비관성 좌표계
1. 개요
'''Non-inertial reference frame'''
'''비관성 좌표계''' 혹은 '''비관성계'''는 관측자가 있는 좌표계가 정지 혹은 등속 운동하는 것이 아니라 가속 운동하는 좌표계이다. 이때, 관성 좌표계에 대해 정지한 관측자가 비관성 좌표계에 대해 정지한 관측자를 바라보게 되면, 가속 운동하는 것으로 관측된다.
현실에서는 관측자가 비관성 좌표계에 있는 경우가 많은데, 지구 표면 마저도 자전과 태양을 한 초점으로 하여 공전을 하여 가속 운동을 하기 때문에 관성 좌표계가 아니다.
고전역학의 공리라 볼 수 있는 뉴턴법칙은 관성 좌표계를 기준으로 작성 되었기 때문에 비관성 좌표계에서 뉴턴법칙을 성립시키게 되면, 비관성항이 추가되게 된다. 그 항이 관성력, 원심력 등의 겉보기 힘이다.
이때, 해당 힘들이 비관성 좌표계에서 뉴턴법칙을 성립시키기 위해 인위적으로 추가된 항이라는 점을 인지할 필요가 있다. 따라서 고전역학적 '힘'과는 비교했을 때, 보통의 의미에서 지칭하는 힘은 아니며, 그렇기 때문제 작용 반작용 법칙 또한 적용되지 않는다. 이에대한 자세한 설명은 관성력, 원심력 문서에 나와있다.
주의해야 할 것은 인위적으로 추가된 항이라 해도 이것이 수학적 트릭 등으로 '''아무 의미 없이 추가된 항이라 해석하면 안된다.''' 그 이유는 비관성 좌표계에 있는 사람은 그 힘을 느낄 수 있으며, 이것은 가속하는 버스나, 회전하는 놀이기구에서 관성력과 원심력을 느낄 수 있다는 것이 그 근거이다. 또한, 이 항을 도입하지 않고, 관성 좌표계에서 정의된 뉴턴법칙을 그대로 쓰면, 비관성 좌표계의 관찰자는 설명할 수 없는 것들 또한 존재하기 때문이다.[2][3]
다르게 설명하면, 보통의 힘은 상호작용으로인해 나타나나, 이러한 비관성 항은 좌표계의 가속 혹은 회전 때문에 나타나는 항이다. 즉, 좌표계 자체의 운동으로 인해서 받는 것이다. 따라서 이것을 보통의 힘으로 치부하기엔 어려운 점이 있다.
2. 비관성 좌표계에서의 운동의 기술
2.1. 가속계[4]
[image]
고정된 관성계[5] $$\textrm{O}\mathbf{'}$$에 대하여 $$\mathbf{a}$$의 가속도로 움직이는 가속계 $$\textrm{O}$$를 고려해보자. 즉,
$$ \displaystyle \frac{d^{2}\mathbf{R}}{dt^{2}}=\mathbf{a} $$
[1] 엄연히 가속도 운동에서는 병진운동과 회전운동 모두 포함되나, 여기서는 회전계와의 구분을 위해 병진운동만을 지칭한다.[2] 가장 큰 예로 가속하는 버스의 손잡이가 버스의 가속 방향의 반대로 가 있는 것이다. 버스 안에 있는 사람 입장에선, 아무 힘도 받지 않았는데도 불구하고, 손잡이가 반대로 이동하므로 이것을 설명할 때, 비관성 항을 인위적으로 넣어 설명하는게 가장 합당하다.[3] 조금 유머적인 설명을 곁들이면, 북한의 그분이 태평양으로 미사일을 쏘려고 해도 비관성 항에 대한 고려를 하지 않으면 미사일은 엉뚱한데를 맞추게 될 것이다. [4] 엄연히 가속도 운동에서는 병진운동과 회전운동 모두 포함되나, 여기서는 회전계와의 구분을 위해 병진운동만을 지칭한다.[5] 문제를 단순히하기 위해 관성계는 고정되어 있다고 가정한다.
