특수각

 


1. 개요
2. 0
3. $$\displaystyle {\pi \over 6}$$ (30˚)
4. $$\displaystyle {\pi \over 4}$$ (45˚)
5. $$\displaystyle {\pi \over 3}$$ (60˚)
6. $$\displaystyle {\pi \over 2}$$ (90˚, 직각)
7. $$\displaystyle {2\pi \over 3}$$ (120˚)
8. $$\displaystyle {3\pi \over 4}$$ (135˚)
9. $$\displaystyle {5\pi \over 6}$$ (150˚)
10. $$\displaystyle {\pi}$$ (180˚, 평각)
11. $$\displaystyle {3 \pi \over 2}$$ (270˚)
12. $$\displaystyle 2 \pi$$ (360˚)
13. 작도 가능한 각도
14. 허수 단위 [math({i})]
15. 관련 문서


1. 개요

Special angles · 特殊角
각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다.
크게 주치([0,2π]) 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.
[image]
$$\displaystyle \sin{\theta} = \pm {\sqrt{n} \over 2} , (n = 0, 1, 2, 3, 4) $$이 성립하는 각, 나머지는 유도 가능.

2. 0

말 그대로 '''각도가 0'''이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 삼각'''비'''는 우극한이 존재하나 정의는 되지 않으며, 삼각'''함수'''값은 존재한다.
  • $$\displaystyle \sin 0 = 0$$
  • $$\displaystyle \cos 0 = 1$$
  • $$\displaystyle \tan 0 = 0$$
  • $$\displaystyle \csc 0$$은 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \sec 0 = 1$$
  • $$\displaystyle \cot 0$$은 정의되지 않는다.

3. $$\displaystyle {\pi \over 6}$$ (30˚)

정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.
  • $$\displaystyle \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2}$$
  • $$\displaystyle \cos {\pi \over 6} = {\sqrt{3} \over 2}$$
  • $$\displaystyle \tan {\pi \over 6} = {1 \over \sqrt{3}}$$
  • $$\displaystyle \csc {\pi \over 6} = 2$$
  • $$\displaystyle \sec {\pi \over 6} = {2 \over \sqrt{3}}$$
  • $$\displaystyle \cot {\pi \over 6} = \sqrt{3}$$

4. $$\displaystyle {\pi \over 4}$$ (45˚)

정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[1][2]
  • $$\displaystyle \sin {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}$$
  • $$\displaystyle \cos {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}$$
  • $$\displaystyle \tan {\pi \over 4} = 1$$
  • $$\displaystyle \csc {\pi \over 4} = \sqrt{2}$$
  • $$\displaystyle \sec {\pi \over 4} = \sqrt{2}$$
  • $$\displaystyle \cot {\pi \over 4} = 1$$

5. $$\displaystyle {\pi \over 3}$$ (60˚)

정삼각형의 한 내각의 크기다.
  • $$\displaystyle \sin {\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}$$
  • $$\displaystyle \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2}$$
  • $$\displaystyle \tan {\pi \over 3} = \sqrt{3}$$
  • $$\displaystyle \csc {\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}$$
  • $$\displaystyle \sec {\pi \over 3} = 2$$
  • $$\displaystyle \cot {\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}}$$

6. $$\displaystyle {\pi \over 2}$$ (90˚, 직각)

Right angle · 直角
'''가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각'''으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.
삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관 없는 곳에서 더 많이 쓰여서 그렇지...
  • $$\displaystyle \sin {\pi \over 2} = 1$$
  • $$\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0$$
  • $$\displaystyle \tan {\pi \over 2}$$는 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \csc {\pi \over 2} = 1$$
  • $$\displaystyle \sec {\pi \over 2}$$는 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0$$

7. $$\displaystyle {2\pi \over 3}$$ (120˚)

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
라그랑주점을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다.
  • $$\displaystyle \sin {2\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}$$
  • $$\displaystyle \cos {2\pi \over 3} = -{1 \over 2}$$
  • $$\displaystyle \tan {2\pi \over 3} = -\sqrt{3}$$
  • $$\displaystyle \csc {2\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}$$
  • $$\displaystyle \sec {2\pi \over 3} = -2$$
  • $$\displaystyle \cot {2\pi \over 3} = -{1 \over \sqrt{3}}$$

8. $$\displaystyle {3\pi \over 4}$$ (135˚)

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.
정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
  • $$\displaystyle \sin {3\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}$$
  • $$\displaystyle \cos {3\pi \over 4} = -{1 \over \sqrt{2}}$$
  • $$\displaystyle \tan {3\pi \over 4} = -1$$
  • $$\displaystyle \csc {3\pi \over 4} = \sqrt{2}$$
  • $$\displaystyle \sec {3\pi \over 4} = -\sqrt{2}$$
  • $$\displaystyle \cot {3\pi \over 4} = -1$$

9. $$\displaystyle {5\pi \over 6}$$ (150˚)

