라게르 함수

1. 개요

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'''라게르 함수(Laguerre function)''' 혹은 '''라게르 다항식(Laguerre polynomial)'''은 아래의 라게르의 미분 방정식

$$\displaystyle x \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(1-x)\frac{dy}{dx}+ny=0 \quad (n \geq 0,\, n \in \mathbb{N}) $$

을 만족하는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 라게르(Edmond Laguerre; 1834 - 1886)의 이름이 붙여졌다.

2. 상세

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위 미분 방정식은 $$x=0$$에서 정칙 특이점을 갖기 때문에 프로베니우스의 해법을 적용한다. 해의 꼴을 다음과 같다고 가정하자.

$$\displaystyle y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} $$

이것을 해당 방정식에 대입하면,

$$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r-1}+ \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_{m}x^{m+r-1}- \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_{m}x^{m+r}+n\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r}=0 $$

최저차항의 계수를 맞추면,

$$\displaystyle a_{m}[r(r-1)+r]=0 $$

위 식이 일반적으로 성립하려면 $$r(r-1)+r=0$$이고, 이 방정식의 근은 $$r=0$$으로 중근을 갖는다. 이 결과를 위 방정식에 대입하면,

$$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} m(m-1)a_{m}x^{m-1}+ \sum_{m=1}^{\infty} ma_{m}x^{m-1}- \sum_{m=0}^{\infty} ma_{m}x^{m}+n\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}=0 $$

이고, 이것을 다시 쓰면,

$$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} m(m+1)a_{m+1}x^{m}+ \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1}x^{m}- \sum_{m=0}^{\infty} ma_{m}x^{m}+n\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}=0 $$

이상에서 계수에 대한 점화식으로

$$\displaystyle a_{m+1}=- \frac{n-m}{(m+1)^{2}}a_{m} $$

따라서

$$\displaystyle a_{m}=\frac{(-1)^{m} n!}{(m!)^{2} (n-k)!}a_{0} $$

이때,

$$\displaystyle \binom{n}{m} \equiv \frac{n!}{m! (n-m)!} $$

으로, 조합의 정의임을 상기하고, $$a_{0}=1$$로 놓으면,

$$\displaystyle a_{m}=(-1)^{m}\binom{n}{m} \frac{1}{m!} $$

로 쓸 수있음에 따라 방정식의 한 해는

$$\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\binom{n}{m} \frac{x^{m}}{m!} $$

$$n$$이 0을 포함한 자연수임을 고려한다면, 위 해는 $$n$$의 값에 따라 다항함수 형태를 띠는데, 그 다항함수을 '''라게르 함수'''라 하고, $$L_{n}(x) $$로 표기한다.
이 해가 물리적으로 의미가 있는 것은 다항식인 해이기 때문에 제 2의 해를 구하는 과정은 생략한다.

3. 분석

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3.1. 종류

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다음은 몇몇 라게르 함수를 나타낸 것이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
L_{0}(x)&=1 \\
L_{1}(x)&=-x+1 \\
L_{2}(x)&=\frac{1}{2} (x^2-4x+2) \\
L_{3}(x)&=\frac{1}{6} (-x^3+9x^2-18x+6) \\
L_{4}(x)&=\frac{1}{24} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \\
L_{5}(x)&=\frac{1}{120} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \\
L_{6}(x)&=\frac{1}{720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \\
L_{7}(x)&=\frac{1}{5040} (-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040) \\
L_{8}(x)&=\frac{1}{40320} (x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320) \\
\end{aligned} )]

3.2. 그래프

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아래는 구간 $$[0, \,10] $$에서 몇몇 라게르 함수의 그래프를 나타낸 것이다.

$$L_{n}(0)=1$$인 특징이 있다.[1]

3.3. 생성 함수

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라게르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.

$$\displaystyle \frac{1}{1-t} \exp{\left( -\frac{xt}{1-t} \right)}=\sum_{n=0}^{\infty} L_{n}(x) t^{n} $$

[1] 정의식에서 유도할 수 있다.

여기서 $$\exp{x}=e^{x}$$이다.