이때, 가속계에 대해 정지한 물체가 있다면, 고정된 관성계에서 관측한
$$ \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=0 $$
다만, 물체가 비관성계에 대해서도 가속도 $$ ( d^2 \mathbf{r}/dt^{2})_{\textrm{accelerating}}$$을 가진다면, 이를 덧붙여 쓸 필요가 있다.
$$ \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=0+\left( \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{accelerating}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{r'}=\mathbf{R}+\mathbf{r} $$
- $$\mathbf{r}$$: 비관성계에 대한 물체까지의 위치 벡터
- $$\mathbf{r'}$$: 고정된 관성계에 대한 물체까지의 위치 벡터
- $$\mathbf{R}$$: 고정된 관성계에 대한, 비관성계의 원점까지의 위치 벡터
따라서 고정된 관성계에서
$$ \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{R}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}+\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \mathbf{a}+\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{accelerating}} $$
- $$\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}$$: 고정된 관성계에 대한 물체의 가속도
- $$\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{accelerating}}$$: 가속계에 대한 물체의 가속도
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{f}}= m \displaystyle \mathbf{a}+ m\mathbf{a'} $$
$$ \displaystyle m \displaystyle \mathbf{a'}=m\mathbf{a_{f}}-m\mathbf{a} $$
즉, 비관성계에서 물체는 관성계에서 받던 힘(중력, 전자기력, 탄성력 등 법칙으로 정의된 힘을 말한다.) $$m\mathbf{a_{f}}$$에 부가적으로 관성력 $$-m\mathbf{a}$$을 받는다는 것을 알 수 있다.
2.2. 회전계
[image]
고정된 관성계 $$\textrm{O}\mathbf{'}$$에 대하여 $$\boldsymbol{\omega}$$의 각속도로 움직이는 회전하는 회전계 $$\textrm{O}$$를 고려해보자.
이때, 회전계에 대해서 물체가 정지한다면, 고정계에서 관측했을 때, 물체는 회전하는 것으로 관측된다. 이때, 물체가 무한소 회전을 했다하면,
$$ \displaystyle (d \mathbf{r})_{\textrm{fixed}}=d \boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{d \boldsymbol{\theta}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \times \mathbf{r}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
이때, 회전계에 대해 물체가 속도 $$ \displaystyle \left({d \mathbf{r}}/{dt} \right)_{\textrm{rotating}}$$를 추가적으로 가진다면, 이를 덧붙여 적을 필요가 있다. 즉,
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}= \left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
이때, 위 상황에서
$$ \displaystyle \mathbf{r'}=\mathbf{R}+\mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=0 $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
- $$\displaystyle \left( \frac{d^{2} \mathbf{r'}}{dt^{2}} \right)_{\textrm{fixed}}$$: 고정된 관성계에 대한 물체의 속도
- $$\displaystyle \left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}$$: 회전계에 대한 물체의 속도
- $$\displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$$: 회전계의 회전에 의해 물체가 갖는 속도
$$ \mathbf{v_{f}}=\mathbf{v_{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{v_{f} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{v_{r} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\frac{d \boldsymbol{\omega}}{dt} \times \mathbf{r}+ \boldsymbol{\omega} \times \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} $$
[6] 회전계의 기저 벡터는 시간에 따라 변하므로 회전계를 기준으로 미분을 하게 되면, 이러한 기저 벡터의 시간 미분 항까지 포함해야 한다. 그렇게 되면 계산이 복잡해지므로 간단하게 고정계에 대해 미분한 뒤 회전계로 변환하는 게 더 쉽기 때문에 고정계에 대해 미분을 하는 것이다.
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{v_{f} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{v_{r} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ \boldsymbol{\omega} \times \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} $$
이때, 위에서 구했던
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}= \left(\frac{d \mathbf{r}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{Q}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}= \left(\frac{d \mathbf{Q}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{Q} $$
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{v_{f} } }{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left(\frac{d \mathbf{v_{r} } }{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{f}}=m\mathbf{a_{r}}+2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}+m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
우변의 각 항의 의미는 아래와 같다.
- $$m\mathbf{a_{f}}$$, $$m\mathbf{a_{r}}$$은 윗문단 참고.
- $$-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}$$는 회전계의 회전에 의해 물체가 갖는 힘이다. 정확히 밝히면, 보통 가로 힘으로 알려진 오일러 힘이다.
- $$-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}$$는 코리올리 힘이다. 자세한 것은 해당 문서 참조.
- $$ -m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right)$$이 바로 원심력이다. 각속도 벡터와 위치 벡터는 서로 수직한 관계에 있기 때문에 마지막 항의 크기가 $$mr \omega^{2}$$인 것에서도 추측해볼 수 있다. 자세한 것은 원심력 문서 참조.
