0의 0제곱

1. 개요

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0의 0제곱 즉, $$0^0$$은 일반적으로 정의되지 않는 값이다.
복소수 $$z$$에 대하여

$$z^0 \equiv \dfrac zz $$

로 정의하는데, $$0/0$$은 그 값을 하나로 정할 수 없기 때문이다.[1]

2. 극한값

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2.1. x^x의 극한

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우리가 고려하는 값 $$0^0$$은 다음처럼 극한으로 생각해볼 수 있다.

$$\displaystyle 0^0=\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} $$

[1] 같은 원리로 $$0^z (z<0)$$도 정의되지 않는다.

이 때,

$$\displaystyle x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x} $$

이고, $$x\equiv t^{-1} $$로 잡으면 $$x\to0^+$$, $$t\to\infty$$가 되므로

$$\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{t\to\infty} \exp \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) $$

이다. 이 때, 지수의 극한값은 로피탈의 정리에 의해

$$\displaystyle \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) \overset{\mathsf{l'H\hat{o}pital}}{=} \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac1t \biggr) = 0$$

이 됨에 따라

$$\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = e^0 = 1$$

이 된다. 그러나 불행히도 좌극한은 정의되지 않기 때문에 $$0^0$$은 정의되지 않는다.

2.2. y^x의 극한

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그렇다면, 이변수함수 $$f(x,\,y)=y^x$$은 어떨까? 우리가 고려하는 값을 다음과 같이 생각해볼 수 있다.

$$\displaystyle 0^0 = \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) $$

$$y=0$$이라는 조건에서 이 극한을 생각하면

$$\displaystyle \lim_{x\to0} 0^x = 0$$

이 되고, 반대로 $$x=0$$이라는 조건을 따라서 생각하면

$$\displaystyle \lim_{y\to0} y^0 = 1$$

이 된다. 즉, 극한이 진행하는 방향에 따라 그 극한값이 달라지기 때문에 $$\displaystyle \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) $$는 정의되지 않으므로 $$0^0$$의 값은 정할 수 없다.

2.3. 무한 번 제곱한다면?

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우선 다음을 정의하자.

$$a^a=a\uparrow\uparrow2,\, a^{a^a}=a\uparrow\uparrow3,\, \cdots,\, \overset{n}{\overbrace{a^{a^{\cdots^a}} }}=a\uparrow\uparrow n$$

이를 테트레이션(tetration)이라고 한다. 덧셈, 곱셈, 지수에 이은 4차 연산이라는 의미이다.
그리고 이 연산에서 $$n$$을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a \uparrow\uparrow n = -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} $$

여기서 $$\ln$$은 자연로그, $$W$$는 람베르트 $$W$$ 함수이다.
이제 $$a$$에 [math(0)]을 대입해 보자. 여기서 $$\displaystyle \lim_{x\to0^+} (-\ln x) = \infty$$이고 $$\displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x) = \infty$$이므로 결국 위 극한은 $$\dfrac{\infty}{\infty}$$의 부정형이 된다.
여기서 부정형의 극한값을 구하기 위해 로피탈의 정리를 적용하면, 최종적으로 무한 번의 [math(0)]제곱은 [math(0)]에 수렴한다는 사실을 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \lim_{a\to0^+} \biggl( -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} \biggr)
\overset{\mathsf{l'H\hat{o}pital}}{=} 0)]

3. 편의상 값을 정하는 경우

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엄밀하게는 정의되지는 않지만, 편의상 $$0^0=1$$로 놓는 경우가 많으며, $$0^{-n}=\infty \,(n \in \mathbb{N}) $$로 는 경우도 많다.
엄밀한 증명이 필요치 않은 경우, 그 값을 1로 둬도 문제되지 않으며, 계산의 편의성이 증가한다. 아래에서는 그 값을 1로 두는 3가지 흔한 경우를 소개하며, 여기에서 더 많은 예시를 볼 수 있다.

3.1. 다항식

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다항식 $$f(x) $$를

$$\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k $$

의 형태로 표현하고자 할 때, $$x$$의 값에 관계없이 $$x^0=1$$이라 놓으면 편리하다. 그렇기 때문에 다항식을 다룰 때 $$0^0=1$$이라 정의하는 경우가 많다.

3.2. 함수의 개수

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두 집합 $$X$$, $$Y$$에 대하여 각 집합의 원소의 개수를 각각 $$x$$, $$y$$라 하자. 그런데 만약 두 집합이 모두 공집합이라면, $$X \to Y$$인 함수는 순서 모음 $$ (\varnothing,\,\varnothing,\,\varnothing) $$으로 단 하나 존재한다. 이런 관점에서 $$0^0=1$$이라 정의할 수 있다.
그렇기 때문에, 초한기수 문서에도 기재돼 있지만, 기수의 지수 연산에서는 $$0^0=1$$로 '''정의된다.'''

3.3. 중복 순열

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마찬가지로, 0개에서 0개를 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수는 사실상 '그냥 안 뽑는 것' 딱 한 가지이다. 따라서 조합론의 관점에서는 명백히 $$0^0=1$$로 생각할 수 있다.

3.4. 뮌하우젠 수

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뮌하우젠 수에서는 $$0^0=0$$으로 정의한다. 해당 문서 참고.

4. 기타

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• 극한에서 대표적인 부정형 중 하나이다.[2]
• 많은 계산기 프로그램에서 $$0^0=1$$이 된다. 추측건대, 계산기가 모든 수의 0제곱을 1로 인식해서 그런 듯하다. 카시오 공학계산기에서는 'Math Error'라며 계산을 거부한다. Wolfram Alpha 역시 '정의되지 않은 값'이라는 결과를 표시한다.

5. 관련 문서

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• 0으로 나누기
• 제곱
• 0

[2] 다른 부정형으로는 $$1^{\infty}$$, $$0/0$$ 꼴 등이 있다.