분배법칙
分配法則 / Distributivity
1. 개요
수학에서 쓰는 용어 중 하나.
집합 S와 S에 대해 닫혀있는 이항 연산 *가 정의되어 있을 때, S의 임의의 원소 a, b, c에 대해
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)가 성립하면 좌분배법칙이,
(b + c) * a = (b * a) + (c * a)가 성립하면 우분배법칙이 성립한다고 하며
양쪽모두 성립할 경우 집합 S에서 연산 *에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다.
반례가 하나라도 나온다면 분배법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.
착각하면 안되는 것이, 분배법칙은 교환법칙과 무관하다, 일반적인 교환법칙이 성립하지 않는 경우야 당연하지만, 심지어 a * (b + c) ≠ (b + c) * a더라도 여전히 성립가능하다.
대표적인 예시가 행렬과 사원수로, 2009년 개정 교육과정 그러니까 아직 행렬이 고교수학에 남아 있던 시절의 학생이라면 교과서에서 대놓고 행렬에서 분배법칙이 성립한다고 쓰여있는 것을 보았을 것이다.
2. 다항식의 분배법칙
연산자 앞뒤로 항이 2개씩 이상 있을 경우, 다음을 따른다.
(a + b) * (c + d) = (a * c) + (a * d) + (b * c) + (b * d)
만약 교환법칙도 성립한다면 다음의 법칙도 성립함을 알 수 있다. 자세한 사항은 인수분해 참조.
- (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
- (a + b)(a - b) = a2 - b2
3. 분배법칙이 일반적으로 성립하는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.
× (곱셈)
· (내적: 벡터 범위)
* (합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)
× (외적: 벡터 범위)
× (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
× (곱셈: 사원수 범위)
∘ (아다마르 곱: 행렬 범위)
4. 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.
+ (덧셈)
- (뺄셈)
÷ (나눗셈, 당연히 0으로 나누면 안 된다.)[1]
^ (제곱)
↑↑ (테트레이션)
∘ (둘 이상의 함수의 합성)[1]
# (연결합: 위상)