사원수
1. 개요
Quaternion· 四元數
해밀턴 회로를 발견한 영국의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴이 창시한 수 체계. 복소수가 허수 단위 $$i$$를 도입했듯 새로운 단위 $$j$$, $$k$$를 도입한 것이다. 복소수를 도입할 때 $$x^{2} = -1$$이라는 대수 방정식의 해로 허수 $$i$$를 정의했다. 그렇다면 관점을 살짝 다르게 하여 「허수라고 $$i^{2}=-1$$이라는 수를 새로 만들었는데, 그럼 $$i$$와는 다르지만 $$j^{2}= -1$$인 수를 추가하여 3차원 공간을 표현하는 수를 만들 수는 없을까?」 이러한 관점에서 출발한 것이 사원수군이다.
신기하게도 $$i$$, $$j$$만 있는 삼원수는 없다. 이는 $$1$$, $$i$$, $$j$$ 만으론 환이 형성되지 않기 때문이다. 즉, $$a+bi+cj$$ 라는 삼원수를 제곱하면 $$ij$$ 와 $$ji$$라는 새로운 단위가 나오기 때문에[1] 이를 나타내기 위한 또 다른 단위 $$k$$가 필요하게 되어 필연적으로 사원수가 만들어진다.
여기서 다음의 허수단위가 정의된다.
$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$
당연히 $$i, j, k$$가 서로 같지 않다는 조건도 추가로 필요하다.$$i \neq j, j \neq k, k \neq i$$
$$j$$, $$k$$ 도 $$i$$와 같이 제곱하면 $$-1$$이지만 $$i$$와는 다른 단위이며 '''곱셈의 교환 법칙이 성립하지 않는다'''. 아래와 같은 식이 성립된다. 그래서 체가 아닌 꼬인체(Skew field)에 속한다.$$jk = -kj = i$$
$$ki = -ik = j$$
$$ij = -ji = k$$
단위사원수의 곱셈을 한 눈에 보기 편하게 표로 정리하면 다음과 같다.$$ki = -ik = j$$
$$ij = -ji = k$$
한편 많은 3D 그래픽 프로그래밍 서적에서는 벡터 표기법을 살짝 응용해서 $$a + v_1 i + v_2 j + v_3 k$$를 $$a + \mathbf{v}$$로 쓰기도 한다. 여기서 $$\mathbf{v}$$는 각 성분이 $$v_1$$, $$v_2$$, $$v_3$$인 3차원 벡터이다. 이 표기대로 썼을 때 다음이 성립함을 알 수 있다. 사실 창시자인 해밀턴부터 이 표기를 썼고 심지어 사원수를 실수부인 스칼라와 허수부인 벡터의 합이라고 표현하기도 했다.
$$\displaystyle (a + \mathbf{v})(b + \mathbf{w}) = ( ab - \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} ) + a\mathbf{w} + b\mathbf{v} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}$$.
여기서 $$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$$, $$\mathbf{v} \times \mathbf{w}$$는 각각 잘 알려진 두 3차원 벡터의 스칼라곱(내적), 벡터곱(외적)이다.
사원수를 나타내는 집합은 고안자의 이름을 따서 $$\mathbb{H}$$ 로 표현한다. $$\mathbb{Q}$$는 이미 유리수('''Q'''uotient) 집합 표현으로 이미 쓰고 있는지라(...) 어쩔 수가 없다.
2. 응용
$$\left\{1, i\right\}$$의 복소수로 좌표를 쓸 수 있듯 사원수군의 원소들을 이용해 좌표처럼 쓸 수 있다.
복소수와 마찬가지로 $$a+bi+cj+dk$$로 표현한다. (위의 사원소군의 경우에는 정의되는 연산이 곱셈뿐이지만 여기서는 덧셈과 곱셈을 가지는 환(ring) 구조를 가진다; 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈 모두 결합법칙이 성립하고, 분배법칙이 있다.) 또한 실수 상수곱(scalar multiplication) 이 당연한 방법으로 정의되며 다른 두 연산과 서로 순서를 바꾸어 계산해도 결과가 같으므로, 이는 실수 체 위의 (1을 갖는) 대수(algebra)가 된다.
$$R$$(실수 체)-위의 사원수 대수는 대표적인 central division algebra이며, 19세기 후반(!)에 Frobenius는 이미 실수 체 위의 central division algebra[2]가 실수 체 $$R$$과 사원수 대수 $$H$$ 둘 뿐임을 (유식하게는 Brauer group $$\text{Br}\left(R\right)$$을 $$Z/2Z$$로 이해할 수 있음을) 보였다.[3] 이는 실수 계수 이차 형식(quadratic form)을 연구하는 데도 도움이 된다.[4]
또한 복소수가 평면에서의 회전을 나타내는 데 쓰이는 반면[5] 사원수는 공간에서의 회전을 나타내는 데 쓰인다.[6] 구체적인 공식은 다음과 같다.
