존슨 다면체
1. 개요
Johnson 多面體/Johnson solid
모든 면이 정다각형인 다면체들 중 정다면체와 반정다면체와 각기둥을 제외한 모든 것들을 일컫는다.
총 92가지가 존재하며, 나열하면 다음과 같다. (정다면체/반정다면체이거나, 또는 서로 붙였을 때 이웃한 두 면의 이면각이 180º보다 크거나 같아서 정다각형으로 만들 수 없는 경우는 취소선으로 처리)
2. 종류
2.1. 고른 다면체의 작은 일부분
대부분의 존슨 다면체들은 이들과 고른 다면체들의 면을 붙여 만들 수 있다.
- 다각뿔(pyramid) (J1~J2) : 말 그대로 다각뿔. 정사각뿔과 정오각뿔 두 종류가 존재한다.
- 지붕(cupola)과 둥근지붕(rotunda) (J3~J6) : 지붕은 윗면이 n각형이고, 밑면은 2n각형이며, 옆면은 삼각형과 사각형들로 구성되어 윗면과 밑면을 이어주는 다면체이다. 오각둥근지붕은 옆면이 삼각형과 오각형으로 되어있다.
2.2. 고른 다면체의 일부와 고른 다면체들을 조합해서 만들 수 있는 존슨 다면체들
- 늘린 다각뿔(elongated pyramid)과 비틀어 늘린 다각뿔(gyroelongated pyramid) (J7~J11) : 다각뿔의 밑면에 각각 각기둥이나 엇각기둥을 붙여 만든 다면체이다.
- 늘린 삼각뿔 (J7) : 삼각뿔+삼각기둥
- 늘린 사각뿔 (J8) : 사각뿔+사각기둥
- 늘린 오각뿔 (J9) : 오각뿔+오각기둥
- 비틀어 늘린 사각뿔 (J10) : 사각뿔+엇사각기둥
- 비틀어 늘린 오각뿔 (J11) : 오각뿔+엇오각기둥
- 쌍각뿔(bipyramid) (J12~J13) : 서로 같은 다각뿔의 밑면을 붙여놓은 다면체.
- 삼각쌍뿔 (J12) : 삼각뿔+삼각뿔
- : 정팔면체와 동일
- 오각쌍불 (J13) : 오각뿔+오각뿔
- 늘린 쌍각뿔(elongated bipyramid)과 비틀어 늘린 쌍각뿔(gyroelongated bipyramid) (J14~J17) : 다각뿔 두 개를 각각 다각기둥과 엇각기둥의 밑면에 붙여 만든 다면체이다.
- 늘린 삼각쌍뿔 (J14) : 삼각뿔+삼각기둥+삼각뿔
- 늘린 사각쌍뿔 (J15) : 사각뿔+사각기둥+사각뿔
- 늘린 오각쌍뿔 (J16) : 오각뿔+오각기둥+오각뿔
- 비틀어 늘린 사각쌍뿔 (J17) : 사각뿔+엇사각기둥+사각뿔
- : 정이십면체와 동일
- 늘린 지붕(elongated cupola)과 비틀어 늘린 지붕(gyroelongated cupola) (J18~J25) : n각지붕의 밑면을 2n각기둥 또는 엇2n각기둥의 밑면과 붙여 만든 다면체이다.
- 늘린 삼각지붕 (J18) : 삼각지붕+육각기둥
- 늘린 사각지붕 (J19) : 사각지붕+팔각기둥
- 늘린 오각지붕 (J20) : 오각지붕+십각기둥
- 늘린 오각둥근지붕 (J21) : 오각둥근지붕+십각기둥
- 비틀어 늘린 삼각지붕 (J22) : 삼각지붕+엇육각기둥
- 비틀어 늘린 사각지붕 (J23) : 사각지붕+엇팔각기둥
- 비틀어 늘린 오각지붕 (J24) : 오각지붕+엇십각기둥
- 비틀어 늘린 오각둥근지붕 (J25) : 오각둥근지붕+엇십각기둥
- 맞붙인 지붕(orthobicupola)과 비틀어 붙인 지붕(gyrobicupola) (J26~J31) : 맞붙인 지붕은 지붕의 옆면을 같은 면끼리 이어붙인 것이며, 비틀어 붙인 지붕은 서로 다른 면끼리 옆면끼리 이어붙인 것이다.
