돌림힘
1. 개요
torque
'''토크''' 또는 '''돌림힘'''은 물체가 회전운동을 할 때 나타나는 회전의 경향의 척도, 물체를 회전시키기 위해 가한 힘의 작용을 나타내는 척도이다.
힘(force)이 선형 운동학에서 물체의 가속을 유발하는 벡터량이듯, 토크는 물체의 회전축을 중심으로 하는 회전 가속을 유발하는 벡터량이다.
돌림힘이란 명칭 때문에 힘(force)이라고 종종 오해받지만, '''돌림힘은 힘이 아니라 모멘트(moment)다.''' 힘은 물체를 변위(displacement)시키는 작용인데 돌림힘은 변위를 일으키지 않는다는 것을 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 예를 들어 렌치로 나사를 돌리는 경우 나사는 제자리에서 회전할 뿐 어느 방향으로도 이동(변위)하지 않는다.
주로 쓰는 기호는 [math( \boldsymbol{\tau} )]이고, SI 단위는 $$\rm{N \cdot m}$$(뉴턴 미터)[1] 또는 $$\rm{J/rad}$$이다.[2]
2. 용어
한국어로 돌림힘이라고 표현하는 교재가 많고, 토크라고 쓰기도 한다. '토크'라고 하면 직관적으로 느낌이 다가오지 않을까봐 '돌림힘'이라는 용어로 적절히 번역해서 쓰는 듯하다. 하지만 원래 '''돌림힘은 '힘'이 아니다.''' [3] 위에서 언급했듯 단위부터 다르다. 비틀림 모멘트가 번역 중에선 가장 정확한 말이지만 문제는 모멘트[4] 역시 번역하기 힘든 단어란 것. 사실 그렇게 파고들면 압력, 응력, 기전력, 표면장력 등도 당장 뜯어고쳐야 한다[5][6]
3. 정의
토크의 공식은 다음과 같다.
$$\displaystyle \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r} \times \mathbf{F} $$
[1] 보통 \rm{J=N \cdot m}라고 알려져 있지만 이는 힘과 변위가 나란할 때만 성립하며(당장 일의 크기를 구하는 공식도 $$Fs cos\theta$$다.), 돌림힘은 힘과 변위가 수직이므로 $$\rm{J}$$을 써선 안 된다.[2] $$\rm{kgf \cdot m}$$(킬로그램중 미터)를 사용하는 경우도 많다. 지구상에서 $$\rm{1\,kgf \cdot m=9.8\,N\cdot m}$$이다.[3] 사실 라그랑주 역학 관점에서 엄연히 힘이 맞다. 애초에 벡터량을 사용하지 않기 때문.[4] 굳이 번역어를 찾아본다면 '경향성' 혹은 '됨됨'과 의미가 가깝다.[5] 전부 다 힘이 아니다. 그나마 압력은 힘과 관련이 없진 않는데, 기전력은 힘이 아니라 퍼텐셜 에너지와 관련이 있는 값이다.[6] 교육과정 내의 외래어를 한국어로 번역하는 과정에서 '억지로 끼워맞춘다'는 의견은 늘 있어왔다.
분류
예를 들어 설명하면 다음과 같다. 시소 위에서 상대방과 내가 평형을 이루고 있을때, 내가 중심 쪽으로 가까이 가면, 중력은 일정하나, $$r$$이 감소하기때문에, 토크가 감소한다. 상대방의 토크는 일정하므로, '''내가 시소에 작용하는 토크 < 상대방이 시소에 작용하는 토크'''이기때문에 상대방쪽으로 기울어진다. 같은 원리로 내가 중심에서 멀어지면 $$r$$이 커지기 때문에 내가 작용하는 토크가 커져서, '''내가 시소에 작용하는 토크 > 상대방이 시소에 작용하는 토크'''이므로 내 쪽으로 기울어지게 된다.
3.1. 공식의 유도 과정
물체를 회전시키는 데에 관련한 물리량이라는 점에 의거하여 위의 식을 유도할 수 있다. 문제를 간단히하기 위해서 아래의 그림과 같이 질점이 $$xy$$평면 위에서 원점 $$\rm O$$를 회전축으로 하여 회전하는데, 힘 $$\mathbf{F}$$를 가하여 $${\rm A \to B}$$으로 이동했다고 해보자.
