푸코의 진자

1. 개요

---

'''푸코의 진자 모습'''

'''푸코의 진자(Foucault pendulum)'''는 지구의 자전을 증명하기 위해 고안해낸 실험 장치이다.
1851년 프랑스의 과학자 장 베르나르 레옹 푸코는 팡테옹의 돔 천장에 길이 $\textrm{67\,m}$의 실을 달고, 그 아래 $\textrm{28\,kg}$의 추를 메달아 커다란 단진자를 만들었다. 그는 이 진자를 흔들어 지구의 자전을 증명하였고, 이 업적으로 당시의 노벨상이라 할 수 있는 코플리상을 받았다.
진자에 작용하는 힘은 중력과 장력뿐이므로 진자는 일정한 방향으로 흔들리게 된다. 그러나 지구의 자전에 의해 바닥이 같이 움직이므로, 바닥에 서있는 우리 눈에는 진자가 시계방향으로 도는 것처럼 보이게 된다.[3] 그는 계산을 통해 파리의 위도에서는 32시간을 주기로 돌 것이라고 예상하였고, 그의 예상은 멋지게 들어맞았다.[4]
참고로 실험에 쓰였던 진자는 1855년에 파리 국립 과학 연구원으로 옮겨졌으나 결국 줄이 끊어져 파손되었고, 현재 팡테옹에 있는 것은 복제품이다.
구글에서는 2013년에 레옹 푸코 탄생 194주년을 기념하여 진자의 움직임을 모두 재현한 놀라운 애니메이션을 로고에 박아놓았다.# [5]

2. 역학적 분석[6][7]

---

지구의 좌표계[8]에 대하여 $\omega$로 자전하는 회전 좌표계(비관성계)에서 진자를 매달아 놓은 축을 $z$축으로 설정하자. 문제를 간단히 하기 위해 진자는 미소 변위로 진동하며, 진자를 매달아놓은 길이 $l$의 줄은 매우 가볍고, 길다고[9] 가정한다. 또한 진자의 평형점일 때의 위치를 원점으로 가정한다. 이때, 회전 좌표계에서 진자의 가속도는

$\displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathbf{T}}{m}+\mathbf{g}-2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}$

[1] 이 문단의 내용은 "Classical Dynamics of Particles and Systems(5th)" by. Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion을 참고하였다.

[2] 물리학과 2학년 고전역학 수준으로 기술되었다.

[3] 남반구에서는 시계 반대방향

[4] 극점에서는 지구의 자전과 같은 약 24시간(24시간은 해의 위치 기준 1회전이므로 여기서는 그보다 살짝 짧은 23시간 56분.)을 주기로 돌며, 적도에서는 돌지 않는다. 이것에 대한 증명은 아래에 있다.

[5] 단순한 그림이 아니라 위도와 시간을 설정할수 있다

[6] 이 문단의 내용은 "Classical Dynamics of Particles and Systems(5th)" ''by. Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion''을 참고하였다.

[7] 물리학과 2학년 고전역학 수준으로 기술되었다.

[8] 지구 중심이 원점인 고정된 관성계를 말한다.

[9] 실제 푸코 진자도 매우 높은 위치에 매달아 놓은 것을 알 수 있다.

주의해야 하는 것은 $\mathbf{a}$는 회전 좌표계에서 측정된 진자의 가속도라는 것이다. $\mathbf{g}$ 또한, 만유인력에 의한 중력 가속도 뿐만 아니라, 자전에 의해 생기는 원심력을 보정한 중력 가속도이다. 제 $3$항인 $-2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}$는 코리올리 힘에 의한 가속도이다. $\mathbf{T}$는 장력이다.[10]
$\mathbf{T}$에 대한 분력을 생각해보면, 진자가 미소 변위로 진동하기 때문에

$\displaystyle T_{x}=-\frac{x}{l}T,\,T_{y}=-\frac{y}{l}T,\,T_{z}\approx T$

[10] 비관성 좌표계 참고.

로 놓을 수 있고, 마찬가지 이유로 진자의 z축 속도 $\dot{z}\approx 0$[11]로 놓을 수 있다. 따라서 진자의 속력은

$\displaystyle \mathbf{v}\approx\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}}$

[11] $\dot{z} \Leftrightarrow \dfrac{{\rm d}z}{{\rm d}t}$이다. 좌변은 뉴턴식, 우변은 라이프니츠식 미분계수이다.

가 된다.
위도[12]가 $\lambda$인 곳에서 회전 좌표계에서 측정된 자전 각속도는 아래의 그림을 참고하면, 아래와 같음을 알 수 있다.

$\displaystyle \omega_{x}=-\omega\cos{\lambda},\,\omega_{y}=0,\,\omega_{z}=\omega\sin{\lambda}$

[12] 단 북반구로 생각한다.