- 비틀어 붙인 두 이각지붕 (J26)
- 맞붙인 두 삼각지붕 (J27)
- : 육팔면체와 동일
- 맞붙인 두 사각지붕 (J28)
- 비틀어 붙인 두 사각지붕 (J29)
- 맞붙인 두 오각지붕 (J30)
- 비틀어 붙인 두 오각지붕 (J31)
- 맞붙인 지붕과 둥근지붕(cupolarotunda)과 맞붙인 두 둥근지붕(birotunda) (J32~J39) : 오각지붕과 오각둥근지붕만이 사용된다. 둥근지붕 자체가 오각둥근지붕밖에 없고, 그 밑면이 정십각형이기 때문이다.
- 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (J32) : 윗면과 밑면인 정오각형의 꼭지점들이 서로 같은 방향을 향하도록 이어붙인다.
- 비틀어 붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (J33) : 윗면과 밑면인 정오각형의 꼭지점들이 서로 엇갈리도록 이어붙인다.
- 맞붙인 두 오각둥근지붕 (J34) : 윗면과 밑면인 정오각형의 꼭지점들이 서로 같은 방향을 향하도록 이어붙인다.
- : 십이이십면체와 동일
- 늘린 두 지붕(elongated bicupola) (J35~J39) : 맞붙인 지붕과 비틀어 붙인 지붕 사이에 각기둥을 끼워넣은 다면체이다.
- 늘린 맞붙인 두 삼각지붕 (J35)
- 늘린 비틀어 붙인 두 삼각지붕(J36)
- : 마름모육팔면체와 동일
- 늘린 비틀어 붙인 두 사각지붕 (J37)
- 늘린 맞붙인 두 오각지붕 (J38)
- 늘린 비틀어 붙인 두 오각지붕 (J39)
- 늘린 지붕-둥근지붕(elongated cupolarotunda)과 늘린 두 둥근지붕(elongated birotunda) (J40~J43) : 맞붙인 지붕과 둥근지붕 사이에 정십각기둥을 끼워넣거나, 맞붙인 두 둥근지붕 사이에 정십각기둥을 끼워넣은 다면체이다.
- 늘린 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (J40)
- 늘린 비틀어 붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (J41)
- 늘린 맞붙인 두 오각둥근지붕 (J42)
- 늘린 비틀어 붙인 두 오각둥근지붕(J43)
- 비틀어 늘린 두 지붕(gyroelongated bicupola), 비틀어 늘린 지붕-둥근지붕(gyroelongated cupola-rotunda), 비틀어 늘린 두 둥근지붕(gyroelongated rotunda) (J44~J48) : 지붕들과 둥근지붕들로 만든 늘린 다면체들(J35~J43) 사이에 각기둥 대신 엇각기둥을 끼워넣은 다면체이다. 이들은 카이랄성(chirality)[1]을 가지므로 거울상을 가진다.
- 비틀어늘린 맞붙인 두 삼각지붕 (J44)
- 비틀어늘린 맞붙인 두 사각지붕(J45)
- 비틀어늘린 맞붙인 두 오각지붕 (J46)
- 늘린 맞붙인 오각지붕과 오각둥근지붕 (J47)
- 늘린 맞붙인 두 오각둥근지붕 (J48)
- 사각뿔이 붙은 각기둥(augmented prism) (J49~J57) : 옆면에 사각뿔이 붙은 기둥들이다.
- 사각뿔이 붙은 삼각기둥 (augmented triangular prism, J49)
- 두 사각뿔이 붙은 삼각기둥 (biaugmented triangular prism, J50)
- 세 사각뿔이 붙은 삼각기둥 (triagumented traingular prism, J51)
- : 사각뿔이 붙은 사각기둥은 늘린 사각뿔(J8)과 동일, 두 사각뿔이 마주보게 붙은 사각기둥은 늘린 사각쌍뿔(J15)과 동일, 두 사각뿔이 이웃하게 붙은 사각기둥은 두 사각뿔들의 이웃한 옆면 사이의 내각이 180º를 초과해 불가능
- 사각뿔이 붙은 오각기둥 (augmented pentagonal prism, J52)
- 두 사각뿔이 붙은 오각기둥 (biaugmented pentagonal prism, J53)[2]
- : J53에 대한 주석 참조.
- 사각뿔이 붙은 육각기둥 (augmented hexagonal prism, J54)
- 두 사각뿔이 마주보게 붙은 육각기둥 (parabiaugmented hexagonal prism, J55)
- 두 사각뿔이 비껴보게 붙은 육각기둥 (metabiaugmented hexagonal prism, J56)
- 세 사각뿔이 붙은 육각기둥 (triaugmented hexagonal prism, J57)
- : J53에 대한 주석 참조.