3.4. 로드리게스 공식

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라게르 함수는

$$\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) $$

의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 라게르 함수에 대한 '''로드게리스 공식(Rodrigues' formula)'''라 한다.
이것을 증명하기 위해 다음과 같은 함수를 고려한다.

$$\displaystyle y=x^{n}e^{-x} $$

양변을 미분하면

$$\displaystyle xy'-(n-x)y=0 $$

이것을 한 번 더 미분하면,

$$\displaystyle xy''+(1-n+x)y'+y=0 $$

이 된다. 이것을 $$n$$번 미분하면,

$$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+2)}+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1-n+x)^{(k)}y^{(n-k+1)}+y^{(n)}=0 $$

으로 쓸 수 있으며, $$f^{(k)}=d^{k}f/dx^{k}$$이다. 이것을 다시 쓰면,

$$\displaystyle xy^{(n+2)}+ny^{(n+1)}+(1-n+x)y^{(n+1)}+ny^{(n)}-y^{(n)}=0 $$

의 형태로 정리할 수 있다. $$y^{(n)} \equiv u$$라 하면,

$$\displaystyle x \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+(1+x) \frac{du}{dx}+(n-1)y=0 $$

이때, $$u(x) = e^{-x} f(x)$$를 생각하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{du}{dx}&=e^{-x} \left[ \frac{df}{dx}-f \right] \\ \frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=e^{-x} \left[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2\frac{df}{dx}+f \right] \end{aligned} $$

이것을 위 결과에 대입하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} x \left[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2\frac{df}{dx}+f \right]+(1+x) \left[ \frac{df}{dx}-f \right]+(n-1)f&=0 \\ x \frac{d^{2}f}{dx^{2}}+(1-x)\frac{df}{dx}+nf&=0 \end{aligned}$$

이것은 명백한 라게르의 미분 방정식이다. 따라서

$$\displaystyle L_{n}(x)=Ce^{x}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) $$

임을 얻을 수 있다. 여기서 $$C$$는 상수이다. 그런데 $$L_{n}(0)=1$$임을 고려하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} 1&=\biggl. Ce^{0} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^{n})^{(k)}(e^{-x})^{(n-k)} \biggr|_{x=0} \\ &=C n! e^{-0} \\&=n! C \end{aligned} $$

이상에서 $$C=(n!)^{-1}$$을 얻으므로 라게르 함수는

$$\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n}e^{-x}) $$

으로 쓸 수 있음을 얻는다.

3.5. 재귀 관계

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라게르 함수는 다음과 같은 재귀 관계가 있다.

1. $$\displaystyle \frac{dL_{n+1}(x)}{dx}-\frac{dL_{n}(x)}{dx}+L_{n}(x)=0$$
2. $$\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0 $$
3. $$\displaystyle x\frac{dL_{n}(x)}{dx}-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0 $$

3.6. 직교성

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라게르 함수는 가중 함수 $$e^{-x}$$에 대하여 구간 [math([0,\, \infty))]에서 다음과 같은 직교성을 가진다.

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\,dx=\delta_{nm} $$

여기서 $$\delta_{nm}$$은 크로네커 델타이다.
$$n \neq m$$일 때를 증명하기 위해 $$L_{n}(x)$$와 $$L_{m}(x)$$가 만족시키는 방정식에 각각 $$e^{-x}L_{m}(x)$$, $$e^{-x}L_{n}(x)$$을 각각 곱하여 빼자.

$$\displaystyle \begin{aligned} e^{-x}L_{m}(x)\left[ x \frac{d^{2}L_{n}(x)}{dx^{2}}+(1-x)\frac{dL_{n}(x)}{dx} \right]- e^{-x}L_{n}(x)\left[ x \frac{d^{2}L_{m}(x)}{dx^{2}}+(1-x)\frac{dL_{m}(x)}{dx} \right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 \\ \frac{d}{dx}\left[ xe^{-x} \left( \frac{dL_{n}(x)}{dx}L_{m}(x)-L_{n}(x)\frac{dL_{m}(x)}{dx} \right) \right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 \end{aligned} $$

이것을 [math([0,\, \infty))]에 대해 적분하면,

$$\displaystyle \left[ xe^{-x} \left( \frac{dL_{n}(x)}{dx}L_{m}(x)-L_{n}(x)\frac{dL_{m}(x)}{dx} \right) \right]_{0}^{\infty}+(n-m) \int_{0}^{\infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)=0 $$