[image]
이는 힘 $$\bf F$$가 질점을 이동시키기 위해, 질점에 대해 일을 해야한다는 의미이다. 해당 힘이 한 일은
이고, $$\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(\theta+\Delta \theta)-\mathbf{r}(\theta)$$이므로
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{r}(\theta+\Delta \theta)&=r\cos( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{x}} + r\sin( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{y}} \\ \mathbf{r}(\theta)&=r\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + r\sin \theta \hat{\bf{y}} \end{aligned} $$
분류
$$\displaystyle \begin{aligned} \Delta \mathbf{r}&=r(\cos \theta \cos \Delta \theta - \sin \theta \sin \Delta \theta - \cos \theta ) \hat{\bf{x}} \\ & \qquad \qquad + r( \sin \theta \cos \Delta \theta +\cos \theta \sin \Delta \theta -\sin \theta) \hat{\bf{y}} \end{aligned} $$
분류
$$\displaystyle \begin{aligned} \Delta \mathbf{r}&=-r\sin \theta \Delta \theta \hat{\bf{x}} + r\cos \theta \Delta \theta \hat{\bf{y}} \\ &=(-r_y \hat{\bf{x}}+r_x \hat{\bf{y}}) \Delta \theta \end{aligned} $$
분류
이다. 괄호 안의 식을 잘 보자. $$ (r_x F_y - r_y F_x) $$는 결국 돌림힘의 식 $$ \mathbf{r} \times \bf{F} $$의 크기임을 알 수 있다.
여담으로, 원래 처음에 구하려고 한 값인 힘 $$\bf F$$가 질점에 대해 해 준 일 $$ W $$는 $$ \Delta W $$를 $$ \theta $$에 대해 적분하여
가 되어, 결국 병진운동에서의 물리량을 회전운동에서의 물리량으로 대체하여 유도하는 방법[7]과 같은 결과를 얻는다.
4. 실생활과 돌림힘
돌림힘은 우리 실생활에서는 엔진, 특히 내연기관과 관련해 자주 접하게 되는 개념이다. 대부분의 엔진은 회전축을 돌림으로써 작동하는 방식이라, 자연히 회전축을 돌리는 돌림힘으로 그 출력을 표현하게 되기 때문이다. 돌림힘 외에도 그 엔진이 할 수 있는 일률인 마력으로도 엔진의 출력을 표현하기도 하는데, 엔진의 돌림힘과 마력을 환산하는 공식은 다음과 같다.
위 공식을 보면, 돌림힘이 같다면 $$\rm{RPM}$$이 높을수록 마력이 상승함을 알 수 있다. 때문에 높은 $$\rm{RPM}$$에서 최적의 돌림힘을 발휘하도록 설계된 엔진들은, 낮은 $$\rm{RPM}$$에서 최적의 돌림힘을 발휘하도록 설계된 엔진보다 대개 마력이 높다. 전자의 경우는 고속 스포츠카나 경주용 오토바이에 탑재되기에 적합한 엔진이며, 후자의 경우는 화물차나 버스, 크루저 오토바이(무겁고 느린[9] 장거리 여행용 오토바이)에 탑재되기에 적합한 엔진이다.
자동차나 오토바이의 파워플랜트에 들어가는 엔진은 대개 내연기관이며, 내연기관은 복잡한 이유로 인해[10] 모든 회전수에서 동일한 돌림힘을 발휘하지 못한다. 내연기관은 2행정이건 4행정이건 간에 특정한 회전수 대역에서 최적의 돌림힘이 나오는 특성을 가지며, 때문에 기어박스(변속장치)라는 복잡한 장치를 이용해 다양한 속도(회전수가 아니라 차량의 주행 속도) 범위에서 최적의 돌림힘을 낼 수 있도록 안배한다.
반면 전기 모터의 경우 흡기·배기용 밸브가 없기 때문에, 내연기관과 달리 매우 넓은 회전수 대역에서 일정한 돌림힘을 낼 수 있다. 때문에 전기 모터는 대개 변속용 기어박스를 갖지 않으며 그냥 모터 자체의 $$\rm{RPM}$$이 차륜의 회전수에 정비례하는 방식이 많다.
돌림힘은 또한 렌치로 나사를 조이는 힘의 강도를 표시하는데도 사용된다. 대부분의 나사는 적절한 수준으로 조여둬야 하며, 조이는 힘을 돌림힘으로 표시함으로써 나사가 적절히 조여지도록 할 수 있다. 너무 느슨히 조인 나사는 기계 작동 중에 풀어질 수 있으며, 나사를 너무 꽉 조일 경우 나사나 기계가 파손될 수 있기 때문이다. 특히 비철금속 기계(탄소섬유 등)의 경우 정격 돌림힘을 반드시 준수해야 한다.
이를 위해 정격 돌림힘을 지정해줄 수 있는 돌림힘 렌치(토크 렌치)란 공구가 존재하며, 돌림힘 렌치는 정해진 돌림힘보다 센 돌림힘이 가해지면 드르륵 소리를 내며 헛돌아 무리한 돌림힘이 나사에 전달되는 것을 막는다.
5. 돌림힘과 일(에너지)는 같은가?
돌림힘을 나타낼 때 일반적으로 사용되는 단위인 뉴턴미터($$\rm{N\cdot m}$$)는, 공교롭게도 일(work)을 나타내는 단위인 뉴턴미터와 똑같이 생겼다. 때문에 돌림힘이 뭔지 이해하지 않고 단위만 보면 마치 돌림힘이 일(에너지)의 개념이라 착각할 수도 있다.