- 오각뿔이 붙은 정십이면체 (augmented dodecahedron) '''(J58~J61) : 위의 사각뿔이 붙은 기둥들처럼 오각뿔이 정십이면체에 붙었다. 단, 이웃하는 면에 두 오각뿔을 붙이면 두 오각뿔의 옆면들이 이루는 각이 평면이 되므로 불가능하다.[3]
- 오각뿔이 붙은 정십이면체 (augmented dodecahedron, J58)
- 두 오각뿔이 마주보게 붙은 정십이면체 (parabiaugmented dodecahedron, J59)
- 두 오각뿔이 비껴보게 붙은 정십이면체 (metabiaugmented dodecahedron, J60)
- 세 오각뿔이 붙은 정십이면체 (triaugmented dodecahedron, J61)
- : 모든 오각뿔들이 더 이상 이웃하지 않게 붙일 수 없다.
- 자른 정이십면체 (diminished icosahedron) (J62~J64) : 정이십면체에서 오각형 평면들을 기준으로 오각뿔을 잘라낸 다면체들.
- : 비틀어 늘린 오각뿔(J11)과 동일
- 두 곳을 비껴보게 자른 정이십면체 (metabidiminished icosahedron, J62) : J63+J2
- : 엇정오각기둥과 동일
- 세 곳을 자른 정이십면체 (tridiminished icosahedron, J63) : 조금 복잡하지만 그래도 정이십면체의 일부이며, J62~J64까지의 존슨 다면체의 기본 도형에 해당한다.
- 삼각뿔이 붙은 세 곳을 자른 정이십면체 (augmented tridiminished icosahedron, J64) J63+삼각뿔
- 지붕이 붙은 깎은 정다면체 (J65~J71) : 단, 여기에서 지붕의 옆면인 삼각형과 깎은 꼭지점이 서로 이웃하게 붙이면 동일 평면상에 놓이므로 안 된다. 서로 이웃한 면에 지붕을 붙일 수도 없다. 깎은 정팔면체와 깎은 정이십면체의 경우도 유사한 이유로 지붕을 붙일 수 없다.
- 삼각지붕이 붙은 깎은 정사면체 (augmented truncated tetrahedron, J65)
- 사각지붕이 붙은 깎은 정육면체 (augmented truncated cube, J66)
- 두 사각지붕이 붙은 깎은 정육면체 (biaugmented truncated cube, J67)
- 오각지붕이 붙은 깎은 정십이면체 (augmented truncated dodecahedron, J68)
- 두 오각지붕이 마주보게 붙은 깎은 정십이면체 (parabiaugmented truncated dodecahedron, J69)
- 두 오각지붕이 비껴보게 붙은 깎은 정십이면체 (metabiaugmented truncated dodecahedron, J70)
- 세 오각지붕이 붙은 깎은 정십이면체 (triaugmented truncated dodecahedron, J71)
- 비튼 마름모십이이십면체 (gyrate rhombicosidodecahedra) (J72~J75) : 마름모십이이십면체에서 오각지붕 파트들을 비틀어 붙인 다면체이다.
- 한 곳을 비튼 마름모십이이십면체 (gyrate rhombicosidodecahedron, J72)
- 두 곳을 마주보게 비튼 십이이십면체 (parabigyrate rhombicosidodecahedron, J73)
- 두 곳을 비껴보게 비튼 십이이십면체 (metabigyrate rhombicosidodecahedron, J74)
- 세 곳을 비튼 십이이십면체 (trigyrate rhombicosidodecahedron, J75)
- : 늘린 사각지붕(J19)과 동일
- : 늘린 비틀어 붙인 두 사각지붕(J37)과 동일
- 자른 마름모십이이십면체 (diminished rhombicosidodecahedra) (J76~J83) : 마름모십이이십면체에서 오각지붕 파트들을 잘라버리거나 비틀어 붙이는 등 조합해서 만든 다면체이다.
