바젤 문제

1. 개요

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Basel problem
'''바젤 문제'''는 이탈리아 수학자 Pietro Mengoli가 제시한 수열의 합 문제이다. 이름 '바젤 문제'는 이 문제를 오랫동안 공략한 야코프 베르누이가 근무하였던 바젤대학교에서 유래하였다.

2. 문제

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'''[ 문제 ]''' Pietro Mengoli(1650)[1] 무한급수 $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2}$$의 값을 닫힌 형식으로 구하시오.

3. 분석

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비슷하지만 훨씬 쉬운 문제로,

$$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n(n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac 1n - \frac 1{n + 1} \right) = 1$$
$$\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 1{n^2 - 1} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 1{(n - 1)(n + 1)} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 12 \left( \frac 1{n - 1} - \frac 1{n + 1} \right) = \frac 34$$

[1] 야코프 베르누이가 제안한 문제로 알려져 있는데, 사실은 그 이전부터 유명했다.

이 있다. 이 두 사실과 비교판정법을 사용하면, 급수 $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2}$$이 수렴한다는 사실은 쉽게 알 수 있다. 하지만 정확한 수렴값은 알려져 있지 않았고, 심지어 수렴 속도도 상당히 느린 편에 속해 많은 수학자들이 계산에 어려움을 겪었다. 그렇게 답보 상태가 지속되던 가운데 1734년 레온하르트 오일러에 의해 정답 $$\dfrac {\pi^2}6$$이 제시되었으며, 현재는 다양한 풀이 방법이 알려져 있다.
이 문제로부터 시작하여, 수학자들은 제타 함수 $$\zeta (s) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^s}$$을 정의하여 그 성질을 연구하기 시작했고 여기서 나온 유명한 가설이 리만 가설이다. 함수의 단순해 보이는 외형과 달리, 베른하르트 리만의 타계 이후 200여 년이 지난 지금까지도 풀릴 기미조차 안 보이는 희대의 난제.

4. 풀이

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'''[ 풀이 1 ]''' 레온하르트 오일러의 풀이(1734)[2] [ 아이디어 ] 방정식 $$\sin x = 0$$을 다항식이었다고 생각해 보자. 그렇다면 이는 $$x = n \pi(n \in \mathbb Z)$$를 근으로 가지므로, 적당한 상수 $$A, A'$$에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.[3] $$\sin x = A \cdot \displaystyle \prod_{n \in \mathbb Z} (x - n\pi) = A \cdot x \cdot \prod_{n \in \mathbb Z - \left\{ 0 \right\}} (x - n\pi)$$ $$\displaystyle \frac {\sin x}x = A' \cdot \prod_{n \in \mathbb Z - \left\{ 0 \right\}} (1 - \frac x{n\pi})$$ $$= A' \cdot \displaystyle \prod_{n \in \mathbb N} (1 + \frac x{n\pi})(1 - \frac x{n\pi}) = A' \cdot \prod_{n \in \mathbb N} (1 - \frac {x^2}{n^2 \pi^2})$$ 마지막 식에서, 양 변에 $$x \to 0$$인 극한을 취하면 좌변이 $$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac {\sin x}x = 1$$이고, 우변은 $$A'$$이므로 $$A' = 1$$. $$\sin x = x - \dfrac {x^3}6 + \dfrac {x^5}{120} - \cdots$$임에 유의하면서, 등식 $$\displaystyle \frac {\sin x}x = \prod_{n \in \mathbb N} (1 - \frac {x^2}{n^2 \pi^2})$$의 2차항을 비교해 보면 $$\displaystyle - \frac 16 = \sum_{n = 1}^{\infty} - \frac 1{n^2\pi^2}, \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2} = \frac {\pi^2}6$$ 이다. 오일러는 이 방법을 이용하여 $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^4} = \frac {\pi^4}{90}$$과 $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^6} = \frac {\pi^6}{945}$$ 등도 계산해 내었다.□

