사건(확률론)
1. 정의
event · 事件
간단히는, 실험이나 시행(試行)에서 일어날 수 있는 결과.
더 엄밀히 정의하기 위해서 먼저 표본공간을 정의하자. 실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합을 '''표본공간'''(sample space)이라 하고 $$S$$로 표기한다. 그러면 사건(event)이란 전체 표본공간 $$S$$ 중에서 전체 또는 일부를 모은 집합을 말한다.
2. 표본공간
sample space · 標本空間
나아가, 어떤 시행(試行)에서 일어날 수 있는 모든 경우를 $$e_1$$, $$e_2$$, $$…$$로 나타낼 때, 집합 {$$e_1, e_2, …$$}를 그 시행의 '''표본공간'''이라 한다.
3. 종류
'''가나다순으로 정렬한다.''' 합사건과 곱사건처럼 함께 설명해야 좋은 개념들이 있지만, 목차나 '''Ctrl+F'''로 원하는 내용을 찾아 읽기 바란다.
3.1. 곱사건
product event · 곱事件
둘 이상의 사건이 동시에 일어나는 사건을 해당 사건들의 곱사건이라고 한다. 사건 $$A$$와 사건 $$B$$의 곱사건은 기호로 $$A\cap{B}$$로 나타내며, '에이 캡(cap) 비'로 읽는다. 교집합[1]에 해당한다.
3.2. 공사건
empty event · 空事件
어떤 시행에서, 시행 결과로 나올 수 없는 사건. '정육면체 주사위를 던졌을 때 7의 눈이 나올 사건'은 공사건이다. 공사건은 공집합 기호 $$\varnothing$$으로 나타낸다. 공사건이 일어날 확률은 0이며, 공사건의 여사건은 전사건이다. 공집합에 해당한다.
3.3. 배반사건
exclusive event · 排反事件
두 개의 사건이 동시에 일어날 수 없으면 그 두 사건은 서로 배반사건이다. 곧, 배반사건들은 한쪽이 일어날 때 다른 쪽이 절대 일어나지 않는 관계에 있다. 이에 따라 두 사건 중 적어도 하나가 공사건이면 두 사건은 배반사건이다. 서로소에 해당한다.
'정육면체 주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 사건'과 '정육면체 주사위를 던졌을 때 2의 눈이 나올 사건'은 배반사건이다. 배반사건인 두 사건이 동시에 일어날 사건은 공사건이고, 일어날 확률은 0이다.
참고로 '의리를 저버림'의 뜻인 '배반(背反/背叛)'과는 한자가 다르다.
3.4. 여사건
complementary event · 餘事件
특정 사건이 발생하지 않을 사건. 곧, 사건 $$A$$의 여사건이란 '사건 $$A$$가 일어나지 않는 사건'이다. '$$A$$의 여사건'은 기호 $$A^c$$ 또는 $$A^-$$로 나타낸다. 여집합에 해당한다.
어떤 사건과 그 사건의 여사건은 동시에 일어날 수 없으므로 서로 배반사건이다. 곧, 여사건은 배반사건의 부분집합이며, 배반사건의 특수한 경우에 해당한다. 위에서 예를 든 '정육면체 주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 사건'과 '정육면체 주사위를 던졌을 때 2의 눈이 나올 사건'과 같이, 서로 배반사건인 두 사건이 모두 일어나지 않을 확률이 0이라는 보장이 없으나[2] 서로 여사건인 두 사건 $$A$$와 $$A^c$$가 모두 일어나지 않을 확률은 무조건 0이다.
3.5. 영사건
null event · 零事件
일어날 확률이 [math(0)]인 사건. 영사건의 예로는 무작위로 선택되는 '$$0\leq{x}\leq{1}$$인 임의의 실수 $$x$$가 무엇인지 맞힐 사건', '실수 전체에서 유리수를 뽑는 사건'등이 있다. 얼핏 공사건과 같아 보이지만 공사건은 영사건의 부분집합이다. 곧, 공사건은 영사건이지만 영사건이 꼭 공사건인 것은 아니다.
3.6. 전사건
total event · 全事件
실험이나 시행에서 일어날 수 있는 모든 사건. 이를테면, '자연수를 임의로 골랐을 때 홀수 또는 짝수가 나올 사건' 이렇게 6개의 사건은 전사건이다. 전사건이 일어날 확률은 1이며, 전사건의 여사건은 공사건이다. 전체집합에 해당한다.
3.7. 합사건
sum event · 合事件
어떤 두 사건이 있을 때, 한 사건 또는 또 다른 사건이 일어나는 사건을 두 사건의 합사건이라고 한다. 사건 $$A$$와 사건 $$B$$의 합사건은 기호로 $$A\cup B$$로 나타내며 '에이 컵(cup) 비'로 읽는다. 합집합에 해당한다.