- 한 곳을 자른 마름모십이이십면체 (diminished rhombicosidodecahedron, J76)
- 두 곳을 마주보게 자르고 비튼 마름모십이이십면체 (paragyrate diminished rhombicosidodecahedron J77)
- 두 곳을 비껴보게 자르고 비튼 마름모십이이십면체 (metagyrate diminished rhombicosidodecahedron, J78)
- 한 곳을 자르고 두 곳을 비튼 마름모십이이십면체 (bigyrate diminished rhombicosidodecahedron, J79)
- 두 곳을 마주보게 자른 마름모십이이십면체 (parabidiminished rhombicosidodecahedron, J80)
- 두 곳을 비껴보게 자른 마름모십이이십면체 (metabidiminished rhombicosidodecahedron, J81)
- 두 곳을 자르고 한 곳을 비튼 마름모십이이십면체 (gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron, J82)
- 세 곳을 자른 마름모십이이십면체 (trigyrate rhombicosidodecahedron, J83)
2.3. 고른 다면체들의 일부를 조합해 만들 수 없는 존슨 다면체들
- 다듬은 엇각기둥 (Snub antiprism) (J84~J85) : 엇각기둥들을 다듬어서 만들 수있는 다면체들이다. 다듬기란, 어떤 다면체에서 면들을 분해한 뒤, 모서리에 해당하는 부분들을 정삼각형 두 개로 대체하여 다시 잇는 것을 말한다.
- 기타 (J86~J92) : 위 방식으로 만들 수 없는 다면체들이다.
- 쐐기꼴 왕관 (Sphenocorona, J86) : 12개의 정삼각형 면과 2개의 정사각형 면으로 이루어진 다면체. 정이십면체에서 임의의 선분과 닿아 있는 8개 정삼각형 면들을 빼버리고 그 공백을 서로 이웃한 두 정사면체로 채우면 만들어진다.
- 사각뿔이 붙은 쐐기꼴 왕관 (augmented sphenocorona, J87) : 위 다면체의 한 정사각형에 정사각뿔을 붙이면 된다.
- 큰 쐐기꼴 왕관 (sphenomegacorona, J88) : 16개의 정삼각형과 2개의 정사각형 면으로 이루어진 다면체. 두 정사각형 면을 서로 이웃한다.
- 둔한 쐐기꼴 큰 왕관 (hebesphenomegacorona, J89) : 18개의 정삼각형과 3개의 정사각형 면으로 이루어진 다면체. 세 정사각형은 일렬로 늘어서있다.
- 두 쐐기꼴로 만든 띠 (disphenocingulum, J90) : 20개의 정삼각형과 4개의 정사각형 면으로 이루어진 다면체. 두 정사각형끼리 서로 이웃한다.
- 잘라 붙인 두 오각둥근지붕 (bilunabirotunda, J91) : 8개의 정삼각형, 2개의 정사각형, 4개의 정오각형으로 이루어진 다면체. 이 다면체와 정육면체, 정십이면체를 조합하면 남김 없이 공간을 채울 수 있다.
- 오각둥근지붕을 잘라 붙인 둔한 삼면 쐐기꼴 (triangular hebesphenorotunda, J92) : 13개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 3개의 정오각형, 1개의 정육각형으로 이루어진 다면체. 정육각형을 중심으로 대칭형으로 세 방향에 정삼각형, 나머지 세 방향에 정사각형을 배치하고, 각각의 정사각형과 정삼각형들 사이를 또다른 정삼각형으로 이어준다. 그리고 뒷면을 정삼각형 1개를 중심으로 정오각형 3개를 배치하고, 그 정오각형들 사이를 정삼각형으로 이어준 다음 두 전개도를 합치면 만들어진다.
[1] 유기화학에서 배웠다면, 이 카이랄이 그 카이랄 맞다.[2] 단, 서로 이웃한 옆면에 사각뿔을 붙일 수 없다. 두 사각뿔이 이웃하게 붙은 사각기둥처럼 두 사각뿔들의 이웃한 옆면 사이의 내각이 180º를 초과하기 때문이다. 3개 이상 붙이려면 당연히 두 개 이상은 이웃하여 붙여야하기에 불가능하다. 같은 이유로 육각기둥에 대해서도 사각뿔을 이웃하게 붙일 수 없고, 사각뿔을 4개 이상 붙일 수 없다.[3] 참고로 모든 면에 정오각뿔이 붙은 정십이면체는 정이십면체다.[4] 맞붙인 쐐기꼴이란, 사면체를 말한다. 사면체는 서로 엇갈린 두 선분을 4개의 또다른 선분으로 이어 만든 엇이각기둥으로 볼 수 있다.[5] 주의사항 : 단, 쐐기꼴의 서로 마주보는 두 선분은 면처럼 취급한다. 즉, 이 두 선분만은 정삼각형으로 대체하지 않는다.