이상에서 진자의 코리올리 힘에 의한 가속도는

$\displaystyle -2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}=2\omega_{z} \dot{y}\hat{\mathbf{x}}-2\omega_{z} \dot{x}\hat{\mathbf{y}}+2\omega \dot{y}\cos{\lambda}\hat{\mathbf{z}}$

가 된다.
진자의 진동면($xy$평면)만 생각해주게 되면, $a_{x}=\ddot{x}$, $a_{y}=\ddot{y}$이고, $T/ml \equiv \alpha^{2}$라 놓으면, 아래의 두 방정식이 나오게 된다.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \ddot{x}+\alpha^{2}x=2\omega_{z} \dot{y}\\ \displaystyle \ddot{y}+\alpha^{2}y=-2\omega_{z} \dot{x}\end{array}\right.$

위 식에서 두 번째 식에 $i$를 곱하고, 첫 번째식과 합하면,

$\displaystyle (\ddot{x}+i\ddot{y})+\alpha^{2}(x+iy)=2\omega_{z}(\dot{y}-i \dot{x})$

이것을 다시 쓰면,

$\displaystyle (\ddot{x}+i\ddot{y})+\alpha^{2}(x+iy)=-2i\omega_{z}(\dot{x}+i\dot{y})$

이때, $q \equiv x+iy$를 도입하면,

$\displaystyle \ddot{q}+2i\omega_{z}\dot{q}+\alpha^{2}q=0$

이 되고, 이 방정식의 해는 쉽게 나온다.

$\displaystyle q(t)=\exp{(-i \omega_{z}t)} [ A\exp( \sqrt{-\omega^{2}-\alpha^{2}} \, t)+B\exp ( - \sqrt{-\omega^{2}-\alpha^{2}} \, t ) ]$

이때, 지구가 만약 자전하지 않는다면, $\omega_{z}=0$이므로

$\displaystyle \ddot{q}'+\alpha^{2}q'=0$

이 되고[13], 이것은 진동 방정식이므로 $\alpha$는 진자의 진동수와 관계되는 인자임을 알 수 있다. 그런데 명백히 진자의 각진동수는 지구의 자전 각진동수보다 크므로 즉, $\alpha \gg \omega_{z}$이므로

$\displaystyle q(t) \approx \exp{(-i \omega_{z}t)} \left [ A\exp\left ( i \alpha t \right )+B\exp\left ( -i \alpha t \right ) \right ]$

[13] 참고로 프라임은 지구가 자전하지 않을 때의 좌표계를 구분하기 위해 붙인 것이다.

그런데 지구가 자전하지 않을 때의 방정식의 해는

$\displaystyle q'(t)= A\exp\left ( i \alpha t \right )+B\exp\left ( -i \alpha t \right )$

이상에서

$\displaystyle q\mathbf(t)= \exp{(-i \omega_{z}t)}\, q'(t)$

이 성립하고, $q(t) \equiv x(t)+iy(t)$, $q'(t) \equiv x'(t)+iy'(t)$, $\exp{(-i \omega_{z}t)}=\cos{\omega_{z}t}-i \sin{\omega_{z}t}$임을 이용하면,

$\displaystyle x(t)+iy(t)=\left ( \cos{\omega_{z}t}-i \sin{\omega_{z}}t \right )\left [ x'(t)+iy'(t) \right ]$

가 되고, 이것을 실수부와 허수부를 정리하여, 행렬로 나타내면,

$\displaystyle \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\omega_{z}t} &\sin{\omega_{z}t} \\ -\sin{\omega_{z}t} &\cos{\omega_{z}t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'(t) \\ y'(t)\end{bmatrix}$

가 된다.
위의 논의는 다음을 얻는다.

• 가운데 행렬은 자전의 반대 방향의 회전 변환을 나타내는 변환 행렬이므로 진자는 지구가 자전할 때, 진동면은 자전 방향의 반대로 회전한다는 사실을 알 수 있다. 그런데 이것은 실제로 관측되었고, 결국 지구는 자전한다는 사실을 실험으로 증명해낸 것이다.
• 단진자의 진동은 진동면의 회전과 무관하게 운동한다.(관성)
• 푸코진자의 진동수는 위도마다 다르며, 위도가 높아질 수록 $\omega_{z}$는 증가하므로 극점에서 관측할 때, 진동수가 최대로 진동면이 회전하고, 적도에서 관측하면, $\omega_{z}=0$임에 따라 진자의 진동면은 회전하지 않는다.

참고로, 미소 변위에 대해,

$\displaystyle \alpha^{2}=\frac{T}{ml} \approx \frac{mg}{ml}=\frac{g}{l}$

이다. 따라서 푸코진자의 각진동수는 거의 단진자와 근사적으로 동일함을 알 수 있다.

3. 관련 문서

---

• 진자
• 고전역학