오일러 방정식
1. 개요
오일러 방정식(Euler's Equation)은 레온하르트 오일러에 의해 만들어진 방정식이다. 변분법과 유체역학에서 지칭하는 오일러 방정식은 서로 다른 식이므로 유의.
2. 변분법에서의 오일러 방정식
변분법에서 범함수의 최소, 최대를 찾는 방법으로 개발된 방정식이다.
2.1. 정의
변수를 하나만 가지는 함수 $$y\left(x\right)$$와 그 도함수 $$y^\prime \left(x\right)$$를 변수로 가지는 어떤 범함수(functional) $$ J $$ 가 있다고 하자.
(여기서 세미콜론은, $$ f $$는 $$ y, y', x $$의 함수이고 또 $$ y, y' $$는 $$ x $$의 함수라는 뜻이다. 예를 들어 $$ J = \int_{x_1}^{x_2} { (y^2 + xy' + \sqrt{x})dx } $$ 같은 식이다.)
이러한 범함수의 극값(극대 또는 극소)를 주는 함수 $$ f $$가 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다.
이 미분방정식을 '''오일러 방정식'''이라고 한다.$$\displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial y } - \frac{ d }{ dx }\left( \frac{ \partial f }{ \partial y' } \right) = 0 $$
2.2. 유도
우선 일반적인 경우를 증명하기 전에 이해를 돕기 위해서 다음 예시를 먼저 살펴보자.
먼저, 두 점을 잇는 선을 어떤 현악기의 줄이라고 생각해 보자. 그 줄의 길이를 $$ L $$이라 하자.
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그 다음 줄을 손으로 1mm 정도 잡아당겨 보자. 그럼 아래 그림처럼 줄이 휘어질 것이다. (그림은 과장해서 그렸다)
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이렇게 휘어진 줄과 원래 직선과의 '''차이'''를 $$ \eta (x) $$라고 하자. (줄을 함수의 그래프처럼 생각하면 된다. x축이 바이올린의 줄과 평행한 좌표계에서 처음 상태를 $$ f(x) $$라고 하고 휘어진 그래프를 $$ g(x) $$라고 하면 $$ \eta (x) = g(x) -f(x) $$인 것이다.) 그런데, 줄의 끝은 고정되어 있다. 즉 차이가 없는 것이다. 따라서 $$ \eta (x_1) = \eta(x_2) = 0 $$이다. (줄의 끝의 좌표가 $$ x_1, x_2 $$이다)
그럼 여기서 줄을 더 잡아당겨서 5mm 정도 잡아당기면 어떻게 될까? 차이가 5배로 커질 것이다. 즉 차이는 $$ 5 \eta (x) $$가 된다.
마찬가지로, 2mm를 잡아당기면 차이는 대략 $$ 2 \eta (x) $$이고, 10mm를 잡아당기면 $$ 10 \eta (x) $$이고, 아니면 반대 방향으로 3mm를 잡아당기면 차이는 $$ -3 \eta (x) $$가 될 것이다. 즉 $$ \alpha $$ mm 잡아당기면 차이는 $$ \alpha \eta (x) $$가 된다.
이때, 줄을 함수의 그래프 $$ y = f(x) $$라고 생각해 보자. (이제부터 간단하게 $$ y(x) $$로 쓰자.) 먼저, 악기를 가만히 놔두면 당연히 줄은 직선(최단거리) 모양이 된다. 이것을 $$ y(0,x) $$라고 하자. 그리고 $$ \alpha $$ mm만큼 줄을 잡아당겼을 때의 모양을 아래 그림처럼 $$ y( \alpha, x)$$라고 하자.
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즉 줄을 5mm 잡아당긴 함수는 $$ y(5,x) $$이고, 반대쪽으로 3mm 잡아당기면 $$ y(-3,x) $$이다. 그런데 아까 줄을 $$ \alpha $$ mm 잡아당기면 '''원래 상태와의 차이'''는 $$ \alpha \eta (x) $$가 된다고 했다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
즉, 그래프 $$ y $$는 이제 $$ \alpha $$에 따라 변하는 함수가 된 것이다. 예를 들어, 줄을 튕겨서 진동시키는 것은 $$ \alpha $$를 진동시키는 것이라고 생각하면 된다. 그러면 당연히 줄의 길이 $$ L $$도 $$ \alpha $$에 대한 함수가 된다! 예를 들어, 원래 길이가 50cm였는데 줄을 잡아당기면 51cm가 될 수도 있는 것이다. 그러면 줄의 길이 $$ L $$를 잡아당긴 거리 $$ \alpha $$에 따라 그래프를 그릴 수 있다.
