르장드르 함수
1. 개요
르장드르 함수는 프랑스의 수학자 아드리앵 마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre; 1752~1833)[1]에 의해 알려진 함수이며, 아래의 르장드르 방정식을 만족시키는 함수이다.
$$\displaystyle (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+n(n+1)y=0 $$
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]=(1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $$
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+n(n+1)y=0 $$
2. 상세
르장드르의 미분 방정식은 $$x=0$$이 정상점임에 따라 방정식의 해를 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
$$\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m-2}-\sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} a_{m+2}(m+1)(m+2)x^{m}-\sum_{m=2}^{\infty} a_{m}m(m-1)x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}mx^{m}+n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n}}=-\frac{(n-m)(m+n+1)}{(m+1)(m+2)} \quad (n \geq 0) $$
$$\displaystyle y(x)=A_{1}y_{0}(x)+A_{2}y_{1}(x) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} y_{0}(x) & := 1-\frac{n(n+1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n+1)(n-2)(n+3)}{4!} x^{4}-\cdots \\ y_{1}(x) & := x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^{3}+\frac{(n-1)(n+2)(n-3)(n+4)}{5!}x^{5}+\cdots \end{aligned} $$
르장드르의 미분 방정식의 해의 특징은 $$n$$이 정수일 경우 $$y_{0}(x)$$나 $$y_{1}(x)$$ 중 하나는 무한급수가 아닌 다항식 꼴로 표현된다는 것이다. 이 때 다항식 꼴의 해에서 약간의 규격화 상수를 붙인 것을 $$P_{n}(x)$$로 하여 '''제1종 르장드르 함수(Legendre function of the first kind)''' 혹은 '''르장드르 다항식(Legendre polynomials)'''이라 하고, 다항식이 아닌 해를 $$Q_{n}(x)$$으로 한 뒤 관례적으로 약간의 규격화 상수를 붙여 '''제2종 르장드르 함수(Legendre function of the second kind)'''로 정의한다. 따라서 $$n$$이 정수인 경우 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}(x)+A_{2}Q_{n}(x) $$
2.1. 르장드르의 미분 방정식의 다른 형태
구면 좌표계에서 스칼라 함수 $$f(r,\,\theta)$$에 대하여 라플라스 방정식을 $$f(r,\,\theta)=R(r) \Theta(\theta)$$로 놓고 풀면 $$\theta$$에 관한 식이 나온다.
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \left( \sin{\theta} \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} \theta} \right)+m^{2} \Theta\sin{\theta}=0 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{1-x^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} x} \right]+\sqrt{1-x^{2}} m^{2}\Theta &=0 \\ (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^{2} \Theta}{\mathrm{d} x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d}x}+m^{2}\Theta&=0 \end{aligned}$$
$$\displaystyle (1-x^2)\frac{\mathrm{d}^{2} \Theta}{\mathrm{d} x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d}x}+n(n+1)\Theta=0$$
$$\displaystyle \Theta(\cos{\theta}) \propto P_{n}(\cos{\theta}) $$
3. 분석
이 문단에서는 물리학적으로 가장 유용한 해인 제1종 르장드르 함수만을 심층적으로 분석하였다.
3.1. 종류
제1종 르장드르 함수는 $$P_{n}(1)=1$$, $$P_{n}(-1)=(-1)^{n}$$이 되게끔 약간의 규격화 상수를 붙여 해로 정의한다. 아래는 몇몇의 제1종 르장드르 함수를 나타낸 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
P_{0}(x)&=1 \\
P_{1}(x)&=x \\
P_{2}(x)& =\frac{1}{2} (3x^2-1) \\
P_{3}(x)&=\frac{1}{2} (5x^3-3x) \\
P_{4}(x)&=\frac{1}{8} (35x^4-30x^2+3) \\
P_{5}(x)&=\frac{1}{8} (63x^5-70x^3+15x) \\
P_{6}(x)&=\frac{1}{16} (231x^6-315x^4+105x^2-5) \\
P_{7}(x)&=\frac{1}{16} (429x^7-693x^5+315x^3-35x) \\
P_{8}(x)&=\frac{1}{128} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35) \\
P_{9}(x)&=\frac{1}{128} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x ) \\
P_{10}(x)&=\frac{1}{256} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)
\end{aligned} )]
3.2. 그래프
아래는 $$[-1,\,1]$$ 구간에 몇몇의 제1종 르장드르 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
[image]
3.3. 생성 함수
제1종 르장드르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.
