이항정리

1. 개요

---

binomial theorem ・ 二項定理
$$(a+b)^{n}$$($$n$$은 음이 아닌 정수)의 꼴을 전개할 때 쓰이는 정리이다. 이항정리의 '이항'은 '두 개의 항(二項)'이라는 뜻이며, '항을 옮긴다'(移項)는 뜻이 아니다.
이것의 증명에는 파스칼의 정리를 이용하는 방법과 테일러 급수를 이용하거나, 경우의 수를 이용하는 방법이 있다. 이 문서에서는 마지막 방법을 쓴다.
이 문서에서 조합은 $${}_{n}\mathrm{C}_{r}$$ 대신 국제적으로 많이 사용되는 $$\binom{n}{r} $$로 표기했다.

1.1. 이항계수

---

'''이항계수(binomial coefficient)'''란, $$(a+b)^{n}$$의 꼴의 다항식을 전개했을 때, $$a^{r}b^{n-r}$$($$0 \leq r \leq n$$인 정수)의 계수를 의미하며, 다음과 같다.

$$\displaystyle \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!} $$

이것의 증명은 다음을 이용하면 된다.

$$\displaystyle (a+b)^{n}=\underbrace{(a+b)(a+b)\cdot \cdots \cdot (a+b)}_{n \text{ arguments}} $$

$$a^{r}b^{n-r}$$의 계수는 곧 $$a$$, $$b$$를 중복을 허락하고, 두 문자를 일렬로 $$n$$개 배열하는 경우의 수와 같다.[1] 따라서

$$\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

[1] 한국의 교육과정의 용어를 빌려 말하면, 곧 이것은 같은 것이 있는 순열의 경우와 동치이다.

이고, 이것은 곧 조합의 정의와 같으므로 $$a^{r}b^{n-r}$$의 계수는 다음과 같다.

$$\displaystyle \binom{n}{r} $$

1.2. 이항정리

---

따라서 $$(a+b)^{n}$$의 꼴의 다항식을 전개하면 다음과 같은데, 이를 '''이항정리'''라 한다.

$$\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{r}b^{n-r} $$

2. 이항계수의 성질

---

아래는 고교과정 수준에서 이항정리를 이용해 얻을 수 있는 이항계수의 성질들이다.[2] 일종의 조합론에서 쓰이는 생성함수 테크닉에 가깝지만, 교과과정에서는 당연히 '생성함수'라는 말을 언급하진 않는다.
아래의 문단의 결과를 모두 정리하면 다음과 같다.

• $$\displaystyle \sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n$$
• $$\displaystyle \sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}=0$$
• $$\displaystyle \binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots=2^{n-1}$$
• $$\displaystyle \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1}$$
• $$\displaystyle \binom{2n}{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}^2$$
• $$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}$$
• $$\displaystyle \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r}$$
• $$\displaystyle \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}= F_n$$은 피보나치 수열을 이룬다.
• $$\displaystyle \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1}$$
• $$\displaystyle \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}$$
• $$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} \dfrac 1 {r+1} \binom{n}{r} = \dfrac 1 {n+1} 2^{n+1}$$
• $$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} (-1)^{r+1} \dfrac 1 {r+1} \binom{n}{r} = 0$$

2.1. 성질 1

---

다항식 $$(x+1)^{n}$$을 이항정리로 나타내면

$$\displaystyle (x+1)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{r} $$

[2] 따라서 Vandermonde convolution $$ \displaystyle \binom{n+m}{r} = \sum \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} $$ 등의 다양한 이항계수 항등식들이 빠져 있다.

이것은 항등식이므로 $$x$$에 무엇을 대입하여도 성립한다. $$x=1$$을 대입하면,

$$\displaystyle 2^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} \qquad \cdots \; \text{(a)} $$

이번에는 $$x=-1$$을 대입하면,

$$\displaystyle 0=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}(-1)^{r} \qquad \cdots \; \text{(b)} $$

$$ (\text{(a)}+\text{(b)})/2 $$를 하면, 홀수 번째 항의 합이 된다.

$$\displaystyle 2^{n-1}= \binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots$$

$$ (\text{(a)}-\text{(b)})/2 $$를 하면, 짝수 번째 항의 합이 된다.