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그런데 줄이 가장 짧을 때는 언제일까? 당연히 하나도 안 잡아당겼을 때, 즉 $$ \alpha=0 $$일 때이다. 그리고 미적분을 배우면 알겠지만 $$ \alpha = 0 $$에서 줄의 길이가 극소가 된다는 것은 미분계수가 0이라는 것을 의미한다.
결국 위 식을 풀면 최단거리는 직선일 때임을 증명할 수 있다. 이제 계산을 해 보자.
두 점 사이의 곡선의 길이 공식은 다음과 같다.
이때 $$ f = \sqrt{1+{y'}^2} $$라고 하면 $$ L = \int_{x_1}^{x_2}{f dx} $$라고 쓸 수 있다. 적분의 위끝 아래끝이 상수이므로 적분 기호 안에서 미분해도 된다. 이것을 $$ \alpha $$로 미분하면
이 되는데, 그래프가 직선이라면 위 식은 0이 되어야 한다. 여기서 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 쓰면, $$ \displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial \alpha} = \frac{ \partial f }{ \partial y'} \frac{ \partial y' }{ \partial \alpha} $$이다. 이를 계산하면
한편, 위에서 $$ y(\alpha ,x)=y(0,x) + \alpha \eta (x) $$라는 관계식을 보자. 이를 $$ x $$로 미분해서 도함수를 구하면 $$ y'(\alpha ,x) = y'(0,x) + \alpha \eta ' (x) $$이다. 그런데 이것을 다시 $$ \alpha $$로 편미분하면 $$ \displaystyle \frac{ \partial y' }{ \partial \alpha } = \eta ' (x) $$이다. ($$ \alpha $$를 제외하고는 다 상수로 보고 미분한다.) 이를 대입하면
그런데 이 적분은 부분적분이 되는 꼴이다. $$ \eta ' (x) $$를 적분, $$ \frac{ y' }{ \sqrt {1+{y'}^2}} $$를 미분할 함수로 두면 된다. 이를 계산하면 다음 식을 얻는다.
그런데 아까 줄의 끝이 고정되어 있다고 했다. 즉 $$ \eta (x_1) = \eta (x_2) = 0 $$이므로, 첫 항은 사라진다. 그러면 뒤에 있는 적분이 남는다.
여기서 잘 생각해 보자. $$ \eta (x) $$는 잡아당긴 줄과 원래 줄의 차이었다. 그런데 줄을 한 손가락으로 당길 수도 있는 것이고, 두 손가락으로 당길 수도 있는 것이고, 활로 그을 수도 있고, 줄 맨 끝을 튕길 수도 있고, 정중앙에 손가락을 대고 튕겨서 하모닉스 소리를 낼 수도 있는 것이다. 이게 무슨 말이냐면, $$ \eta (x) $$가 도대체 어떻게 생겼는지 알 수가 없다는 것이다. 즉 어떤 모양의 $$ \eta (x) $$를 가져와도 무조건 저 식이 0이 되도록 해야 한다. 항등식의 성질을 생각해 보면, 그렇게 하려면 대괄호 안이 0이 되는 수밖에 없다는 것을 알아챌 수 있을 것이다.[1] 따라서
이어야 한다. 양변을 $$ x $$로 적분하면
이고, $$ C $$는 적분상수이다. 이를 $$ y' $$에 대하여 정리하면
따라서 기울기는 $$ a $$로 일정한 직선이다. 즉 $$ y = ax+b $$를 얻는다!
여기까지가 오일러 방정식을 유도하는 과정을 예로 들어 본 것이다. 이제 일반적인 범함수에서 오일러 방정식을 유도해 보자.
한 지점 $$ (x_1,y_1) $$에서 다른 지점 $$ (x_2,y_2) $$까지 적분으로 정의된 범함수 $$ J = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y(x), y'(x); x \right\} }dx $$를 생각해 보자. 우리의 목표는 이러한 $$ J $$가 극값(극대 또는 극소)가 되는 $$ y(x) $$를 찾는 것이고, 이때의 $$ y(x) $$를 $$ y(0,x) $$라고 하자. 그러면 가능한 모든 $$ y(x) $$를 아래 그림과 같이 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
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이때 $$ \eta (x) $$는 미분가능하고 $$ \eta (x_1) = \eta (x_2) = 0 $$을 만족하는 임의의 함수이고, $$ \alpha $$는 임의의 작은 실수이다. 위 식의 의미는 $$ y(x) $$가 정답으로부터 $$ \alpha \eta (x) $$만큼 살짝 벗어나 있다는 것이다. 이제 $$ J $$는 다음과 같이 $$ \alpha $$에 대한 함수가 되었다.