$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2} }}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n} $$
3.4. 로드리게스 공식
제1종 르장드르 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\displaystyle P_{n}=\frac{1}{2^{n} \cdot n!} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} $$
$$\displaystyle u := (x^{2}-1)^{n} $$
$$\displaystyle u'=2nx(x^{2}-1)^{n-1} \, \to \, (x^{2}-1)u'=2nxu $$
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (x^{2}-1)^{(k)}u^{(n+2-k)}=2n \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^{(k)}u^{(n+1-k)} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} (x^{2}-1)u^{n+2}+2(n+1)xu^{n+1}+n(n+1) u^{n}&=2nxu^{n+1}+2n(n+1)u^{n} \\ (1-x^{2})u^{n+2}-2xu^{n+1}+n(n+1)u^{n}&=0 \\ (1-x^{2})\frac{\mathrm{d}^{2} u^{n}}{\mathrm{d}x^{2}}-2x \frac{\mathrm{d}u^{n}}{\mathrm{d}x}+n(n+1)u^{n}&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n}=CP_{n}(x) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} P_{n}(x)&=\frac{1}{C}\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^2-1)^{n} \\ &=\frac{1}{C} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} [(x+1)^{n}]^{(k)}[(x-1)^{n}]^{(n-k)} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} P_{1}(x)&=\frac{1}{C}n!\cdot(1+1)^{n}=1 \, \to \,C=2^{n}\cdot n! \end{aligned} $$
$$\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}\cdot n! } \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{2}-1)^{n} $$
3.5. 재귀 관계
생성 함수를 이용하면 다음의 관계식을 증명할 수 있다.
- $$ \displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) $$
- $$ \displaystyle xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x)=nP_{n}(x) $$
- $$ \displaystyle P_{n}'(x)-xP_{n-1}'(x)=nP_{n-1}(x) $$
- $$ \displaystyle (1-x^{2})P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x)-nxP_{n}(x) $$
- $$ \displaystyle (2n+1)P_{n}(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x) $$
- $$ \displaystyle (1-x^{2})P_{n-1}'(x)=nxP_{n-1}(x)-nP_{n}(x) $$
3.6. 직교성
제1종 르장드르 함수는 $$[-1,\,1]$$ 구간에서 직교하는 다항식으로, 다음을 만족시킨다. $$\delta_{mn}$$은 크로네커 델타이다.
$$\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}\right]+n(n+1)P_{n}(x)&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{m}(x)}{\mathrm{d}x}\right]+m(m+1)P_{m}(x)&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}\right]P_{m}(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \frac{\mathrm{d}P_{m}(x)}{\mathrm{d}x}\right]P_{n}(x)+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ (1-x^{2}) \left( P_{m}(x) \frac{\mathrm{d} P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}-P_{n}(x) \frac{\mathrm{d} P_{m}(x)}{\mathrm{d}x} \right)\right]+[n(n+1)-m(m+1) ]P_{n}(x)P_{m}(x)&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \left[ (1-x^{2}) \left( P_{m}(x) \frac{\mathrm{d} P_{n}(x)}{\mathrm{d}x}-P_{n}(x) \frac{\mathrm{d} P_{m}(x)}{\mathrm{d}x} \right) \right]_{1}^{-1}=-[n(n+1)-m(m+1) ] \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x $$
$$\displaystyle -[n(n+1)-m(m+1) ] \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=0 $$
$$\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm{d}x=0 \quad (n \neq m) $$
$$\displaystyle nP_{n}(x)=xP_{n}'(x)-P_{n-1}'(x) $$
$$\displaystyle n\int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x= \int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x- \int_{-1}^{1} P_{n-1}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1} xP_{n}'(x)P_{n}(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ x\frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2} \biggr]_{-1}^{1} -\int_{-1}^{1} \frac{[P_{n}(x) ]^{2}}{2}\,\mathrm{d}x \\ &=1-\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x \\ \\ \therefore \left( n+\frac{1}{2} \right) \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x &=1 \, \to \, \int_{-1}^{1} [P_{n}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1} \quad (n=m) \end{aligned}$$
[2] 우리는 주어진 구간 $$[-1,\,1] $$ 위에서 서로 다른 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 내적은 0이 됨을 증명하였다. $$P_{n-1}'(x)$$는 $$P_{n}(x)$$와 비교해볼 때 차수가 작은 다항식임을 예상할 수 있다. 즉, $$P_{n}(x)$$의 최고차항이 없기 때문에 $$P_{n-1}'(x)$$는 $$P_{n}(x)$$과 비교했을 때 최고차항이 $$P_{n}(x)$$보다 최고차항이 낮은 차수의 제1종 르장드르 함수끼리의 합으로 전개될 것이므로 적분항은 결국 0이 된다.