실제로 벡터가 수학계에 등장하기 전까지 3차원 공간에서의 회전 변환을 행렬보다 훨씬 더 효율적으로 설명할 수 있었던 유일한 해결책이었고, 이를 제대로 이용한 곳은 '''이드 소프트웨어'''였다.[8] 물론 벡터가 나왔다고 사원수가 사장된 건 아니고, 사원수 자체가 벡터의 일종이기 때문에 범위를 확장했다 보면 된다. 실제로도 두 사원수의 벡터곱을 연산하면 행렬이 나온다. 그리고 이 개념이 컴퓨터에 쓰이면서 이 행렬연산만을 전문으로 하는 카드, 즉 그래픽 카드가 탄생하게 되었다. CUDA, OpenCL 등의 GPGPU는 이런 사원수 연산을 3D 연산에서 일반 연산으로 확장시킨 것.$$u = ai+bj+ck$$ 가 공간상의 단위벡터이고 (즉 $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$$)
$$v= v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k$$ 가 공간상의 벡터이면
$$q = \cos\left(t/2\right) + \sin\left(t/2\right)u$$ 및 $$q^{-1} = \cos\left(t/2\right) - \sin\left(t/2\right)u$$에 대해
$$q v q^{-1}$$ 는 $$v$$를 $$u$$를 축으로 $$t$$만큼 회전한 결과이다.[7]
사원수 $$ a + bi + cj + dk $$는 당연히 4차 실행렬로도 표현이 가능하다.
$$\left(\begin{array}{rrrr} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{array}\right)$$
2차 복소행렬로도 가능하다.
$$\left(\begin{array}{cc} a+bi & c+di \\ -c+di &a-bi \end{array}\right)$$
2.1. 회전 공식의 증명
사원수로 주어진 벡터를 회전시키는 공식이 소개되어 있다. 이 공식을 증명해 보자. 두 가지 증명을 소개할 것인데, 두번째는 수준이 높아서 숨겨 놓는다.
몇 가지 가정을 하자. 우선 $$v$$와 $$u$$가 나란하지 않다는 것이다. 만약 나란하다면 사실 더 할 게 없는데, 축과 나란한 벡터를 회전시켜봤자 원래 벡터가 나오기 때문이다. 그리고 편의 상 $$v$$가 단위 벡터라고 하자. 어차피 선형성 때문에 이 경우에만 증명을 해도 충분하기 때문이다. 이제, 위의 $$qvq^{-1}$$을 전개해 보자.
$$\displaystyle qvq^{-1} = ((\cos{(t/2)}) + (\sin{(t/2)}) u) v ((\cos{(t/2)}) - (\sin{(t/2)}) u)$$
$$\displaystyle = ((\cos{(t/2)}) v + (\sin{(t/2)}) uv) ((\cos{(t/2)}) - (\sin{(t/2)}) u)$$
$$\displaystyle = ((\cos^2{(t/2)}) v + (\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) uv - (\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) vu - (\sin^2{(t/2)}) (uv)u$$.
여기서 $$uv$$, $$vu$$, $$(uv)u$$는 모두 사원수 곱들이다. 한편, 위에서 소개한 식 덕분에 다음을 알 수 있다.
$$\displaystyle uv = -\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}$$,
$$\displaystyle vu = -\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} + \mathbf{v} \times \mathbf{u}$$,
$$\displaystyle (uv)u = (-\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v})u = -(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{u}$$.