정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다.
  • $$\displaystyle \sin {5\pi \over 6} = {1 \over 2}$$
  • $$\displaystyle \cos {5\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2}$$
  • $$\displaystyle \tan {5\pi \over 6} = -{1 \over \sqrt{3}}$$
  • $$\displaystyle \csc {5\pi \over 6} = 2$$
  • $$\displaystyle \sec {5\pi \over 6} = -{2 \over \sqrt{3}}$$
  • $$\displaystyle \cot {5\pi \over 6} = -\sqrt{3}$$

10. $$\displaystyle {\pi}$$ (180˚, 평각)

Straight angle · 平角
평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 '''오일러의 등식'''에 이 각이 들어간다.
  • $$\displaystyle \sin {\pi} = 0$$
  • $$\displaystyle \cos {\pi} = -1$$
  • $$\displaystyle \tan {\pi} = 0$$
  • $$\displaystyle \csc {\pi}$$는 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \sec {\pi} = -1$$
  • $$\displaystyle \cot {\pi}$$는 정의되지 않는다.

11. $$\displaystyle {3 \pi \over 2}$$ (270˚)

직사각형의 바깥쪽 각이다.
  • $$\displaystyle \sin {3\pi \over 2} = -1$$
  • $$\displaystyle \cos {3\pi \over 2} = 0$$
  • $$\displaystyle \tan {3\pi \over 2}$$는 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \csc {3\pi \over 2} = -1$$
  • $$\displaystyle \sec {3\pi \over 2}$$는 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \cot {3\pi \over 2} = 0$$

12. $$\displaystyle 2 \pi$$ (360˚)

한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 $$2 \pi$$로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.
  • $$\displaystyle \sin 2 \pi = 0$$
  • $$\displaystyle \cos 2 \pi = 1$$
  • $$\displaystyle \tan 2 \pi = 0$$
  • $$\displaystyle \csc 2 \pi$$은 정의되지 않는다.
  • $$\displaystyle \sec 2 \pi = 1$$
  • $$\displaystyle \cot 2 \pi$$은 정의되지 않는다.

13. 작도 가능한 각도

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.
  • 15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15˚도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15˚, 75˚도 특수각 범주에 넣기도 한다.
    • $$\displaystyle \sin {\pi \over 12} = \cos {5\pi \over 12} = {\sqrt{6} - \sqrt{2}\over 4}$$
    • $$\displaystyle \cos {\pi \over 12} = \sin {5\pi \over 12}= {\sqrt{6} + \sqrt{2}\over 4}$$
  • 72˚ : 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.
    • $$\displaystyle \sin {\pi \over 10} = \cos {2\pi \over 5} = {\sqrt{5} - \sqrt{1}\over 4}$$
    • $$\displaystyle \sin {\pi \over 5} = \cos {3\pi \over 10}= {\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\over 4}$$
    • $$\displaystyle \sin {3\pi \over 10} = \cos {\pi \over 5} = {\sqrt{5} + \sqrt{1}\over 4}$$
    • $$\displaystyle \sin {2\pi \over 5} = \cos {\pi \over 10}= {\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\over 4}$$
  • 3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
    • 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
  • $$\displaystyle \frac {2 \pi}{17}= \frac{360^\circ}{17}$$ (약 21.1764705882˚) : 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2n배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[3]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[4]은 작도 불가능하다.

14. 허수 단위 [math({i})]

허수 각이라니 이게 무슨 개 풀 뜯어 먹는 소리냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...).심지어 코사인의 경우 실수(...)가 튀어나온다. 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 쌍곡함수로 탈바꿈하게 된다. 아래 항등식에서 $$e$$는 자연로그의 밑이다.
  • $$\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i$$
  • $$\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e }$$
  • $$\displaystyle \tan{ i } = {i \sinh{ 1 } \over \cosh{ 1 }} = \frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i$$
  • $$\displaystyle \csc{ i } = {1 \over i\sinh{ 1 }} = -\frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -\frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i$$
  • $$\displaystyle \sec{ i } = {1 \over \cosh{ 1 }} = \frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = \frac{ 2e }{ e^2 + 1 }$$
  • $$\displaystyle \cot{ i } = {\cosh{ 1 } \over i \sinh{ 1 }} = -\frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i$$

15. 관련 문서


[1] 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 포물선 운동을 하게 했을 때 초기속력을 $$v_0$$, 발사각을 $$\theta$$, 중력가속도를 $$g$$, 입자의 최대 수평도달거리를 $$R$$이라 하면 $$R=\dfrac{{v_0}^{2} \, {\sin2\theta}}{g}$$이다. $$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$$일 때 $$0<\sin2\theta≦1$$이고 $$\sin2\theta=1$$이 되도록 하는 $$2\theta=90^{\circ}$$이므로 $$\theta=45^{\circ}$$이다.[2] 공기 저항이 있는 현실에서는 π/4보다 낮게 던져야 더 멀리 날아간다.[3] 정15(=3×5)각형, 정408(=23×3×17)각형, 정8224(=25×257)각형 등등[4] 정27(=33)각형, 정225(=3×53)각형, 정1156(=22×172)각형 등등

분류