$$\displaystyle 2^{n-1}= \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots$$

2.2. 성질 2

---

이번에는 다항식 $$(x+1)^{2n}$$을 보자.

$$\displaystyle (x+1)^{2n}=(x+1)^{n}(x+1)^{n}$$

양변의 $$n$$차항의 계수를 비교하면,

$$\begin{aligned}\displaystyle \binom{2n}{n}&=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n}\binom{n}{0}\\&={\binom{n}{0}}^{2}+{\binom{n}{1}}^{2}+{\binom{n}{2}}^{2}+\cdots+{\binom{n}{n}}^{2}\\&=\sum_{r=0}^{n} {\binom{n}{r}}^{2} \quad \left( \because\binom{n}{n-r}=\binom{n}{r} \right)\end{aligned}$$

2.3. 성질 3

---

$$\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r} $$

위의 파스칼의 정리를 사용하여도 여러 성질이 유도된다.

$$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{r}=\binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r+1} $$

을 증명하면 아래와 같다.

[math(\displaystyle \displaystyle \begin{aligned} &\underbrace{\binom{0}{r+1}+\binom{0}{r}}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}
\\&=\,\,\,\underbrace{\binom{1}{r+1}+\binom{1}{r}}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}
\\&=\,\,\,\quad \,\,\,\, \underbrace{\binom{2}{r+1}+\binom{2}{r}}_{ \binom{3}{r+1}}+\cdots+\binom{n}{r}
\\&=\cdots
\\&= \underbrace{\binom{n}{r+1}+\binom{n}{r}}
\\&= \,\,\,\quad \,\binom{n+1}{r+1} \end{aligned} )]

비슷한 방법으로 다음을 증명할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{r} &=\binom{n+1}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{r} \\ &=\binom{n+r+1}{r} \quad \left( \because\displaystyle \binom{n}{0}=\binom{n+1}{0} \right) \\ \\ \therefore\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n+k}{r}&=\binom{n+r+1}{r} \end{aligned} $$

2.4. 성질 4

---

$$\displaystyle F_{n} = \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n} $$

위와 같이 정의되는 수열 $$F_{n}$$은 피보나치 수열이다. $$F_{0}=F_{1}=1$$이고, 파스칼의 정리에 의하여 다음이 성립한다.

$$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$$

2.5. 성질 5

---

이번에는 $$(1+x)^{n}$$을 미분해 보자.

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} {x}^{r-1}=n(1+x)^{n-1} \qquad \cdots \text{(c)} $$

$$ \text{(c)}$$에 $$x=1$$을 대입하면

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r}=2^{n-1}n $$

한편 $$ \text{(c)}$$에 $$x=-1$$을 대입하면

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} (-1)^{r-1}=0 $$

$$ \text{(c)}$$를 한 번 더 미분하여 $$x=1$$을 대입하면

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} r^{2} \binom{n}{r}=2^{n-2}n(n+1) $$

$$\displaystyle (x+1)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{r} $$

을 적분하여 $$x=1$$을 대입하면

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} \dfrac 1 {r+1} \binom{n}{r} x^{r+1} = \dfrac 1 {n+1} (x+1)^{n+1}$$

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} \dfrac 1 {r+1} \binom{n}{r} = \dfrac 1 {n+1} 2^{n+1}$$

$$x=-1$$을 대입하면

$$\displaystyle \sum_{r=0}^{n} (-1)^{r+1} \dfrac 1 {r+1} \binom{n}{r} = 0$$

한편,

$$\displaystyle (x+1)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{r} $$

식에 허수단위 $$\displaystyle i$$를 대입하면

$$\displaystyle \begin{aligned} (i+1)^{n}&=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} i^{r}\\& = \left \{ \binom{n}{0} - \binom{n}{2} + \binom{n}{4} - \cdots \right \} + i \left \{ \binom{n}{1} - \binom{n}{3} + \binom{n}{5} - \cdots \right \} \end{aligned}$$

위 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \Re((i+1)^{n})&= \binom{n}{0} - \binom{n}{2} + \binom{n}{4} - \binom{n}{6} + \cdots \\ \Im((i+1)^{n})&=\binom{n}{1} - \binom{n}{3} + \binom{n}{5} - \binom{n}{7} + \cdots \end{aligned}$$

이때, $$\Re(z)$$, $$\Im(z)$$은 각각 복소수 $$z$$의 실수 부분, 허수 부분이다.