여기서 $$\mathbf{y} = \frac{1}{||\mathbf{u} \times \mathbf{v}||} (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$$라고 표기하겠다. $$\mathbf{v}$$와 $$\mathbf{u}$$가 나란하지 않다고 가정했기 때문에 이는 잘 정의된다. 한편, $$\mathbf{v}$$와 $$\mathbf{u}$$가 이루는 각을 $$\alpha$$라고 하면 $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$ 둘 다 단위벡터이므로 $$||\mathbf{u} \times \mathbf{v}|| = \sin{\alpha}$$, $$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \cos{\alpha}$$이다. 이제 이것들을 대입해 보자.
$$ \displaystyle qvq^{-1} = ((\cos^2{(t/2)}) \mathbf{v} + (\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) ( -(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \mathbf{u} \times \mathbf{v} ) - (\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) ( -(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{v} \times \mathbf{u} ) - (\sin^2{(t/2)}) ( -(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{v} ) $$
$$ \displaystyle = ((\cos^2{(t/2)}) \mathbf{v} + 2(\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) (\sin{\alpha}) \mathbf{y} - (\sin^2{(t/2)}) (\sin{\alpha}) ( \mathbf{y} \times \mathbf{u} ) + (\sin^2{(t/2)}) (\cos{\alpha}) \mathbf{u} $$.
이게 무슨 짓인가 싶겠지만 여기서부터 진짜 작업이 시작된다.
[image]
여기서 $$\mathbf{y}$$가 $$\mathbf{u}$$와 수직인 단위벡터임을 보자. 한편 $$\mathbf{x} = \mathbf{y} \times \mathbf{u}$$라고 표기하면 $$\mathbf{y}$$와 $$\mathbf{u}$$가 수직하므로 $$\mathbf{x}$$의 크기는 1이고 $$\mathbf{y}$$, $$\mathbf{u}$$와 수직하다. 즉, 서로 수직인 세 단위벡터 $$\mathbf{x}$$, $$\mathbf{y}$$, $$\mathbf{u}$$를 얻었다. 따라서 $$\mathbf{v}$$를 이들 셋의 선형결합으로 쓸 수 있다. 그런데 $$\mathbf{v}$$는 $$\mathbf{y}$$와 수직으므로 $$\mathbf{v}$$는 $$\mathbf{x}$$, $$\mathbf{u}$$로만 써진다. 게다가 다음이 성립한다.
$$ \displaystyle \mathbf{v} = (\sin{\alpha}) \mathbf{x} + (\cos{\alpha}) \mathbf{u} $$.
이걸 위 식에 대입해 보자.
$$ \displaystyle qvq^{-1} = ((\cos^2{(t/2)}) ( (\sin{\alpha}) \mathbf{x} + (\cos{\alpha}) \mathbf{u} ) + 2(\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) (\sin{\alpha}) \mathbf{y} - (\sin^2{(t/2)}) (\sin{\alpha}) \mathbf{x} + (\sin^2{(t/2)}) (\cos{\alpha}) \mathbf{u} $$
$$ \displaystyle = ((\cos^2{(t/2)}) (\cos{\alpha}) \mathbf{u} + (\sin^2{(t/2)}) (\cos{\alpha}) \mathbf{u} + (\cos^2{(t/2)}) (\sin{\alpha}) \mathbf{x} - (\sin^2{(t/2)}) (\sin{\alpha}) \mathbf{x} + 2(\cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) (\sin{\alpha}) \mathbf{y} $$
$$ \displaystyle = (\cos{\alpha}) (\cos^2{(t/2)} + \sin^2{(t/2)}) \mathbf{u} + (\sin{\alpha}) ( \cos^2{(t/2)} - \sin^2{(t/2)}) \mathbf{x} + (\sin{\alpha}) (2 \cos{(t/2)} \sin{(t/2)}) \mathbf{y} $$
$$ \displaystyle = (\cos{\alpha}) \mathbf{u} + (\sin{\alpha}) \left( (\cos{t}) \mathbf{x} + (\sin{t}) \mathbf{y} \right) $$.
