omega _{d}t) \\ &=CV_{c}\omega _{d}\cos \omega _{d}t \end{aligned}$$가 된다.
여기서 주목할 점은 '''전류의 위상이 전압의 위상보다 90도 앞선다는 것이다.'''(진상)[10]
이 때 $$ i(t)=\dfrac {V(t)}{R} $$로부터 R의 역할을 하는 축전기의 요소를 용량 리액턴스라 부르며 그 값은 $$X_{c}=\dfrac {1}{\omega _{d}C}$$과 같다. 따라서 $$V\left( t\right) =I\left( t\right) X_{c}$$ 이다.
나아가, 회로상에 R, L, C가 모두 있어도 등가회로의 계산에 의해 전류의 위상이 전압보다 앞선다는 결과가 도출될 때, 그 회로 전체를 용량성 회로라고 부른다.
2.2.3. 유도형 회로(Inductive Circuit)
다음으로 유도기와 교류전원만으로 구성된 회로를 생각하자. 이 때 유도기에 걸리는 전압은 $$ V\left( t\right) =V_{L}\sin \omega _{d}t $$이다.
여기서 유도기의 특성에 따라 유도기에 걸리는 전압은 또한 $$ V\left( t\right) =L\dfrac {dI}{dt} $$과 같다. (L은 유도용량)
따라서 유도기에 걸리는 전류는
$$\begin{aligned} \displaystyle I\left( t\right) &=\int dI\left( t\right) =\int \dfrac {V_{L}}{L}\sin \omega _{d}tdt \\&=-\dfrac {V_{L}}{\omega _{d}L}\cos \omega _{d}t \end{aligned}$$
가 된다.
이 때 주목할 점은 유도기에 걸리는 '''전류의 위상이 전압의 위상보다 90도 뒤진다는 것이다.'''(지상)
여기서 $$ I\left( t\right) =\dfrac {V\left( t\right) }{R} $$ 로부터 R의 역할을 하는 유도기의 저항요소를 유도 리액턴스라 하며 그 값은 $$ X_{L}=\omega _{d}L$$ 이다. 따라서 $$V\left( t\right) =I\left( t\right) X_{L}$$ 을 만족한다.
나아가, 회로상에 R, L, C가 모두 있어도 등가회로의 계산에 의해 전류의 위상이 전압보다 뒤진다는 결과가 도출될 때, 그 회로 전체를 유도성 회로라고 부른다.
2.2.4. 임피던스
커패시터와 인덕터는 본래 에너지를 저장하는 소자이다. 그러나 시시때때로 전류의 방향이 바뀌는 교류의 경우, 한 주기에 대해 적분하면 그 값이 0이 되는 그래프를 그리는 형태로 에너지 곡선이 그려진다.
즉, 교류회로상에서 커패시터와 인덕터같은 소자는 에너지를 저장한 뒤 다시 순식간에 방출해버린다는 의미이다. 따라서 교류회로상에서 이 소자들은 에너지 저장 소자로서의 의미는 거의 갖지 못한다. 대신 에너지를 저장하고 방출하면서 일종의 저항을 발생시키는데, 이것을 리액턴스라고 한다.
임피던스는 교류회로상에서 소자의 저항과 리액턴스를 모두 합쳐서 일컫는 말이다.
회로의 각 요소마다 전압의 위상이 다른만큼 회로 전체의 등가전압도 교류전원이 공급해주는 것과는 다르다. 따라서 등가전압을 고려하기 위해서 각각 저항, 유도기, 축전기에 걸리는 진동하는 전압이 한 회로 안에서 서로 영향을 주고 받으므로 마치 같은 매질을 통해 세개의 서로 다른 파동이 서로 간섭하고 있는 것처럼 생각해보자. (아마 상쇄와 보강이 있을 것이다.)
이 때 저항, 유도기, 축전기에 걸리는 각각의 전압을 $$ V_{R}\left( t\right) ,V_{L}\left( t\right) ,V_{C}\left( t\right)$$
라 하면 직렬회로에서는 모든 요소에 걸리는 전류의 위상이 같으므로 전류를 기준으로 유도기는 전압의 위상이 90도 빠르고 저항은 같고 축전기는 90도 느리다.[11] 이는 위에서 식으로써 보였으므로 바로 정리하면,
$$\begin{aligned} \displaystyle V_{R}\left( t\right) =V_{R}\sin \left( \omega _{d}t\right) \\ V_{L}\left( t\right) =V_{L}\sin \left( \omega _{d}t+\dfrac {\pi }{2}\right) \\ V_{c}\left( t\right) =V_{c}\sin \left( \omega _{d}t-\dfrac {\pi }{2}\right) \end{aligned}$$ 가 된다.
이때 세 전압의 합성진동
$$\begin{aligned} V'(t)=V_{R}\sin \left( \omega _{d}t\right) +\left( V_{L}-V_{c}\right) \cos \left( \omega _{d}t\right)\end{aligned}$$
의 계수는 삼각함수의 합성[12]에 의해
$$\begin{aligned} V'\left( t\right) =\sqrt {V^{2}_{R}+\left( V_{L}-V_{c}\right) ^{2}}\sin \left( \cdot \cdot \cdot \right)\end{aligned}$$ 가 된다.
즉 회로의 최대 전압(등가전압의 최댓값)은 $$ V=\sqrt {V^{2}_{R}+\left( V_{L}-V_{c}\right) ^{2}}$$ 이 되고 V=IR에 의해 위 식의 양변을 I로 나누면
$$\dfrac {V}{i}=Z=\sqrt {R^{2}+\left( X_{L}-X_{c}\right) ^{2}} $$이 된다. 이때 Z를 회로의 임피던스(온저항) 이라고 하고 회로의 등가저항과 같은 역할을 한다.