2.3. 일반적인 상황
일반적으로 비관성계는 고정된 관성계에 대하여 병진 및 회전 운동 모두 할 수 있다. 이 경우는 윗 문단에서 $$ \displaystyle \left( {d \mathbf{R}}/{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=0$$으로 놓은 것을 수정하기만 하면 결과가 얻어진다. 비관성계가 고정된 관성계에 대하여 $$ \displaystyle \mathbf{V}$$의 속도로 병진운동하면,
$$ \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\mathbf{V} $$
$$ \mathbf{v_{f}}=\mathbf{V}+\mathbf{v_{r}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{f}}=m\mathbf{a_{r}}+m \ddot{\mathbf{R}}+2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}+m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+ m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}-m \ddot{\mathbf{R}}-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
3. 이용과 응용
비관성계의 대표적인 이용사례는 일반 상대성 이론이며, 지구의 상대 운동을 기술하기 위해 쓰이기도 한다. 또한, 강체 역학에서 강체와 같이 회전하는 강체 좌표계를 설정하여, 관성 텐서를 얻는 등 다양하게 쓰인다.
3.1. 지구 표면 위의 운동
[image]
자전 각속도 $$\boldsymbol{\omega}$$로 움직이는 지구를 생각하자. 이때, 문제를 간단히 하기 위해 지구는 완벽한 구형이라 가정하자. 그림과 같이 지구의 중심을 $$\textrm{O}$$라 하고, 이것을 원점으로 하여 고정된 관성계 $$x\mathbf{'}_{i}$$를 생각하자. 또한 지구의 한 표면을 $$\textrm{P}$$라 하고, 표면의 접하게 놓이고, 표면과 함께 자전하는 회전계 $$x\mathbf{}_{i}$$를 고려하자.
이때, 지구 표면에서 물체가 받는 힘은 위의 문단에서 구했듯,
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}-m \ddot{\mathbf{R}}-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
이때, $$\textrm{P}$$가 지구 표면 위에 있으므로 고정계를 기준으로 $$\textrm{P}$$의 위치는 변하지 않으며, 지구의 자전 각속도는 거의 시간에 대해 불변한다고 볼 수 있다. 따라서
$$ \displaystyle \frac{d \mathbf{R}}{dt}=0 \rightarrow \ddot{\mathbf{R}}=0, \,\, \dot{\boldsymbol{\omega}}\approx 0 $$
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=m\mathbf{a_{f}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) -2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} $$
여기서 지구가 회전하지 않을 때를 생각해보면, $$m\mathbf{a_{f}}$$는 중력과 임의의 다른 외력 $$\mathbf{F_{ext}}$$임을 쉽게 추측할 수 있다. 따라서
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{f}}=\mathbf{F_{ext}}+m\mathbf{g_{0}} $$
$$ \displaystyle m\mathbf{g} \equiv m\mathbf{g_{0}}- m\boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \right) $$
[image]
따라서 지구 표면에서 받는 힘은 아래로 정리된다.
$$ \displaystyle m\mathbf{a_{r}}=\mathbf{F_{ext}}+m\mathbf{g}-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}} $$
아래는 점 $$ \textrm{P} $$가 북반구에 있을 때를 나타낸 것이다.
[image]
이때, 코리올리 힘 $$-2m \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v_{r}}$$은 위와 같이 된다. 여기서 '''북반구에 있는 물체는 코리올리 힘을 운동 방향의 오른쪽으로 받는 것을 알 수 있으며, 북반구에서 물체는 이동 시 오른쪽으로 편향된다는 사실을 알 수 있다.''' 따라서 위 상황에서 물체는 점선과 같은 경로로 편향되게 된다.
다만, 그림은 다소 과장되게 그려진 것이고, 연직방향에 대해서 코리올리 효과는 매우 작기 때문에 무시해도 된다.
참고로, 남반구의 입장에서 각속도 벡터는 위 그림의 반대로 향하는 것으로 관측된다. 따라서 남반구에서 물체는 이동 방향의 왼쪽으로 편향되게 된다.
중요한 것은, 코리올리 힘은 물체가 회전계에 대해 운동을 해야 나타난다는 것에 주목할 필요가 있다. 즉, '''회전계에 대해 정지한 물체에게 코리올리 효과는 나타나지 않는다.'''
자세한 것은 코리올리 힘 문서를 참조한다.