이제 이걸 해석하는 일만 남았다. $$ \mathbf{v} = (\sin{\alpha}) \mathbf{x} + (\cos{\alpha}) \mathbf{u} $$와 $$ qvq^{-1} = (\sin{\alpha}) \left( (\cos{t}) \mathbf{x} + (\sin{t}) \mathbf{y} \right) + (\cos{\alpha}) \mathbf{u} $$를 비교해 보자. $$\mathbf{x}$$가 $$(\cos{t}) \mathbf{x} + (\sin{t}) \mathbf{y}$$로 바뀌었다. 이는 $$\mathbf{u}$$를 축으로 해서 $$\mathbf{x}$$를 각도 $$t$$만큼 회전시킨 것과 같다. 따라서 $$qvq^{-1}$$는 $$\mathbf{v}$$에서 $$\mathbf{u}$$와 수직한 성분을 꺼내다 $$\mathbf{u}$$를 축으로 $$t$$만큼 회전시키되 $$\mathbf{u}$$와 나란한 성분은 그대로 냅둔 다음 다시 합친 것이다. 이건 그냥 $$\mathbf{v}$$를 회전시킨 것이다. 위 그림을 보면 실제로 무슨 일이 벌어진 건지 파악할 수 있을 것이다. 따라서 $$qvq^{-1}$$는 우리가 원하는 회전 결과이다.
[두번째 증명]
3. 사원수군
$$Q_{8}=\left\{\pm 1, \pm i,\pm j\pm k\right\}$$는 원소의 개수가 8개인 비가환군[9]이 된다. 또한 사원수군의 모든 부분군은 정규부분군이다.
4. 외부 링크
5. 확장
사원수는 복소수의 확장이듯이, 사원수도 더 확장하여 팔원수를 만들 수 있다.
그런데, 팔원수로 확장되면 이제는 '''곱셈의 결합법칙 마저도 성립되지 않는다'''. 즉, $$\left(ab\right)c = a\left(bc\right)$$ 라고 쓸 수 '''없다'''.[예시] 도대체 이 따위 것을 어디다가 써먹냐 하겠지만, 대수학에서 나타나는 구조들, 예컨대 몇몇 단순 리 대수(simple Lie algebra)를 표현할 때 쓰이기도 한다. 이 때문에 끈이론 같은 최신 물리에서 쓰이기도 한다. 일단 사원수에서 3차원 벡터곱을 유도해 낼 수 있는걸 이용하여, 팔원수에서 7차원 벡터곱을 유도해 낼 수 있으므로 팔원수까지는 수학계에서 사용하고는 한다.
16원수, 32원수, 64원수 등등 이론상 무궁무진(…)하게 만들어낼 수도 있지만[10], 어디까지나 수학적으로 흥미로워야 만들어내는 의미가 있는 것이다. 무엇보다도, 16원수 이상으로 올라가게 되면 제곱수 항등식[11][12][13]이 성립하지 않는다는 것이 증명되어 있기 때문에, $$||a\cdot b||=||a||\cdot||b||$$이라는 중요한 대수적 성질까지 잃어버리게 되므로 사용하지 않는다. 이처럼 16원수 이상은 확장될수록 교환법칙, 결합법칙 같은 너무나 당연한 규칙이 성립하지 않아서 실질적으로 거의 취급되지 않는다. 즉 수학이 무질서해지면서, 수학이 수학이 아니게 되는 것이다.
6. 활용
의외로 사원수를 이용하는 것이 더 효율적이어서 최근에 각광을 받기 시작한 분야가 있는데 뜬금없겠지만 컴퓨터 애니메이션에서 뜨기 시작했다. 아닌 게 아니라 기존에 사용하던 오일러 각 체계를 사용 시 발생할 수 있었던 짐벌록(gimbal lock)[14] 현상을 없앨 수 있기 때문이다. 짐벌록 문제는 초창기 우주선들이 가지고 있었던 문제 중 하나로, 우주비행사들은 이 현상을 '''수동'''으로 회피하는 수 밖에 없었다. 실제로 아폴로 우주선에 탑재된 항법 컴퓨터들(계산 수식이 회로 형태로 내장된)은 사원수 대신 행렬 기반으로 짜여져 있어서 짐벌 록에 걸리면 경고를 표시하고 '리셋용 버튼' 을 눌러 우주비행사가 직접 조치를 취해줘야 했다.