2.2.4.1. 음향기기에서
악기나 음향기기 관련 항목을 통해 임피던스 문단으로 들어온 사람은 위 내용을 보고 '이게 무슨 소리야'(...) 할 수도 있겠는데, 별개의 개념이 아니고 완전히 동일한 개념이다. 음향기기에 사용되는 전기신호도 교류이기 때문에 동일한 수식을 적용받기 때문. 다만, 일반적인 경우에는 위 내용을 모두 이해할 필요는 없고, 연결된 기기가 요구하는 임피던스를 서로 동일하게 맞춰줄 때 가장 효율이 좋고 깨끗한 소리를 내준다고 생각하면 기본적인 이해는 끝난 것이며 이것이 바로 임피던스 정합이다. 음향기기간의 연결, 즉 스피커와 파워앰프의 연결이나 녹음장치와 악기 연결 등에 사용할 수 있는 개념이다. 디지털 음향기기라고 해도 딱히 예외는 아닌데, 광학 케이블이 아니라면 디지털 전송에도 입출력 임피던스를 맞춰줘야 하기 때문.
SPDIF나 AES3같은 디지털 단자의 경우 신호의 왜곡이 가장 적은 75옴이나 110옴이 표준이고, 아날로그 라인 입출력의 경우 PSTN의 라인 임피던스에서 유래된 600옴을 표준으로 본다. 그러나 전문적인 음향 장비가 아니라면 다들 제각각으로 나오는 경우가 많다.
그렇다면, 서로 임피던스 수치가 같으면 좋다고 하니(...) 넘어간다 쳐도, 서로 임피던스 특성이 다르면 어떻게 해야 하는가? 이때 사용되는 것이 임피던스 변환인데, 마치 저항을 직병렬 연결하여 총 저항값을 변경하듯 동일한 방식으로 부하 자체를 직병렬 연결하는 방식으로 조절할 수도 있고 (주로 스피커에서 사용 - 물론 출력도 함께 고려하여야 한다) 간단히 트랜스포머나 기타 임피던스 조절 기능이 있는 장치를 연결하여 변환해줄 수도 있다. 일례로 일렉트릭 기타 등에서 뽑아주는 언밸런스 출력을 마이크 단자용 밸런스 입력에 연결하고자 할 때 사용하는 DI BOX(소위 다이렉트 박스)는 위상이 뒤바뀐 차동신호를 출력해주는 것뿐만 아니라 임피던스를 낮춰주는 역할도 함께 한다. "기타를 믹서에 바로 꽂으면 믹서 고장나니 하지마라"는 말의 이론적 배경이 바로 이것.
3. RLC감쇠진동
3.1. 회로 방정식
회로에 전류 $$I(t)$$(시간에 관한 함수)가 흐르고 저항 $$R$$, 인덕터 $$L$$, 축전기 $$C$$가 있을 때
[1] 전원의 -극으로부터는 자유전자가 나와 커패시터의 끝단에 몰리고, 전원의 +극은 자유전자를 끌어당겨 커패시터의 +극쪽 극판은 양전하를 띠는 금속 원자 격자만이 남게 되는 식이다.[2] 물론 이론상의 이야기라 실제로는 아주 약간의 저항이 존재한다.[3] 전원의 +극 쪽이 +, 전원의 -극이 커패시시터에서도 -극이라는 말이다.[4] 물론 이론상의 이야기라 실제로는 약간의 저항이 존재한다.[5] 미분방정식의 대수적 풀이법중 하나로, 미분연산자 $$\displaystyle \frac{d}{dx}$$와 같은 미분을 표시하는 연산자를 임의의 문자로 두어 마치 대수연산을 하는것처럼 풀어내는 방법.[6] 여기서 $$C_1$$,$$C_2$$은 모두 적분에 의해 발생하는 임의의 서로 다른 상수이다.[7] $$e^{-\infty}=0$$[8] 만약 전류가 더 흐르는 상황이 있다면 그것은 단순 RL회로가 아닌, 변압기 등의 전력전달 요소가 끼어있는 것이다.[9] $$\mathcal{E} = -L \frac{dI}{dt}$$ 에서 분모가 0에 가깝게 줄어들어 그 값이 무한대에 가깝게 치솟게 된다. 고출력 직류전동기의 브러시에서 섬광이 치솟는 것도 같은 이유.[10] 다음 단락의 표현도 그렇지만, 전압과 전류의 관계를 바꿔서 생각하는 게 명확할 것이다. 전압의 위상이 전류보다 느린데 앞서 나간다는 뜻의 진상이란 단어를 쓰면 혼란스러울 수 있다. 전압을 기준으로 전류의 위상이 어떠한지를 따져서 진상이나 지상이라는 표현을 쓴다. [11] 이 관계를 CIVIL("In '''C''' '''I''' leads '''V''', but '''V''' leads '''I''' in '''L''')로 외우기도 한다. 'C(축전기)는 I(전류)의 위상이 V(전압)의 위상보다 빠르고, V의 위상이 I의 위상보다 빠르면 L(유도기)'라는 뜻이다. 다만 역률(power factor)에서 leading과 lagging을 판단하는 기준은 전압에 대한 전류의 위상이므로 전류에 대한 전압 위상만 생각하고 접근했다가는 낭패를 볼 수 있다.[12] $$\alpha \sin x+\beta \cos x=\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}\sin \left( x+\theta \right)$$