SI 단위계에서는 돌림힘의 표준 단위는 뉴턴미터($$\rm{N\cdot m}$$), 일의 표준 단위는 줄($$\rm{J}$$)로 정함으로써 이런 오해를 가급적 줄이려고 노력했지만, $$\rm{1\,J=1\,N \times 1\,m}$$, 즉 $$\rm{1\,J=1\,N \cdot m}$$이기 때문에 혼동의 여지는 존재한다.
하나 일에서의 $$\rm{N\cdot m}$$는 힘(force)과 변위(displacement)를 곱한 것으로, 물체를 얼마만큼의 힘으로 얼마만큼 움직였는지를 나타내는 것인 반면, 돌림힘의 $$\rm{N\cdot m}$$는 힘과 지렛대의 길이를 곱한 것이라 일과는 전혀 다르다. 갑자기 지렛대란 용어가 튀어나왔는데, 돌림힘은 지렛대와 밀접한 관계가 있는 물리량으로 지렛대에 대해 자세히 알면 돌림힘에 대해 확실히 이해할 수 있다. 애당초 돌림힘 개념을 최초로 정리한 아르키메데스가 돌림힘이란 개념을 만들어낸 이유가 바로 지렛대 때문이었다.
지렛대(lever)는 바퀴(wheel)와 더불어 인간이 최초로 만들어낸 기계 중 하나로, 힘을 증폭하는 기능이 있어 지렛대를 이용해 인간의 힘만으로도 거대한 바위를 움직이는 것이 가능했다. 힘의 증폭률은 지렛대의 길이가 길수록, 정확히 말하자면 받침점(fulcrum, 지렛대를 지지하는 점)에서 힘점(effort, 사람이 지렛대에 힘을 가하는 점)까지의 거리가 멀수록 높아지며, 반대로 받침점에서 작용점(load, 움직이려는 질량이 위치하는 점)까지의 거리가 멀수록 낮아진다. 때문에 이상적인 지렛대는 받침점과 작용점의 거리는 0이고, 받침점과 힘점은 가능한 한 멀리 떨어진 지렛대이다(받침점과 작용점간의 거리가 0인 지렛대는 예를 들어 렌치가 있다).
아르키메데스는 이상적인 지렛대의 힘점에 가해지는 힘과 지렛대 길이를 곱하면 작용점에 전달되는 우력을 계산할 수 있음을 발견, 이를 수학 공식으로 정리하였는데, 이것이 바로 돌림힘이다. 예를 들어 받침점에서 힘점까지의 거리가 $$\rm{1\, m}$$인 지렛대로 $$\rm{10\, N}$$의 힘을 가했을 때와, 거리가 $$\rm{10\, m}$$인 지렛대에 $$\rm{1\, N}$$의 힘을 가했을 때 작용점에 전달되는 우력은 서로 같으며, 짧은 지렛대의 경우 $$\rm{1\,m \times 10\,N=10\,N \cdot m}$$, 긴 지렛대의 경우 $$\rm{10\,m \times 1\,N=10\,N \cdot m}$$로 동일하다. 이 “$$\rm{10\,N\cdot m}$$”가 바로 이 예에서의 돌림힘이다. 보다시피 여기서 미터는 물체의 변위(이동거리)를 지칭하는 것이 아니라 지렛대의 길이를 나타내는 것이며, 돌림힘과 일은 그 단위는 $$\rm{N\cdot m}$$ 같지만 이는 우연의 일치일 뿐이며 돌림힘이 일이나 에너지의 개념이 아님을 이해할 수 있을 것이다.
참고로, 위에서 돌림힘을 우력(couple)으로 지칭하였는데, 우력이란 크기가 같은 두 힘이 서로 다른 방향으로 작용할 때 발생하는 모멘트를 나타낸다. 돌림힘은 대표적인 우력으로, 본 문서의 윗부분에서 돌림힘이 힘이 아니라고 계속 강조하는 이유가 바로 우력과 힘이 서로 같은 개념이 아님을 지적하는 것이다. 돌림힘같은 순수한 모멘트는 물체의 움직임(변위)을 유발하는 것이 아니라 회전(rotation)만을 발생시킨다. 이에 관한 자세한 내용은 본 문서 윗부분의 공식을 참조하자.
여담으로, 렌치는 나사를 비틀어 조이거나 느슨하게 만드는 도구이며, 이 “비튼다”는 표현으로부터 토크(torque, 돌림힘)란 용어가 나왔다.[11]
[9] 오토바이 치고는 느리다는 의미이다. 크루저 역시 시속 $$\rm{150\,km}$$ 정도는 낼 수 있다. 오토바이에서 “빠르다”는 것은 시속 $$\rm{200\,km}$$ 이상을 얘기한다.[10] 단순하게 설명하자면, 내연기관은 공기를 실린더 안으로 들여보내고 실린더 안의 연소기체를 밖으로 내보내는 흡기, 배기 밸브가 달려있는데, 이 밸브가 여닫히는 속도가 일정한 범위로 정해져있기 때문에 그보다 더 느리거나 더 빠르게 엔진이 작동할 경우 돌림힘이 크게 저하하기 때문이다.[11] 라틴어의 torquere(비틀다, 돌리다)에서 유래.