3D 그래픽 태동기 시절 회전 변환을 처리할 때, 행렬은 9개 성분이었고 사원수는 4개의 사원수 성분[15]을 처리해야 하므로 계산량이 더 많다고 여겨져(+이걸 계산하면 왜 회전이 되는지 이해하기가 어려워) 별로 채택되지 않았다.[16] 그러다가 3D 그래픽의 적용범위와 요구기능이 점점 늘어나고 회전 연산량이 급격히 증가함에 따라 사원수가 다시 대두되었다. 행렬로 짐벌락을 회피하는 특수한 계산법을 구현하기보다 곱셈만 계속하면 되는 사원수의 처리방식이 직관적으로 표현하기에 좀더 쉽고 프로그래밍 하기가 편하기에 공식의 이해야 수학자들이 해놓은 것을 믿고, 계산은 컴퓨터에게 맡겨 버리는 방법으로 널리 쓰이게 되었다. 게다가 두 회전의 곱을 계산할 때에는 행렬보다 사원수 계산이 더 적은 연산량을 요구하며[17], 이 때문에 필요한 회전 연산들을 일단 모두 사원수 꼴로 해서 곱한 다음 그 결과물을 원하는 벡터에다 적용시켜 계산량을 많이 줄일 수 있다. 3D 태동기 시절 유즈넷이나 해외 포럼들에는 사원수의 우월성을 주장하는 파벌과 행렬로도 다 할수 있는데 사원수를 쓰자는 건 과시에 지나지 않는다는 파벌이 나뉘어 박터지게 싸웠었다(간단히 정리하자면 '''사원수파 vs 행렬파.'''). 단순히 기술토론이 아니라 나름 업계 경력자들이자 네임드들이 정말 서로를 멍청한 놈 취급하고 비꼬면서 무시무시한 게시판 콜로세움을 벌였었다.
이런 이유로 인해서, 로봇 팔과 같이 회전 운동이 필요한 상황은 대부분 사원수를 이용하여 프로그래밍되어 있다.
또한, 인공위성의 자세를 제어하는 기술에서도 사원수가 활용되고 있으며, 컬러영상을 푸리에변환 하거나 고속 콘볼루션 필터링 할때도 쓰인다.
7. 관련 문서
[1] 이것들이 $$a + bi + cj$$ 꼴로 써질 수도 있지 않냐고 할 수 있는데, 결합 법칙 때문에 문제가 생긴다는 것을 알 수 있다. 이 상황에서 $$i(ij) = (ii)j$$, $$j(ji) = (jj)i$$에 앞의 꼴을 대입하여 계산해 보면 모순이 생긴다는 것을 알 수 있다.[2] Center가 주어진 base field와 같은 division algebra를 말한다.[3] Frobenius theorem을 찾으면 보통 division algebra over R (central or not)이 $$\mathbb{R}, \; \mathbb{C}, \; \mathbb{H}$$ 뿐인 것으로 소개된다. $$\mathbb{C}$$가 central division ring over R은 아니기에 어찌 보면 본문의 서술이나 이거나 비슷하다.[4] 관심 있다면, noncommutative algebra 또는 quadratic form을 다루는 기초 교재에서 더 일반적인 "사원수" 대수를 찾아 보자. T.Y.Lam의 introduction to quadratic forms over fields (GSM series)를 추천. 베고 자기도 좋다.[5] 평면에 위치한 점을 $$a+bi$$로 표현하면, $$1$$을 곱하면 제자리, $$i$$를 곱하면 90도 회전, $$-1$$을 곱하면 180도 회전, $$-i$$를 곱하면 270도 회전.[6] 책을 들고 앞으로 한번 180도 회전(뒤집기), 옆으로 90도 회전을 해보자. 그런 다음 순서를 바꿔서 옆으로 한 번, 앞으로 한 번 회전한 것과 비교해보자. '''누가 봐도 교환법칙이 성립 안 한다는 것을 볼 수 있다.'''(게다가 방향도 정 반대로 되어있다.) 교환법칙도 성립 안 하는 저런 복잡한 수체계를 도입하는 이유를 알 수 있을 것이다.[7] 출처: John Stillwell, ''Naive Lie Theory'', Springer, 2008, section 1.5[8] 누르기 귀찮은(...) 분들을 위해 부연설명하자면, '''초창기''' 3D 게임 엔진에 적용되었다는 뜻이다. 실제로 많은 게임 프로그래밍 교재들에서 사원수를 회전 변환으로 활용하는 방법을 소개한다. 다만 이드 소프트웨어에서 최초로 3D 게임에 적용한 건지는 확실치 않으며, 3D 그래픽에 사원수를 적용하자는 아이디어는 1985년도에 이미 제안된 바 있다.