초월함수

 


1. 개요
2. 상세
3. 초월함수/특수함수들의 목록


1. 개요

Transcendental function · 超越函數
대수함수(algebraic function)가 아닌 함수, 즉 다항함수가 포함된 다항식의 근으로 나타낼 수 없는 함수이다. 즉, 어떤 2변수 다항식 $$\Phi$$가 $$\Phi(x,f(x))=0$$을 만족시키면 $$f$$는 대수함수라 할 수 있고, 그렇지 않은 함수들이 초월함수이다.[1] 초등함수인 지수함수, 로그함수, 삼각함수는 모두 초월함수이다. 반대로 대수함수이지만 초등함수가 아닌 함수도 많다.

2. 상세

몇몇 중요하게 다뤄지는 초월함수들은 보통 '특수함수'라 부르고, 이들은 주로 주요 미분방정식 및 적분방정식의 풀이에서 등장한다. 대표적으로 베셀의 미분 방정식 $$x^2 y'' + xy' + \left(x^2-n^2\right)y=0$$을 풀었을 때 나오는 베셀 함수(Bessel Function)가 그 예이다. 이 함수는 원통좌표계(Cylindrical Coordinate System)가 들어간 물리현상이면 거의 무조건이라고 해도 좋다 싶을 정도로 등장한다. 특수한 경우가 아니면 일반적인 초등함수로 나타내어질 수 없기에 난해하지만, 삼각함수의 성질만큼이나 다양한 성질들을 가지고 있으며 활용되는 곳도 많다. 이공계 대학생이라면 기초 미적분학에서 쌍곡함수를 만나고, 감마 함수, 베셀 함수, 르장드르 함수 정도는 공업수학, 수리물리학이나 각종 전공에서 심심치 않게 만난다. 미분방정식을 공부하면서 이들을 자세히 배우게 되니 잘 익혀두도록 하자. 정수론 중 해석적 정수론을 해도 리만 제타 함수의 친척들인 L-함수 등의 특수함수들을 지겹게 보게 될 것이다.
보통 초월함수라 하면 이 특수함수들을 의미하고, (경우에 따라 다르긴 하지만) 소수 계량 함수 같은 불연속인 함수들은 잘 포함시키지 않는 편이다.[2]

3. 초월함수/특수함수들의 목록


>[math(\overline{z} = z^{*} = \begin{cases}
\dfrac{|z|^2}{z} &\mathsf{if}\,z\neq 0\\
0 &\mathsf{if}\,z=0
\end{cases})]
허수부의 부호를 반전시키는 함수이다.
  • 실수부/허수부 함수
> $$\Re(z)=\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$$
> $$\Im(z)=\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$$
복소수에서 실수부 혹은 허수부만을 취할 때 사용하는 함수이다.
실수부 함수의 경우 $$(\Re\circ\Re)(z)=\Re(z)$$가 성립하는 멱등함수이다.
  • 부호 함수[3]
> [math(\mathrm{sgn}(x)=\begin{cases}
\dfrac{x}{\|x\|} &\mathsf{if}\,x\neq 0\\
0 &\mathsf{if}\,x=0
\end{cases})]
절댓값 함수를 미분하면 나오는 함수로, 말 그대로 수의 부호를 판별한다. 일반적으로 양수를 넣을 경우 $$1$$이, 음수를 넣을 경우 $$-1$$이, [math(0)]을 넣을 경우 [math(0)]이 나온다. 주로 점화식에서 특정한 수의 부호만을 취할 때 사용한다. $$(\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sgn})(x)=\mathrm{sgn}(x)$$가 성립하는 멱등함수이다.
그런데 복소수가 들어올 경우 이 함수가 고장(?)이 나버리는데, 분모의 노름이 복소수에서는 정의가 달라지기 때문이다.[4][5]
  • 복소 부호 함수
> [math(\mathrm{csgn}(z)=\begin{cases}
\dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|} &\mathsf{if} &\Re(z)\neq 0\\
\dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|} &\mathsf{if} &\Re(z)=0,\Im(z)\neq 0\\
0 &\mathsf{if} &\Re(z)= 0,\Im(z)= 0
\end{cases})]
위 부호 함수가 복소수에서 고장나는(...) 맹점을 해결하기 위해 복소수용으로 따로 만든 함수. 순허수일 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 그 외의 경우에는 실수부의 부호만을 판별한다.
>$$\displaystyle\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin{x}}{x}$$
>$$\sqrt{x}_s=e^{(W\circ\ln)(x)}$$[6]
>$$\mathrm{slog}_n(x):f(x)=n\uparrow\uparrow x\to x$$
위의 테트레이션 함수의 역함수이다.
  • 쌍곡선함수
  • 정규분포 함수
  • 소수 계량 함수
  • 감마 함수
  • 베타 함수
  • 제타 함수
  • 타원 적분
  • 르장드르 함수[7], 버금 르장드르 함수, 구면 조화 함수
  • 베셀 함수[8], 노이만 함수(제2종 베셀 함수), 한켈 함수(제3종 베셀 함수), 수정 베셀 함수, 구면 베셀 함수, ...
  • 오차함수[9]