그런데 $$ \alpha = 0 $$를 대입하면 $$ y(\alpha ,x) $$는 $$ y(0,x) $$, 즉 극값이 된다. $$ \alpha = 0 $$에서 극값을 가진다는 것을 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
(위 식은 간단하게 $$ \delta J = 0 $$로 쓰기도 한다. 변분 참고)
이제 편미분을 계산해 보자. $$ J $$를 $$ \alpha $$로 편미분하면 다음과 같다.
그런데 적분 기호의 위끝과 아래끝은 상수이므로, 적분 기호 안에서 미분할 수 있다. 다변수 함수 $$ f $$에 연쇄 법칙을 이용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
그런데 $$ y(\alpha ,x)=y(0,x)+\alpha \eta (x) $$이고, 양변을 $$ x $$로 미분하면 $$ y' (\alpha ,x)=y'(0,x) + \alpha \eta ' (x) $$가 된다. 그리고 당연히 $$ \frac{\partial}{\partial \alpha} x = 0$$이다. $$ \alpha $$로 편미분하는 것은 $$ x $$를 상수 취급 하기 때문이다. 하지만 $$ y $$ 및 $$ y' $$는 $$ \alpha $$에 대한 함수라는 것에 주목하자.[2] 따라서 각 변수를 $$ \alpha $$로 편미분하면, 다음을 얻는다.
이를 위 식에 대입하면,
여기서 두 번째 항에 $$ \eta ' (x) $$를 적분, $$ \frac{ \partial f }{ \partial y' } $$를 미분할 함수로 두고 부분적분법을 적용하면 다음과 같다.
위에서$$ \eta \left( x \right) $$를 정의할 때 $$ \eta (x_1) = \eta (x_2) = 0 $$였으므로 가운데 항은 날아간다. 이제 $$ \eta (x) $$로 묶어서 정리하면
이 되고, 이것이 0이 되어야 한다. 그런데 이 식은 '''임의의''' $$ \eta (x) $$에 대하여 항상 0이 되어야 하므로, 결국 대괄호 안 전체가 0이 되는 방법밖에 없다. (사실 엄밀하게 이것은 변분법의 기본정리에 의한 것으로, 자세한 증명은 항목에 있다.) 따라서 다음의 오일러 방정식을 얻는다.
2.2.1. 예제
위에서 했던 평면에서 두 점 $$ (x_1,y_1) $$과 $$ (x_2,y_2) $$ 사이의 최단경로는 직선임을 증명해 보자.
두 점 사이를 잇는 곡선의 길이 공식은 다음과 같다.
이때 $$ f = \sqrt{1+{y'}^2} $$이고, 목표는 $$ L $$를 최소화시키는 것이다.
오일러 방정식 $$ \frac{ \partial f }{ \partial y } - \frac{ d }{ dx }\left( \frac{ \partial f }{ \partial y' } \right) = 0 $$에 $$ f = \sqrt{1+{y'}^2} $$를 대입하면 바로 풀린다. 여기서 $$ f $$는 $$ y' $$만의 함수이므로 당연히 $$ \frac{ \partial f }{ \partial y } = 0 $$이고, 오른쪽 항만 계산하면
이다. 여기서부터는 위랑 똑같이 하면 된다. 미분 안은 상수이고, 따라서 $$ y' $$는 상수이다. 기울기가 상수인 함수는 직선이다.
2.3. 벨트라미 항등식
오일러 방정식을 풀 때, 위의 예제처럼 $$ f $$가 $$ y', x $$만의 함수이고, $$ y $$와는 독립일 경우 첫째 항 $$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} $$가 사라지기 때문에 풀기 쉽다. 한편, $$ f $$가 $$ y, y'$$만의 함수이고 $$ x $$는 들어가지 않을 때, 즉 $$ f(y,y') $$일 때도 쉽게 변형해서 푸는 방법이 있는데, 이를 벨트라미 항등식(Beltrami identity)라고 한다. $$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0 $$일 때, 오일러 방정식은 다음 방정식과 동치이다.
참고로, 좌변은 $$ f $$를 $$ y' $$에 대해 르장드르 변환한 것이다.$$ \displaystyle f - y' \frac{\partial f}{\partial y' } = \mathsf{constant}$$
(벨트라미 항등식)
[ 증명 보기 · 숨기기 ]
참고로 이 식의 $$f$$에다가 라그랑지언 $$\mathscr L$$을 대입하면 이는 해밀토니언 $$\mathcal H$$의 정의가 된다! 따라서 이는 해밀토니언이 보존된다는 결과를 의미한다.
