뮌하우젠 수
1. 정의
Münc(h)hausen[1] number / Münc(h)hausen 數
음이 아닌 정수 $$n$$과 $$i$$, $$\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor=k$$를 만족시키는 $$k$$, $$0\leq a_i\leq 9$$인 정수 $$a_i$$에 대하여
$$n=\displaystyle\sum_{i=0}^k 10^i a_i=\displaystyle\sum_{i=0}^k {a_i}^{a_i}\left(=\sum_{i=0}^k a_i \uparrow\uparrow 2\right)$$
[2][1] h를 한 번 쓰기도 하고 두 번 쓰기도 한다. 이에 따라 뮌하우젠 수를 '뮌'''히'''하우젠 수'라고도 한다.
을 만족시키는 정수 $$n$$을 뮌하우젠 수라고 한다. 쉽게 말해 십진법으로 나타낸 정수에 대하여, 각 자리를 그 자리 번 거듭제곱한 결과를 모두 더하면 자기 자신이 되는 정수가 뮌하우젠 수라는 뜻이다. 본래 [math(0^0)]은 정의되지 않지만, 뮌하우젠 수에서는 $$0^0=0$$으로 정의하여, 숫자 0을 포함하는 수도 뮌하우젠 수가 되도록 한다.
2. 찾는 과정
정수 $$n=\displaystyle\sum_{i=0}^k 10^i a_i$$에 대하여 $$S(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^k {a_i}^{a_i}$$으로 놓으면
곧, $$n$$이 $$m$$자리 수일 때, $$S(n)$$이 최대한 커지려면 $$m$$자리 정수 $$n$$의 모든 자릿수가 $$9$$여야 하기에 $$S(n)$$의 최댓값은 $$9^9m$$이라는 말이다.
이때 '''자연수''' $$m$$에 관한 지수방정식 $$9^9m<10^{m-1}-1$$의 해는 $$m\geq 11$$이다. 풀이
이는 11자리 이상의 정수는 무조건 $$S(n)<n$$이라는 뜻이다. 다시 말해서 $$n\geq 10^{10}$$인 정수 $$n$$은 $$S(n)=n$$이 될 여지가 없으므로 뮌하우젠 수가 아니다.
한편 $$S(n)$$은 [math(0)] 또는 양수의 양수 거듭제곱들의 합이므로 음수가 될 수 없다.[3] 따라서 음수는 뮌하우젠 수가 될 수 없다.
음수와 11자리 이상의 정수가 뮌하우젠 수가 아니라는 사실은 '''뮌하우젠 수의 개수가 유한함을 함의한다.''' 따라서 $$10^{10}-1$$ 이하의 음이 아닌 정수 $$n$$에 대해서만 계산을 실행해 보면 모든 뮌하우젠 수를 찾아낼 수 있는 셈이다.
3. 목록
원칙적으로 뮌하우젠 수는 [math(1)]과 $$3435$$밖에 없어야 한다.
$$1=1^1,\;3435=3^3+4^4+3^3+5^5$$
그러나 $$0^0=0$$으로 정의한다면 [math(0)]과 $$438579088$$도 뮌하우젠 수가 된다.
$$0=0^0,\;438579088=4^4+3^3+8^8+5^5+7^7+9^9+0^0+8^8+8^8$$
최종적으로, 뮌하우젠 수는 [math(0)], $$1$$, $$3435$$, $$438579088$$ '''딱 네 개밖에 없다.'''
3.1. 아깝게 뮌하우젠 수가 되지 않는 수
여기에서는 '''딱 한 자리의 값이 달라서''' 뮌하우젠 수가 되지 않는 수를 적는다. 단, 다음을 주의한다.
$$a_n=10^n+32$$($$n\geq 2$$)라 하면 $$a_2=132, a_3=1032, a_4=10032,\cdots$$가 된다. 그러면
따라서 $$a_n-S(a_n)=10^n$$이다. 다시 말해서, 자연수 $$a_n$$은 $$S(a_n)$$과 $$10^k$$의 자리만이 다르다는 뜻이다. 그러나 엄밀히 말하자면, $$a_n$$의 값에 관계없이 $$S(a_n)=32$$인데 이 $$32$$는 십의 자리와 일의 자리만을 갖고 있기 때문에 $$n\geq 2$$인 이상 '무슨 자리가 다르다'라고 얘기할 수조차 없다. 자리가 있어야 얘기를 하든 말든 할 것 아닌가. 이러한 이유와 함께, $$10^n+32$$($$n\geq 2$$) 꼴의 자연수는 무수히 많으므로 아래의 목록에는 적지 않는다.
한편, 이런 수들 중에서는 $$18574367$$과 $$18577465$$처럼 자리의 값이 서로 유사한 수들이 많다.
3.1.1. 일의 자리
$$3^3+2^2=3\boldsymbol\red1$$
- $$3437833\boldsymbol\red8$$
- $$43858908\boldsymbol\red7$$
3.1.2. 십의 자리
- $$168244\boldsymbol\red33$$
- $$176508\boldsymbol\red34$$
- $$4385890\boldsymbol\red78$$
3.1.3. 백의 자리
- $$16824\boldsymbol\red343$$
- $$18477\boldsymbol\red565$$
3.1.4. 천의 자리
- $$1682\boldsymbol\red3443$$
- $$1847\boldsymbol\red5367$$
3.1.5. 만의 자리
- $$11798\boldsymbol\red92492$$
- $$11799\boldsymbol\red98665$$
3.1.6. 십만의 자리
- $$1\boldsymbol\red750217$$
- $$1\boldsymbol\red750472$$
- $$18\boldsymbol\red574367$$
- $$18\boldsymbol\red577465$$
- $$18\boldsymbol\red617617$$
3.1.7. 천만의 자리
- $$\boldsymbol\red26824423$$
[3] (음수)(음수)는 정수가 아닌 유리수(음의 정수) 혹은 허수(정수가 아닌 음수)이다. (예) $$(-2)^{-2} = \dfrac14 ,\, \left(-\dfrac12 \right)^{-\frac12} = -\sqrt{2}i$$) 유일한 예외로, $$-1$$의 자기제곱은 자기 자신이 된다($$(-1)^{-1} = \dfrac{1}{-1} = -1$$).