에르미트 함수
1. 개요
'''에르미트 함수(Hermite function)''' 혹은 '''에르미트 다항식(Hermite polynomial)'''은 아래의 에르미트의 미분 방정식
$$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x \frac{dy}{dx}+2n y=0 $$
단, 에르미트 함수에는 두 가지 버전이 있는데 하나는 물리학에서 사용되는 것이고, 다른 하나는 통계학에서 사용되는 것인데, 이 문서에서는 물리학에서 사용되는 에르미트 함수을 다룬다. 통계학에서 다루는 에르미트 함수에 대한 내용은 이곳(영어)을 참조한다.
2. 상세
해당 미분 방정식은 급수해 해법으로 풀 수 있으며, 위 방정식의 해를 다음의 꼴로 가정하는 것 부터 시작한다.
$$\displaystyle y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_{m}x^{m-2}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)(m+2)a_{m+2}x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned}$$
$$\displaystyle a_{m+2}=-\frac{2(n-m)}{(m+2)(m+1)}a_{m} $$
$$\displaystyle y=A_{1}y_{0}+A_{2}y_{1} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} y_{0}& \equiv a_{0} \left[1-\frac{2n}{2!}x^{2}+\frac{4n(n-2)}{4!}x^{4}-\frac{8n(n-2)(n-4)}{6!}x^{6}+ \cdots \right] \\ y_{1}& \equiv a_{1} \left[x-\frac{2(n-1)}{3!}x^{3}+\frac{4(n-1)(n-3)}{5!}x^{5}-\frac{8(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^{7}+ \cdots \right] \end{aligned}$$
이때, $$n$$이 0을 포함한 자연수라면, $$y_{0}$$ 혹은 $$y_{1}$$은 다항함수 꼴로 남게 되는데 해당 다항함수에 상수를 붙인 다항식을 '''에르미트 함수'''이라 하고, 기호로 $$H_{n}(x)$$로 나타낸다.
3. 분석
3.1. 종류
다음은 몇몇 에르미트 함수의 목록을 나타낸 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
H_0(x) &= 1 \\
H_1(x) &= 2x \\
H_2(x) &= 4x^2 - 2 \\
H_3(x) &= 8x^3 - 12x \\
H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \\
H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x \\
H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 \\
H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x \\
H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680 \\
H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x \\
H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240
\end{aligned} )]
3.2. 그래프
아래의 그래프는 $$[-2,\,2]$$ 구간에서 몇몇 에르미트 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
[image]
위 그래프에서 볼 수 있듯, 홀수차항의 에르미트 함수는 항상 원점을 지나며, 짝수차항의 에르미트 함수는 $$x=0$$ 위의 미분 계수는 0이 된다.
$$y$$축 위의 함숫값은 아래와 같다.
[math(\displaystyle H_{n}(0)=\begin{cases}
0 & \text{ for odd } n \\
(-2)^{n/2}(n-1)!! & \text{ for even } n
\end{cases} )]
3.3. 생성 함수
에르미트 함수의 생성 함수는 다음과 같다.
$$\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n} $$
3.4. 로드리게스 공식
에르미트 함수는
$$\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} $$
$$\displaystyle y=e^{-x^{2}} $$에서 양변을 미분하면,
$$\displaystyle y'=-2x e^{-x^{2}}=-2xy \;\to \;y'+2xy=0 $$
이것을 $$x$$에 대하여 $$n$$번 미분하면
$$\displaystyle y^{(n+2)}+y^{(n+1)}+2\sum_{k=0} \binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+1)}=0 $$
$$\displaystyle y^{(n+1)}+2xy^{(n+1)}+2(n+1) y^{(n)}=0 $$
$$\displaystyle \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+2x \frac{du}{dx}+2(n+1)u=0 $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{du}{dx}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left( -2xf+ \frac{df}{dx} \right) \\ \frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{df}{dx}+\frac{d^{2}f}{dx^{2}} \right] \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{df}{dx}+\frac{d^{2}f}{dx^{2}} \right]+2x \left( -2xf+ \frac{df}{dx} \right)+2(n+1) f&=0 \\ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2x\frac{df}{dx}+2nf&=0 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n} e^{-x^{2}}H_{n}(x) \; \to \; H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} $$
3.5. 재귀 관계
에르미트 함수의 재귀 관계는 아래와 같다.
- $$\dfrac{dH_{n}(x)}{dx}=2nH_{n-1}(x)$$
- $$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)$$
3.6. 직교성
에르미트 함수는 가중함수 $$e^{-x^{2}}$$에 대하여 실수 전체 구간에 대해 다음의 직교성을 가진다.
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx=2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} $$
이것을 증명하기 위해 $$n \neq m$$일 때를 우선적으로 증명하자. $$H_{n}(x)$$, $$H_{m}(x)$$이 각각 만족하는 미분 방정식에 각각 $$e^{-x^{2}}H_{m}(x)$$, $$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$$을 곱한 뒤 빼면,
$$\displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)\left[ \frac{d^{2}H_{n}(x)}{dx^{2}}-2x \frac{dH_{n}}{dx} \right]-e^{-x^{2}}H_{n}(x)\left[ \frac{d^{2}H_{m}(x)}{dx^{2}}-2x \frac{dH_{m}}{dx} \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 $$
$$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{dH_{m}(x)}{dx} \right) \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 $$
$$\displaystyle \left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{dH_{m}(x)}{dx} \right) \right]_{-\infty}^{\infty}+2(n-m) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx=0 $$
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx =0 \quad (n \neq m) $$
$$n=m$$일 때를 증명하자. 적분
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,dx \equiv C_{n} $$
[math(\displaystyle \begin{aligned} C_{n}&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)[2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) ]\,dx \\&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\cdot 2xH_{n}(x) H_{n-1}(x)\,dx \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n+1}(x)+2nH_{n-1}(x) ] H_{n}(x) H_{n-1}(x)\,dx \\
&=2n \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n-1}(x) ]^{2}\,dx \\ &=2nC_{n-1}\end{aligned} )]
$$\displaystyle C_{0}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi} $$
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,dx=2^{n} n! \sqrt{\pi} \quad (n=m) $$
3.6.1. 푸리에-에르미트 급수
푸리에 급수로 주기 $$[0,\,L]$$인 함수 $$f(x)$$를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} $$
$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}H_{n}(x) $$
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,dx= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,dx&= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} \\ &=2^{n} n! \sqrt{\pi} a_{m} \end{aligned} $$
$$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n} n! \sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{n}(x)\,dx $$