2.3.1. 예제
$$ (x_1,y_1) $$과 $$ (x_2,y_2) $$를 이은 곡선을 $$ x $$축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이가 최소가 되는 경로를 찾아보자. 회전체의 겉넓이 $$ S = \int_{x_1}^{x_2}{2 \pi y \sqrt{1 + {y'}^2} dx} $$이다. 그런데 적분변수를 $$ dy $$로 치환하면
이다. 따라서 오일러 방정식에 대입하면
이다. 양변을 $$ y $$로 적분하면
이고, $$ a $$는 적분상수이다. 이를 $$ x' $$에 대해서 풀면
이다. 양변을 $$ y $$로 적분하면($$ y = a \sinh \theta $$로 치환해 보자)
이고, $$ b $$는 적분상수이다. 따라서 곡선의 모양은
꼴이다. (이것은 현수선의 방정식이다. 현수선 문서와 비교해 보자)
2.4. 응용
물리적으로는 라그랑주 역학의 핵심인 최소작용의 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 대표적으로 $$x$$가 시간, $$y$$가 거리, $$f$$가 라그랑지언이라고 하면 라그랑지안 역학의 기본꼴이 되며, 에너지의 표현식을 알면 힘의 작용점 분석 없이도 운동방정식을 얻을 수 있다.
3. 유체역학에서의 오일러 방정식
유체역학에서 비점성 유체, 즉 전단응력(shearing stress)이 0인 유체의 운동량의 변화를 묘사하는 미분 방정식이다.
3.1. 유도 1
밀도가 $$\displaystyle \rho$$인 유체가 중력장 $$\displaystyle \mathbf{g}$$ 내에서 유체 사이의 압력이 $$\displaystyle P$$로 주어진 상황을 생각해보자. 어떤 폐곡면 $$\mathbf{S}$$로 둘러싸인 영역 $$\mathbf{V}$$ 내에 있는 유체가 갖는 운동량의 변화는
와 같은 방정식으로 표현된다.
여기서 좌변은 영역 $$\mathbf{V}$$ 내에 있는 유체의 단위 시간당 운동량의 변화량을 뜻하고 우변의 첫째항, 둘째항, 셋째항은 각각 단위 시간당 경계면 $$\mathbf{S}$$를 통해 유입되는 유체가 갖는 운동량, 압력에 의해 영역 $$\mathbf{V}$$ 내의 유체가 받는 힘, 영역 $$\mathbf{V}$$ 내에 있는 유체가 받는 중력을 의미한다.
위 방정식에 발산 정리를 적용하면
와 같이 정리된다.
이 방정식의 우변의 첫째항을 이항하여 정리하면 다음과 같이 오일러 방정식(Euler equation)이 유도된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)
여기서 $$\displaystyle\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla)=\frac{\partial}{\partial t}+u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$$는 물질 도함수(material derivative)라 불린다.
homentropic process(단위 질량당 엔트로피가 공간에 걸쳐 균일)을 가정하면 $$w$$를 단위 질량당 엔탈피(enthalpy)라 할 때 열역학에 따르면 $$\displaystyle \frac{dP}{\rho} = dw$$라 표현할 수 있는 것이 알려져 있다. 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
한편, 이 식이 다루는 대상이 '비점성'이라고 했는데, 이제 여기 좌변에다가 점성항 $$- \nu \nabla^2 \mathbf{u}$$를 얹어주면 바로 나비에-스톡스 방정식이 된다.
3.2. 유도 2
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길이, 너비, 높이가 각각 $$\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z$$인 유체의 미소부피를 고려해보자. 점성과 외력이 없다면 이 미소부피가 가속하는 이유는 각 면들에 가해지는 압력들의 차이 때문이다. 예를들어, $$x$$방향으로 작용하는 압력 차이는 $$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} \text{d}x$$이다.
힘 = 압력 x 면적이므로 이 압력 차이 때문에 나타나는 힘은 $$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\frac{\partial P}{\partial x} \text{d}V$$이다.
이게 양수라면 이 미소부피는 음의 $$x$$방향으로 가속하므로 $$\displaystyle \text{d}F_x = -\frac{\partial P}{\partial x} \text{d}V$$가 성립한다.
이제 뉴턴의 제 2법칙을 적용하자. $$\displaystyle \textbf{F} =m \textbf{a} \Rightarrow -\nabla P \, \text{d}V=\text{d}m \, \textbf{a}=\rho \, \text{d}V \textbf{a} \Rightarrow -\nabla P=\rho \, \textbf{a}\Rightarrow -\nabla P=\rho \, \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}$$.