이고, 좌변의 제 1항은 $$\displaystyle \lim_{x\to \infty} e^{-x}=0$$임을 참고하면, 0이 되고, $$n \neq m$$인 상황을 다루고 있음을 기억하면,

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)=0 \quad (n \neq m) $$

이 성립함을 알 수 있다.
$$n=m$$인 경우를 증명하게 위해 다음의 적분

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2}\,dx \equiv C_{n} $$

를 고려하자. 이때, 라게르 함수의 재귀 관계를 이용하면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} C_{n}&=\int_{0}^{\infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2}\,dx \\
&=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n-1+x)L_{n-1}(x)+(n-1)L_{n-2}(x) ] \,dx \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n+1+x)L_{n-1}(x)-2nL_{n-1}(x) ] \,dx \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{n} e^{-x} [(n+1)L_{n+1}(x)+nL_{n-1}(x) ] L_{n-1}(x) \,dx \\ &=\int_{0}^{\infty} e^{-x} [ L_{n-1}(x) ]^{2} \,dx \\ &=C_{n-1} \end{aligned} )]

이때, $$C_{0}$$를 직접 구하면,

$$\displaystyle C_{0}=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=1 $$

이상에서 $$C_{n}=1$$임을 얻고,

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2}\,dx=1 \quad (n=m)$$

임을 얻는다.

3.6.1. 푸리에-라게르 급수

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푸리에 급수로 주기 $$[0,\,L]$$인 함수 $$f(x)$$를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여

$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} $$

로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 [math([0,\,\infty))]에 있는 함수를

$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} L_{n}(x) $$

의 형태로 전개할 수 있는데 이것을 '''푸리에-라게르 급수(Fourier-Laguerre series)'''라 한다.
각 계수를 구하기 위해 양변에 $$e^{-x}L_{m}(x)$$를 곱한 뒤 구간 [math([0,\,\infty))]에 대하여 적분하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) L_{m}(x) \,dx&=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{0}^{\infty} e^{-x} L_{n}(x) L_{m}(x) \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \delta_{nm} \\ &=a_{m} \end{aligned} $$

이상에서

$$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) L_{n}(x) \,dx $$

임을 얻는다.

4. 버금 라게르 함수

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'''버금 라게르 함수(Associated Laguerre function)'''는 다음의 미분 방정식

$$\displaystyle x\frac{dy^{2}}{dx^{2}}+(k+1-x)\frac{dy}{dx}+ny=0 $$

을 만족하는 함수이며, 기호로는 $$y(x)=L_{n}^{k}(x)$$로 표기하며,

$$\displaystyle L_{n}^{k}(x)=\sum_{m=0}^{n}(-1)^{m} \frac{(n+k)!}{(n-m)!(k+m)!m!}x^{m} $$

이다. 라게르 함수와

$$\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k} \frac{d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}} $$

의 관계가 있으며, 이 함수에 대한 로드리게스 공식은

$$\displaystyle L_{n}^{k}(x)=\frac{x^{-k}e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{n+k}e^{-x}) $$

으로 주어진다.
이 함수 또한, 구간 [math([0,\,\infty))]에서 직교성을 갖고 있으며, 가중 함수 $$x^{k}e^{-x}$$에 대해선

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{k}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x)\,dx=\frac{(n+k)!}{n!} \delta_{nm} $$

가중 함수 $$x^{k+1}e^{-x}$$에 대해선

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{k+1}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x)\,dx=(2n+k+1)\frac{(n+k)!}{n!} \delta_{nm} $$

으로 주어진다.
버금 라게르 함수에 대한 재귀 관계는

1. $$\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{k}(x)-(2n+k+1-x)L_{n}^{k}(x)+(n+k)L_{n-1}^{k}(x)=0$$
2. $$\displaystyle x \frac{dL_{n}^{k}(x)}{dx}-nL_{n}^{k}(x)+(n+k)L_{n-1}^{k}(x)=0$$

이다.

5. 활용

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5.1. 물리학적 활용

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5.1.1. 수소 원자 모형

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6. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 물리학 관련 정보
• 특수함수
  • 르장드르 함수
  • 베셀 함수
  • 에르미트 함수