마름모육팔면체
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반정다면체 중 하나인 마름모육팔면체의 모습.
1. 개요
마름모六八面體, Rhombicuboctahedron[1]
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한 꼭지점에 정삼각형 한 개와 정사각형 세 개를 배치해 만든 반정다면체. 위 그림과 같이 정육면체의 각 모서리들을 정사각형으로, 각 꼭지점들을 정삼각형으로 대체하거나, 정팔면체의 각 모서리들과 꼭지점들을 정사각형으로 대체하여 만들 수 있다. 이 과정이 마치 다면체를 부풀리는 것 같다고 하여(expansion) 부풀린 정육면체/정팔면체라고도 불린다.
2. 정보
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한 변의 길이가 $$a$$인 마름모육팔면체가 있을 때
외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{2}a$$
겉넓이(surface area) = $$(18+2\sqrt3)a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{2}{3}(2+5\sqrt{2})a^3$$
3. 현실에서의 예시
- 불교축제에서 사용되는 연등[9]
- 삼각형모양을 둥굴게 가공하여 18면을 가지는 주사위 (d18)가 존재한다. 다만 이 경우는 모든 면의 확률이 수학적으로 완전히 공정하진 않다. 보러가기
- 소위 척척이라 부르는 스네이크 큐브를 마름모육팔면체 모양으로 접는 경우가 많다.
- 벨라루스 국립 도서관#
[1] 복수는 rhombicuboctahedra[2] r은 절반 지점까지 깎은 상태를 의미한다. rr{3,4}와 rr{4,3}은 정팔면체나 정육면체를 모서리 절반 지점까지 깎아 육팔면체를 만들고 다시 꼭지점을 깎아내어 마름모육팔면체형으로 만든다는 의미이다.[주의사항] 실제로는 아무리 육팔면체를 잘 깎아도 깎은 면이 정다각형으로 나오지 않는다. 육팔면체의 꼭지점 형태는 3.4.3.4로, 다각형들이 서로 같지 않기 때문에 단면이 정사각형이 아닌 인접한 두 변의 길이의 비가 1:√2인 직사각형이 나온다[3] t0,2는 부풀리기(expansion)을 의미한다.[4] 한 꼭지점에 정삼각형-정사각형-정사각형-정사각형 순서대로 모인다는 뜻. 나머지는 모두 같은 정사각형들이고, 정삼각형은 1개밖에 없으므로 다르게 배열해도 똑같다.[5] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우[6] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름[7] 사각지붕(J7)은 마름모육팔면체를 정팔각형을 이루는 모서리들을 기준으로 잘랐을 때, 작은 조각과 같으며, 존슨 다면체이다.[8] 슐레플리 부호로 $$r\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}$$라고 쓰기도 한다.[9] 가끔 부처님오신날 등 연등행사가 있는 날에 이런 형태의 연등을 볼 수 있다.