여기서 $$\displaystyle \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}$$는 "material derivative" 또는 "total derivative"라고 하는 항이다 ($$\displaystyle \textbf{u}$$는 유체의 속도를 나타내는, $$\displaystyle x,y,z,t$$의 벡터함수다.).
$$\displaystyle \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x} \, \frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial y} \, \frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial z} \, \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\frac{\partial}{\partial x} \, u_x+\frac{\partial}{\partial y} \, u_y+\frac{\partial}{\partial z} \, u_z)\textbf{u}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u}$$
이제 양쪽을 $$\displaystyle \rho$$로 나누고 중력 같은 외력에 의한 가속도 $$\displaystyle \textbf{g}$$를 더해주면 된다. $$\displaystyle \frac{\nabla P}{\rho}=\nabla w$$를 사용하면 익숙한 오일러 방정식 완성.
보너스로, 점성을 고려하고 싶다면 우항에 $$\nu \nabla^2 \textbf{u}$$를 더해줘야 한다. $$\nabla^2$$은 라플라시안 연산자며, $$\nu$$는 뉴턴의 점성법칙에 나오는 점성상수[4].
점성으로 인한 가속도가 왜 $$\nu \nabla^2 \textbf{u}$$일까? 라플라시안 항목에서도 서술되어 있듯이, 여기서 $$\nabla^2 \textbf{u}$$의 물리적 의미는 어떤 미소부피의 속도와 이 미소부피 근방의 평균적인 유체 속도의 차이다. 이 속도 차이가 클수록 이 미소부피는 점성에 의해 받는 힘이 늘어나며, 이 미소부피의 속도가 주위 유체들로 (또는 주위 유체의 속도가 미소부피로) '전달'된다[5].
이렇게 $$\nu \nabla^2 \textbf{u}$$를 우변에 더해주고 좌변으로 옮기면 나오는게 그 유명한 (비압축성) 나비에-스토크스 방정식. 더 자세한 정보는 나비에-스토크스 방정식 문서에.
3.3. 의미
뉴턴법칙 중 제2법칙을 유체의 운동에 적용한 것에 지나지 않는다.
이 방정식은 '''(위치에 따른) 압력의 차이와 유체에 가해지는 중력이 유체의 운동량의 (시간에 따른) 변화를 유도'''함을 표현한다.
3.4. 운동량에 대한 연속 방정식
오일러 방정식을 텐서를 이용하여 정리한 방정식이다. 여기서 $$ \displaystyle \mathbf{\Pi} $$는 운동량 선속 텐서(momentum flux tensor)라 불리는 2차 텐서이다.
3.4.1. 유도
오일러 방정식에서
$$\displaystyle \rho \left [ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left ( \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} \right ] = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) - \mathbf{u} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \left ( \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) + \mathbf{u} \left [ \nabla \cdot \left ( \rho \mathbf{u} \right ) \right ] + \left ( \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) + \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot \left ( \rho u_{i} \mathbf{u} \right ) $$
$$\displaystyle \nabla P = \mathbf{e}_{i} \frac{\partial P}{\partial x_{i}} = \mathbf{e}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}(P \delta_{ij}) = \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot\left [ \mathbf{e}_{j}(P \delta_{ij}) \right ] $$
라 할 수 있으므로 이를 대입하여 정리하면 다음과 같이 정리된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)
$$\displaystyle \Pi_{ij} \equiv P \delta_{ij} + \rho u_{i} u_{j} $$라 정의하면
과 같이 운동량에 대한 연속 방정식을 얻는다.
4. 관련 문서
[1] 이것의 엄밀한 증명은 변분법의 기본정리를 참고하라.[2] 이것은 상당히 중요한 사실이다. 지금 $$ \alpha $$의 변화를 보고 있는데, $$ x $$는 $$ \alpha $$와 독립이고 $$ y, y' $$만 $$ \alpha $$의 함수이다. 이것은 극값을 따질 때 $$ y,y' $$의 변화만 보겠다는 것이다. 이를 통해 라그랑주 역학에서 액션이 시간의 변화와 관계 없다는 사실을 알 수 있다.[3] 표기법은 나비에-스톡스 방정식 항목의 식과 동일하다[4] 점성이 일정한 유체를 '뉴턴 유체'라고 부른다. 비뉴턴 유체에는 이 형태의 나비에 스톡스 방정식이 안 먹힌다.[5] 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐르는 열 전달과 매우 비슷하다. 사실 열 방정식도 라플라시안으로 서술된다. 여기선 이 점성항을 직관적이게 설명했는데, 좀 더 수학적으로 엄밀하게 구하려면 텐서 개념이 필요하다.