$$\displaystyle\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t$$

$$\displaystyle\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t$$

$$\displaystyle\mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\mathrm{d}t$$

  • 지수 적분 함수 (Exponential Integral)[10]

$$\displaystyle\mathrm{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t$$

  • 로그 적분 함수 (Logarithmic Integral)[11]

$$\displaystyle\mathrm{li}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$$

$$\displaystyle\mathrm{Li}(x)=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$$[12]

  • 코사인/사인 적분 (Cosine and Sine Integrals)[13]

$$\displaystyle\mathrm{Ci}(x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t$$

$$\displaystyle\mathrm{Si}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t$$

  • 쌍곡선 적분 함수 (Hyperbolic Integrals)[14]

$$\displaystyle\mathrm{Shi}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sinh{t}}{t}\,\mathrm{d}t$$

$$\displaystyle\mathrm{Chi}(x)=\gamma+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cosh{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t$$[15]

  • 프레넬 코사인/사인 적분 (Fresnel integrals)[16]

$$\displaystyle S(x)=\int_{0}^{x} \sin t^2 \,\mathrm{d}t$$

$$\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos t^2 \,\mathrm{d}t$$

$$\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}e^{-x^{2}}$$

$$H_{0}(x)=1$$

$$H_{1}(x)=2x$$

$$H_{2}(x)=4x^{2}-2$$

$$H_{3}(x)=8x^{3}-12x$$

$$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12$$

$$\cdots$$

주로 양자역학에서 단순 조화 진동자 문제를 풀었을 때 튀어나오는 놈이다.

$$\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(x^{n}e^{-x})$$

$$L_{0}(x)=1$$

$$L_{1}(x)=-x+1$$

$$2L_{2}(x)=x^{2}-4x+2$$

$$6L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6$$

$$24L_{4}(x)=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24$$

$$\cdots$$

$$\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{n}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{k}L_{n+k}(x)$$

수소 원자의 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 반지름 방향의 해에서 나타난다.

$$\displaystyle T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(1-x^{2})^{1/2}}{(2n-1)!!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(1-x^{2})^{n-1/2}$$

$$\displaystyle U_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n+1)!!\cdot(1-x^{2})^{1/2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(1-x^{2})^{n+1/2}$$

