다항함수
1. 개요
다항함수는 다항식으로 나타낼 수 있는 함수이다. 최고차항의 차수에 따라 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수... 등으로 분류될 수 있다. 상수도 다항식이기 때문에 다항함수는 다항식과 다항식의 몫으로 정의되는 유리함수에 속한다.
단항식으로 구성되어 있고 그 식의 계수가 1인 다항함수[1]는 멱함수(冪函數)라고도 하는데, 멱함수는 다항함수가 아닌 유리함수[2], 무리함수[3]도 포함하기 때문에 완전 대응되지는 않는다.
2. 특징
2.1. 연산
다항함수는 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈, 합성에 대해 닫혀있다. 그러나 나눗셈의 경우, 다항함수와 다항함수의 몫이 다항함수일 수도 있고, 다항함수가 아닌 유리함수일 수도 있다.
2.2. 대칭성
모든 일차함수와 삼차함수는 점대칭이고, 모든 상수함수와 이차함수는 좌우대칭이다. 일차함수의 경우 모든 점에 대해 점대칭이고, 삼차함수는 유일하게 가지는 변곡점을 기준으로 점대칭이다. 상수함수는 모든 점에 대해 좌우대칭이고, 이차함수는 최대·최소를 갖는 꼭짓점을 지나는 대칭축을 기준으로 좌우대칭이다. 그러나 사차 이상의 다항함수는 항상 대칭성을 갖는 것은 아니다.
특별히 단항식으로 정의된 다항함수인 멱함수의 경우에는 차수에 따라 대칭성이 결정된다. 멱함수의 정의에 대해서는 멱함수 문서 참고. 1, 3, 5... 등 홀수 차수의 멱함수는 원점대칭이고, 2, 4, 6... 등 짝수 차수의 멱함수는 y축 대칭이다. 다항함수의 이러한 특징 때문에 원점대칭인 함수는 홀함수, y축 대칭인 함수는 짝함수라고 부른다. 단, 홀함수와 짝함수는 다항함수만을 말하는 것은 아니다. 대표적인 예로 $$\sin x$$는 다항함수가 아니지만 원점대칭인 홀함수이며, $$\cos x$$도 다항함수가 아니지만 y축 대칭인 짝함수이다.
2.3. 연속성과 미분가능성
다항함수는 모든 점에서 연속인 연속함수이고, 모든 점에서 미분가능한 함수이다. 다항함수의 도함수도 다항함수이기 때문에, 무한히 미분해도 연속이며 미분가능하다. 즉, 매끄럽다.
그래서 미적분을 배울 때는 다항함수부터 배운다. 다항함수는 모든 점에서 미분가능하기 때문에 고려할 점이 적어[4] 미적분이 사칙연산마냥 단순계산에 불과하기 때문이다. 실제로 2015 개정 교육과정에서 고등학생이 미적분을 처음 배우는 교과는 수학Ⅱ(2015)인데, 이 과목에서 미분·적분은 다항함수와 다항함수로 구성된 구간별로 정의된 함수만을 다룬다.
3. 추론 및 공식
4. 종류
4.1. 상수함수
상수 하나만 있어도 다항식이 될 수 있으므로, 상수함수도 다항함수이다.
4.2. 일차함수
4.2.1. 다중선형형식
일차함수의 일반화이다. 다중선형형식과 행렬과 벡터는 선형대수학의 기본정리에 의해 동일한 대상으로 볼 수 있다.
4.3. 이차함수
4.3.1. 이차형식
이차함수의 일반화이다.
4.4. 삼차함수
4.4.1. 삼차형식
삼차함수의 일반화이다.
4.5. 사차함수
4.6. 오차(五次)함수
$$g(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f \quad (a \neq 0)$$
최고차항의 차수가 5인 함수이다. '오차함수'라고 불리는 함수는 다항식으로 정의되는 꼴(五次函數, quintic function)과 다항식으로 정의되지 아니한 꼴(誤差函數, error function) 두 개가 있는데 이 문단에서 설명하고 있는 것은 전자이다.
그래프의 개형은 삼차함수에서 굴곡이 한 겹 더 추가된 형태, 즉 올라갔다 내려갔다 올라갔다 내려갔다 올라가는 모양새로 이해하면 편하다. 그러나 이는 수많은 오차함수 그래프의 개형 중 일부의 경우일 뿐이며, 사차함수 문서에도 서술되어 있듯이 6종류의 삼차함수 그래프의 개형으로부터 사차함수 그래프의 개형이 20개나 도출되는데, 오차함수는 그런 사차함수를 또 다시 도함수로 하기 때문에 그야말로 극악[5]이다. 오차 이상이 되면 지나치게 복잡해지는 관계로 고등학교에서는 사차 이하의 다항함수만을 다룬다.
오차 이상의 다항함수부터는 역함수를 초등함수로 표현할 수 없고, 브링 근호를 사용해야 한다.
4.7. n차 다항함수
이외에도 육차함수(Sextic function), 칠차함수(Septic function) 등을 생각할 수 있다.
위의 삼차함수부터는 '고차 함수'라고 불린다.[6]
4.8. 특수한 다항함수
일부 특수함수는 특정 조건[7]에서 다항함수의 형태를 띠기도 한다.
5. 교육과정에서
5.1. 중등교육기관
- 7차 교육과정
- 2007 개정 교육과정
- 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
- 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
- 수학 - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
- 미적분과 통계 기본#s-2.2[8] - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
- 수학Ⅱ(2007)#s-3.4[9] - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성, 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
- 2009 개정 교육과정
- 2015 개정 교육과정
5.2. 고등교육기관
- 선형대수학 - 사실상 일차함수만 죽어라 파는 과목이라고 봐도 무방하지만, 이공계에서 이 과목의 지식을 갖추지 못하면 말 그대로 아무것도 못할 정도로 중요하다.
- 대수적 정수론 - 다항함수를 이용해 소수 등의 성질을 분석한다.[10] 또한 삼차형식 가운데 하나인 타원곡선에 대해서 지겹도록 공부하게 된다.
- 미분기하학 - 다항함수(특히 이차형식)로 기술되는 도형 및 공간을 다룬다.
- 미분방정식 - 과목명답게 다항함수 꼴의 미분방정식을 다룬다.
- 복소해석학 - 다항함수에 복소수를 넣어서 그 성질을 연구한다.
[1] $$y = x^2$$ 등[2] $$y = \dfrac{1}{x}$$ 등[3] $$y = \sqrt{x}$$ 등[4] 정칙성의 조건 중 하나인 테일러 급수가 '''다항함수의 합으로써 함수를 근사하는 방법'''이므로, 다항함수는 자기 자신이 테일러 급수임은 자명하다.[5] 물론 실해석학에서 각종 병리적 함수를 접하다 다시 보면 선녀 같다고 느껴지긴 하겠지만.[6] 프로그래밍에서의 고차 함수와는 다른 개념이다. 이쪽은 범함수에 가깝다.[7] 아래 셋 모두 밑첨자에 들어가는 변수가 [math({\mathbb N}_0)]의 원소일 때 성립한다. 또한 밑첨자의 값은 그 차수와 동치이다.[8] 문과용[9] 이과용[10] 대표적으로 특정 구간의 수를 넣을 경우 소수를 생성하는 다항함수가 있다.