'''[ 풀이 2 ]''' 푸리에 급수를 이용한 풀이 [ 풀이 ] 주기함수 $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$을 $$f \rvert _{[-\pi, \pi]}(x) = x^2$$이도록 정의하자. 이 함수의 푸리에 급수는 $$S_N(f)(x) = \displaystyle \frac {\pi^3}3 + \sum_{n = 1}^{N} (-1)^n \frac 4{n^2} \cos nx$$ 이다. 푸리에 계수들의 합이 유한하므로, $$N \to \infty$$일 때 $$S_N(f)$$가 $$f$$로 균등수렴한다. 따라서 위 등식에 $$x = \pi$$를 대입 후 $$N \to \infty$$인 극한을 취하면, $$\pi^2 = f(\pi) = \displaystyle \frac {\pi^3}3 + \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac 4{n^2} \cos n \pi = \frac {\pi^3}3 + \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac 4{n^2} (-1)^n$$ 이다. 위 등식을 정리하면 $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2} = \frac {\pi^2}6$$을 얻는다.□

'''[ 풀이 3 ]''' 오귀스탱 루이 코시의 풀이 [ 풀이 ] 드 무아브르 공식과 이항정리에 의해, $$\begin{aligned} \dfrac {\cos (2n + 1)x + i \sin (2n + 1)x}{\sin^{2n + 1} x} & = \dfrac {(\cos x + i \sin x)^{2n + 1}}{\sin^{2n + 1} x} \\ & = (\cot x + i)^{2n + 1} \\ & = \displaystyle \sum_{r = 0}^{2n + 1} \binom {2n + 1}r i^r \cot^{2n + 1 - r} x \\ \dfrac {\sin (2n + 1)x}{\sin^{2n + 1} x} & = \displaystyle \sum_{r = 0}^{n} \binom {2n + 1}{2r + 1} (-1)^r \cot^{2(n - r)} x \end{aligned}​$$ 를 얻는다.[4] 수열 $$\left\{ x_k \right\}_{1 \leq k \leq n}$$을 $$x_k = \dfrac {k \pi}{2n + 1}$$라 정의하면, $$\sin (2n + 1)x_k = 0$$이다. 그러므로 $$x = x_k$$를 대입하면, $$\displaystyle \sum_{r = 0}^{n} \binom {2n + 1}{2r + 1} (-1)^r \cot^{2(n - r)} x_k​ = \frac {\sin (2n + 1)x_k}{\sin^{2n + 1} x_k} = 0, \ \ 1 \leq k \leq n$$ 이다. 따라서 $$n$$차 다항식 $$f(z) = \displaystyle \sum_{r = 0}^{n} \binom {2n + 1}{2r + 1} (-1)^r z^{(n - r)}​$$이 주어졌을 때, 이 $$f(z) = 0$$은 $$z = \cot^2 x_k$$들을 근으로 가지는 것을 확인할 수 있다. 이는 각 $$1 \leq k \leq n$$에 대하여 모두 다르므로, 정확히 $$\left\{ \cot^2 x_k \right\}_{1 \leq k \leq n}$$가 $$f(z) = 0$$의 모든 근이 된다. 근과 계수의 관계에 의해, $$\displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \cot^2 x_k = \frac {\binom {2n + 1}{3}}{\binom {2n + 1}{1}} = \frac {2n(2n - 1)}6$$ 을 알 수 있다. 또 $$\csc^2 x = \cot^2 x + 1$$이므로, $$\displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \csc^2 x_k = \frac {2n(2n - 1)}6 + n = \frac {2n(2n + 2)}6$$ 이다. 한편, $$0 < x < \dfrac {\pi}2$$이면 $$\sin x < x < \tan x$$, $$\cot^2 x < \dfrac 1{x^2} < \csc^2 x$$이므로 $$\begin{matrix} \displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \cot^2 x_k & < & \displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \frac 1{x_k^2} &<& \displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \csc^2 x_k \\ \dfrac {2n(2n - 1)}6 & < & \displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \frac {(2n + 1)^2}{k^2 \pi^2} & < & \dfrac {2n(2n + 2)}6 \\ \dfrac {2n(2n - 1)}{(2n + 1)^2} \cdot \dfrac {\pi^2}6 & < & \displaystyle \sum _{k = 1}^{n} \frac 1{k^2} & < & \dfrac {2n(2n + 2)}{(2n + 1)^2} \cdot \dfrac {\pi^2}6 \end{matrix}$$ 을 얻는다. 마지막 부등식에 극한 $$\lim \limits_{n \to \infty}$$를 취하면, $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^2} = \frac {\pi^2}6$$을 얻는다.□

[2] 오일러의 아이디어는 현대 수학을 기준으로 완전한 풀이라 말하기에는 조금 부족한 면이 있다. 이는 오일러가 상당한 직관주의자였음에 기인한다.