3. 다항정리

---

이항정리는 항이 2개일 때 사용한다면, 다항정리는 항이 3개 이상일 때 사용한다. 다음과 같은 꼴의 다항식을 고려하자.

$$\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{m})^{n} $$

$$x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}} \cdot \cdots \cdot x_{m}^{n_{n}}$$ (단, $$\sum_{k=1}^{n}n_{k}=n$$)의 계수를 구하고 싶다면, 이항정리 때의 논법과 유사하게 $$x_{1} \sim x_{n}$$을 중복을 허락하여 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 그 계수는 다음과 같다.

$$\displaystyle \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! \cdot \cdots \cdot n_{n}!} $$

따라서 다항정리는 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} &(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{m})^{n} \\ &=\sum \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! n_{3}! \cdot \cdots \cdot n_{m}!} x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}} \cdot \cdots \cdot x_{m}^{n_{m}} \end{aligned}$$

4. 일반화된 이항계수와 뉴턴의 이항정리

---

고교과정을 넘어서면, $$\binom{n}{r}$$ 중 $$n$$이 정수가 아닐 때도 정의되기 때문에 이항정리를 일반화할 수 있다. 다만, 여전히 $$r$$이 음이 아닌 정수이어야 한다. 따라서 다음의 조합의 정의에 따라

$$\displaystyle \binom{n}{r}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot \cdots \cdot (n-r+1)}{r!} $$

$$n=b/a$$일 때의 이항계수는

$$\displaystyle \binom{b/a}{r}=\frac{b!_{a}}{r!a^{r}(b-ar)!_{a}} $$

로 일반화된다. 여기서 $$N!_{p}$$는 $$p$$중 계승으로 정의되고,

$$\displaystyle N!_{p} \equiv \prod_{m=0}^{\lfloor\left(N-1\right)/p\rfloor} \left(N-mp\right) $$

혹은

$$\displaystyle N!_{p} \equiv \prod^{\forall{g}\equiv N\pmod{p}} g $$[3]

[3] $$g$$는 법 $$p$$에 대해서 $$N$$ 이하의 0을 포함하는 모든 양의 정수 중 $$N$$과 합동인 정수들의 곱

으로 정의된다.
뉴턴은 이를 이용해서 이항정리의 일반화된 버전을 증명하였는데, 실수 혹은 복소수 $$z$$에 대하여 다음의 전개식

$$\displaystyle \displaystyle (z+1)^n = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n}{r} z^r $$

이 성립한다는 것이 그것이다. 증명은 테일러 정리를 사용하면 바로 나오게 된다.[4]
사실 이 이항정리 자체보다는 더 큰 의미를 갖는 것은 이항계수 성질의 확장이다. 파스칼 항등식, 하키스틱 성질 등등 이항계수에서 성립하는 성질들 대부분은 (확장할 수 있으면) 일반화된 이항계수에서 무조건 성립한다. 어찌 보면 당연한 게 이항계수도 어쨌든 $$n$$에 대한 다항식이므로, 다항식 등식이 양의 정수값에 대해 같은 값을 가진다면 항등식이 되는 게 맞다. 하지만 실제로 $$n$$에 음의 정수나 유리수 등을 넣어서, 카탈란 수나 중복조합 등등을 유의미하게 계산해내고, 이들의 성질을 자연수에서 성립하는 이항계수 성질의 유추로 증명하는 건 단순히 조합만으로는 납득하기 힘든 강력한 도구가 되곤 한다.
만약 $$n$$, $$r$$이 모두 정수가 아닐 경우[5] 베타 함수로 이항계수를 정의해야 한다.

5. 1학년의 꿈

---

6. 관련 문서

---

• 경우의 수
• 순열
• 조합
• 파스칼의 삼각형
• 베타 함수

[4] 다만, 그 전에 실수 혹은 복소수 지수가 무엇인지 엄밀한 정의가 필요하긴 하다.

[5] 물론 $$n$$, $$r$$은 0보다 커야 한다.