$$\displaystyle \int_{-b}^{b} P_{n}\biggl( \frac{x}{b} \biggr)P_{m}\biggl( \frac{x}{b} \biggr)\,\mathrm{d}x=\frac{2b}{2n+1}\delta_{mn} $$
3.6.1. 푸리에-르장드르 급수
우리는 푸리에 급수로 주기 $$[0,\,L]$$인 함수 $$f(x)$$를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} $$
이와 유사하게 구간 $$[-b,\,b]$$의 함수 $$f(x)$$에 대하여
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} P_{n}\left( \frac{x}{b} \right) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-b}^{b}f(x) P_{m} \left( \frac{x}{b} \right) \,\mathrm{d}x&=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-b}^{b} P_{n}\left( \frac{x}{b} \right) P_{m}\left( \frac{x}{b} \right)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \frac{2b}{2n+1} \delta_{nm} \\ &=a_{m}\frac{2b}{2n+1} \\ \\ \therefore a_{n}&=\frac{2n+1}{2b}\int_{-b}^{b}f(x) P_{m} \left( \frac{x}{b} \right)\mathrm{d}x \end{aligned} $$
4. 연관 함수
4.1. 버금 르장드르 함수
'''버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function)'''는 미분 방정식
$$\displaystyle (1-x^2){\mathrm{d}^2 y\over \mathrm{d}x^2} - 2x{\mathrm{d}y\over \mathrm{d}x}+\left[n(n+1)-{m^2\over 1-x^2} \right]y=0 $$
$$\displaystyle y(x)=A_{1}P_{n}^{m}(x)+ A_{2}Q_{n}^{m}(x) $$
제1종 버금 르장드르 함수와 제1종 르장드르 함수 사이에는
$$\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2} \frac{\mathrm{d}^{|m|}P_{n}(x)}{\mathrm{d}x^{|m|}} $$
$$\displaystyle P_{n}^{-m}(x)=(-1)^{m} \frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_{n}^{m}(x) $$
이 함수 또한 구간 $$[-b,\,b]$$에 대하여 아래의 직교성이 있다.
$$\displaystyle \int_{-b}^{b} P_{n}^{m}\left( \frac{x}{b} \right) P_{l}^{m}\left( \frac{x}{b} \right)\mathrm{d}x=\frac{2b}{2n+1}\frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}\delta_{nl} $$
- $$\displaystyle P_{n}^{m+1}(x)=\frac{2mx}{\sqrt{1-x^{2}}}P_{n}^{m}(x)+[m(m-1)-n(n+1) ]P_{n}^{m-1}(x) $$
- $$\displaystyle (2n+1)xP_{n}^{m}(x)=(n+m)P_{n-1}^{m}(x)+(n-m+1)P_{n+1}^{m}(x) $$
- $$\displaystyle (2n+1)\sqrt{1-x^{2}} P_{n}^{m}(x)=P_{n+1}^{m+1}(x)-P_{n-1}^{m+1}(x) $$
- $$\displaystyle 2\sqrt{1-x^{2}} \frac{\mathrm{d}P_{n}^{m}(x)}{\mathrm{d}x}=P_{n}^{m+1}(x)-(n+m)(n-m+1)P_{n}^{m-1}(x) $$
4.2. 구면 조화 함수
'''구면 조화 함수(Spherical harmonics)'''는 구면좌표계에서 아래와 같이 정의되는 함수이다.[3]
$$\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) := A P_{l}^{m}(\cos{\theta}) e^{i m \phi} $$
[3] 기호가 제2종 베셀 함수 [math(Y_{n}(x))]와 닮아있으나, 둘은 전혀 다른 함수임에 주의하라.
$$\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l}^{m\ast}(\theta,\,\phi) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\, \mathrm{d} \Omega=1 $$
$$\displaystyle |A|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{\pi} [P_{l}^{m}(\cos{\theta}) ]^{2}\sin{\theta}\,\mathrm{d}\theta $$
$$\displaystyle |A|^{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_{0}^{1} [P_{l}^{m}(x) ]^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{4 \pi}{2l+1}\frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!} |A|^{2}=1 $$
$$\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) = \sqrt{ \frac{2l+1}{4 \pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} } \,P_{l}^{m}(\cos{\theta}) e^{i m \phi} $$
$$\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l'}^{m'\ast}(\theta,\,\phi) Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)\, \mathrm{d} \Omega=\delta_{ll'}\delta_{mm'} $$
$$\displaystyle Y_{l}^{-m}(\theta,\,\phi)=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi) $$
이곳(영어)으로부터 몇몇 구면 조화 함수의 목록을 볼 수 있고, 아래의 그래프[4]는 몇몇 $$Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)$$에 대하여 $$|Y_{l}^{m}(\theta,\,\phi)|^{2}$$의 개형[5]을 나타낸 것이다. $$\hat{\mathbf{z}}$$는 $$z$$축 방향의 단위 벡터이다.
그래프를 보면 알겠지만 수소 원자에 대한 오비탈의 개형과 닮아있음을 알 수 있다. 그 이유는 실제로 수소 원자에 대한 전자의 확률 밀도 함수 중 이 구면 조화 함수가 포함돼있기 때문이다.