[9] 교환법칙이 성립하지 않는 군[예시] $$\left(e_1e_2\right)e_3=e_4e_3=-e_6\neq e_6=e_1e_5=e_1\left(e_2e_3\right)$$[10] 2n 에 해당한다면 만들 수 있다 [11] 오일러가 4개의 수에 대한 네 제곱수 항등식을, 데겐이 8개의 수에 대한 여덟 제곱수 항등식을 발견했고, 이는 후에 사원수와 팔원수에 대한 노름과 연관 있다는 사실이 밝혀졌다.[12] n개 제곱수 항등식은 $$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}}$$을 n개의 제곱의 합으로 분리하여 표기할 수 있다는 것을 의미한다. 수학적으로 이 항등식은 n=1, 2, 4, 8일때만 존재한다는게 밝혀져 있다.[13] 1 제곱수 항등식은 $$a^2b^2=\left(ab\right)^2$$
2 제곱수 항등식은 $$\left(a_{1}^2+a_{2}^2\right)\left(b_{1}^2+b_{2}^2\right)=\left(a_1b_1-a_2b_2\right)^{2}+\left(a_1b_2+a_2b_1\right)^{2}$$
1 제곱수 항등식은 실수의 절대값 곱 $$||a\cdot b||=||a||\cdot||b||$$을 고려하면 항상 성립하며, 2 제곱수 항등식은 복소수의 노름 곱 $$||\left(a_1+a_2i\right)\cdot\left(b_1+b_2i\right)||=||a_1+a_2i||\cdot||b_1+b_2i||$$을 고려하면 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로 네 제곱수 항등식은 사원수의 노름곱, 여덟 제곱수 항등식은 팔원수의 노름곱에서 유도할 수 있다.[14] 피치, 롤, 요 중에서 피치 각이 90도일 때, 롤과 요를 나타내는 짐벌이 겹쳐버려, 좌우 움직임 즉 요(Yaw) 움직임을 나타낼 수 없게 되는 현상. 즉 요를 나타내는 짐벌이 잠겨 버리는 현상.[15] 즉 16개의 실수 성분이 필요하다.[16] 실제로 초창기 소프트웨어 3D 래스터라이저(그래픽카드가 아니라 사람이 모든 3차원 좌표를 화면상의 XY 좌표로 일일히 계산하는) 코드들을 보면 모델/뷰/투영 행렬을 이용해 계산하는 방식을 많이 썼다.[17] 두 3x3 행렬의 곱은 최소 27번의 곱셈과 18번의 덧셈을 요구하는 반면, 두 사원수의 곱은 16번의 곱셈과 7번의 덧셈(및 뺄셈)으로 충분하다.
2 제곱수 항등식은 $$\left(a_{1}^2+a_{2}^2\right)\left(b_{1}^2+b_{2}^2\right)=\left(a_1b_1-a_2b_2\right)^{2}+\left(a_1b_2+a_2b_1\right)^{2}$$
1 제곱수 항등식은 실수의 절대값 곱 $$||a\cdot b||=||a||\cdot||b||$$을 고려하면 항상 성립하며, 2 제곱수 항등식은 복소수의 노름 곱 $$||\left(a_1+a_2i\right)\cdot\left(b_1+b_2i\right)||=||a_1+a_2i||\cdot||b_1+b_2i||$$을 고려하면 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로 네 제곱수 항등식은 사원수의 노름곱, 여덟 제곱수 항등식은 팔원수의 노름곱에서 유도할 수 있다.[14] 피치, 롤, 요 중에서 피치 각이 90도일 때, 롤과 요를 나타내는 짐벌이 겹쳐버려, 좌우 움직임 즉 요(Yaw) 움직임을 나타낼 수 없게 되는 현상. 즉 요를 나타내는 짐벌이 잠겨 버리는 현상.[15] 즉 16개의 실수 성분이 필요하다.[16] 실제로 초창기 소프트웨어 3D 래스터라이저(그래픽카드가 아니라 사람이 모든 3차원 좌표를 화면상의 XY 좌표로 일일히 계산하는) 코드들을 보면 모델/뷰/투영 행렬을 이용해 계산하는 방식을 많이 썼다.[17] 두 3x3 행렬의 곱은 최소 27번의 곱셈과 18번의 덧셈을 요구하는 반면, 두 사원수의 곱은 16번의 곱셈과 7번의 덧셈(및 뺄셈)으로 충분하다.