각기둥
1. 개요
角기둥 / Prism
평행한 두 밑면이 다각형으로 되어 있고, 평행사변형 옆면으로 구성된 다면체. 이들 중 옆면이 밑면에 수직한 것을 직각기둥이라고 하고, 옆면과 밑면이 직각이 아닌 각을 이룬 것을 빗각기둥이라 한다. 모든 면이 정다각형인 각기둥은 한 꼭지점에 정사각형 2개와 정n각형 1개가 모이므로, 반정다면체에 해당한다. 밑면의 각을 무수히 많이 늘릴 수 있으므로, 반정다면체인 각기둥의 종류 또한 무수히 많다.
밑면이 정사각형이며, 높이와 밑면의 한 변의 길이가 같은 직각기둥이 바로 정육면체이다. 즉, 정육면체는 각기둥의 특수한 경우라고 생각할 수도 있다.
쌍대는 쌍각뿔이다.
2. 정보
2.1. 일반적인 각기둥에 대한 정보
각기둥 밑면의 넓이를 $$A$$, 밑면의 둘레를 $$\ell$$, 높이를 $$h$$라고 할 때
겉넓이(surface area) = $$2A+{\ell}h$$
부피(volume) = $$hA$$
2.2. 정n각기둥에 대한 정보
단, 아래 정보는 모든 모서리의 길이가 a인 직각기둥에 대한 정보이다.
한 변의 길이가 $$a$$인 깎은 정n각기둥이 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = $$3n$$
외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{a}{2}\sqrt{\csc^2{\left(\frac{\pi}{n}\right)}+1}$$
겉넓이(surface area) = $$\displaystyle{a^2}{n}\left(\frac{1}{2}\cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)}+1\right)$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{a^3}{4}n\cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$
3. 확장된 의미
2차원 다각형을 쌓아 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 방향[4]으로 쌓아 초기둥(hyperprism)을 만들 수 있다.
[1] 슐레플리 부호에서 빈 칸 {}는 직선을 의미한다.[2] (예) {}×{}×{}는 직육면체를 의미한다.[3] 한 꼭지점에 정n각형-정사각형-정사각형 순서대로 모인다는 뜻.[4] 반드시 직각일 필요는 없다. 직각일 경우, 직각초기둥이 된다.