>$$\mathrm{BR}(x)=-x\,{}_4{F}_3\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right)$$
초기하함수로 유도할 수 있는 함수로, 5차방정식의 실수해를 구할 때 쓰인다.
>$$\theta(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}(x)+1\right)$$[17]
부호 없는 부호 함수. 디랙 델타 함수의 원시함수이며, 디랙 델타 함수를 연구했던 올리버 헤비사이드의 이름을 따왔다.
학자마다 $$x=0$$의 함숫값의 정의가 다른데, 위 정의처럼 $$\theta(0)=\dfrac{1}{2}$$로 잡고 쓰는 사람이 있고, 함수 정의에 최소 정수 함수 $$\left\lceil x\right\rceil$$를 사용해 $$\theta(0)=1$$로 잡고 쓰는 사람도 있다.
  • 발판 함수 (Ramp function)
>$$R(x)=\dfrac{x}{2}(\mathrm{sgn}(x)+1)=\dfrac{|x|+x}{2}$$
말 그대로 발판 모양의 그래프를 그리는 함수로, $$x<0$$ 구간에서는 함숫값이 모두 0이며, $$x\geq 0$$ 구간에서는 $$y=x$$와 동일하다.
또한 $$(R\circ R)(x)=R(x)$$가 성립하는 멱등함수이다.
> $$\bold{1}_A(x)=\begin{cases}1&\mathsf{if}\,x\in A\\0&\mathsf{if}\,x\notin A\end{cases}$$
원소가 해당하는 집합에 속해 있는가를 가리는 함수. 지시함수, 특성함수라고도 한다.
여기서 [math(A=\mathbb{Q})]로 정의한 $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}(x)$$는 따로 디리클레 함수(Dirichlet Function)[18]라는 이름으로 불린다.
한편 [math(A=\mathbb{N})]으로 정의한 $$\bold{1}_{\mathbb{N}}(x)$$는 멱등함수이다.
  • 혹 함수 (Bump Function)
> $$\mathrm{\Psi}(x)=\bold{1}_{\{x:\|x\|<1\}}e^{-\frac{1}{1-x^2}}$$
시험 함수(Test Function)라고도 하며, 분포(distribution)에 속하는 디랙 델타 함수를 정의하는 데 쓰인다.
위 함수들에 대한 이론이나 적용은 관련 서적을 참고하기 바란다.

[1] 대수함수를 '다항함수에 사칙연산과 거듭제곱근 연산을 유한 번 적용해 얻는 함수'로 정의하는 것은 흔한 오개념 중 하나이다. 거듭제곱근으로 나타낼 수 없는 대수함수로는 $$x^5+x+a=0$$의 실근을 나타내는 브링 근호(Bring radical) $$\mathrm{BR}(a)$$같은 함수들이 있다.[2] 전술한 소수 계량 함수같이 정수론의 성격이 짙은 함수는 따로 산술함수라고 불린다.[3] 시그넘 함수(Signum Function)라고도 한다.[4] 가령 $$\mathrm{sgn}(1-i)$$의 값은 $$\dfrac{1-i}{\sqrt{\Re(1-i)^2+\Im(1-i)^2}}=\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}$$가 된다.[5] 한편으로는 이 '고장난 부호 함수'에 흥미로운 점이 있는데, [math(0)]이 아닌 복소수의 함숫값은 반드시 단위원 위의 점이라는 것이다. 사실 복소수에서도 부호 함수의 작동 방식은 비슷한데, 실수에서는 수가 양 또는 음의 방향인가를 절댓값이 $$1$$인 수로 나타내고, 복소수에서는 복소수가 향하는 방향(또는 편각)을 가지고 절댓값이 $$1$$인 수로 나타낸다.[6] $$W(x)$$는 람베르트 W 함수이다.[7] 이 함수는 특수한 경우($$P_n(x)$$에서 $$n$$이 정수일 때)에서는 다항식 꼴이 된다.[8] 이 역시 특수한 경우에 한해서 대수함수와 삼각함수의 조합으로 나타낼 수 있다.[9] 五次函數(Quintic Function)가 아니고 誤差函數(Error Function)이다.[10] $$\displaystyle {e^x\over x}$$의 부정적분에 대응한다.[11] $$\displaystyle {1\over\ln x}$$의 부정적분에 대응한다.[12] 위의 로그 적분이 피적분함수의 특이점을 포함하기 때문에 골치 아픈 점을 피해가기 위한 함수다.[13] 각각 $$\displaystyle{\cos x\over x}$$와 $$\displaystyle{\sin x\over x}$$의 부정적분에 대응한다.[14] 각각 $$\displaystyle{\sinh x\over x}$$와 $$\displaystyle{\cosh x\over x}$$의 부정적분에 대응한다.[15] $$\gamma$$는 오일러-마스케로니 상수이다.[16] 각각 $$\sin x^2$$와 $$\cos x^2$$의 부정적분에 대응한다.[17] $$\theta(x)$$ 대신 $$H(x), u(x)$$ 등을 쓰기도 한다. $$u(x)$$의 형태는 라플라스 변환을 다룰 때 자주 등장하는 형태이다.[18] 실해석학에서 '완전 불연속 함수'와 그에 대한 적분을 배울 때 나오는 녀석이다.

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