원환체

 


1. 개요
2. 정의
2.1. 특징
3. 겉넓이와 부피

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원환체

1. 개요

圓環體 / torus 복수형은 tori. 보통 여러 개의 원환체를 뜻하나 여러개의 hole을 가진 하나의 물체를 $$n$$-hole tori로 일컫기도 한다.
가운데에 구멍이 뚫린 위상도형. 흔히 '도넛 모양'이라고 한다.[1]

2. 정의

일단 일반적인 도넛 모양인 $$1$$-hole torus의 개념으로만 기술한다.
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위상기하학에서의 기본적인 정의는 $$S^1 * S^1$$ 으로 두 원의 곱집합과 위상동형(homeomorphism)1-[2] 이다. 따라서 손잡이가 있는 컵은 다음의 그림과 같이 도넛과 위상 동형이라고 할 수 있겠다.
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좌표평면(cartesian plane)에서 $$\left(x,y\right)~\left(x+1,y\right)~\left(x,y+1\right)$$로 각각의 좌표가 modulo 1 덧셈와 같은 효과를 가진 형태이며, 이는 결국 가로 세로가 1인 단위 사각형(unit square)의 각 변을 시계방향을 정방향으로 $$ aba^{-1}b^{-1} $$ 으로 설정한 형태로 정리한 그림이 아래와 같다.
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이것을 같은 index를 가진 변끼리 붙여주면 쉽게 3차원의 익숙한 torus가 되므로 이 사각형 역시도 torus와 위상동형의 관계. 이 사각형의 각 꼭지점은 동일한 것은 3차원 공간에서 볼 때 자명하다. 임의의 index가 붙은다각형이 최종적으로 $$ aba^{-1}b^{-1} $$ 의 형태를 갖는다면 1-hole torus로 볼 수 있다는 뜻이다.
굳이 원의 곱집합이라고 해서 일반적인 도넛 모양일 필요는 없다. 회전하는 로봇 팔 $$ {S^1}_{a} $$ 이 회전축과 반대되는 끝을 회전축으로 하는 다른 회전하는 로봇 팔 $$ {S^1}_{b} $$ 과 연결되어있다면 그것만으로도 torus의 정의를 만족할 수 있기 때문에 위상동형[3]이다.
나아가, $$n$$-hole tori가 있을 수 있는데 이는 n개의 구멍이 뚫려 있는 '하나의' 위상기하학적 물체 혹은 공간으로 $$ abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}... $$ 으로 표현할 수 있다. 구멍 한개당 index alphabet이 하나씩 더 늘어나는 식으로 기술할 수 있으며 당연히 단위 사각형이 아니라 $$2n$$각형(역시 모든 꼭지점이 동일하다)으로 표현한다. $$1$$-hole torus와 마찬가지로 임의의 index가 붙은 다각형이 최종적으로 위와 같은 index 식의 다각형이라면 $$n$$-hole tori이다.

2.1. 특징

  • $$1$$-hole torus의 경우
    • $$ aba^{-1}b^{-1} $$ 의 단위 사각형을 오일러의 정리식으로 계산해보면 2가 되지 않는다($$V-E+F=1-2+1=0$$). 이는 torus가 유클리드 공간의 영역에 해당됨을 시사한다.
    • torus는 닫힌 공간(closed surface)이며, 표면의 한지점에서 면과 90도를 이루는 법선벡터(normal vector)를 시계방향으로 정의 하면 뫼비우스의 띠 와는 달리 모든 면에서 법선 벡터의 방향이 시계 방향으로 일정하게 유지된다. 따라서 orientable하다. 또한 $$n$$-hole tori도 orientable하다.
    • 위의 두가지 성질이 성립하는 위상학적 물체는 모두 torus와 위상동형이라고 볼 수 있다.
  • $$n$$-hole tori의 경우
    • $$ abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}... $$ 의 다각형을 오일러의 정리식으로 계산하면 항상 $$V-E+F=2-2n$$으로, 항상 negative한 값을 가진다. 이는 $$n$$-hole tori가 비유클리드 공간의 harmonic space에 해당됨을 의미한다.
  • 어떤 위상학적 물체가 compact이고 orientable하며 오일러의 정리식이 $$2-2n$$값을 갖는 다면 그 물체를 $$n$$-hole tori와 위상동형이다.
  • 복소 공간에서 타원곡선이 그리는 도형이기도 하다.
  • 타이거#s-19라는 이름의 4차원 도형은 토러스를 토러스 방향으로 회전시켜 만드는 도형이다.

3. 겉넓이와 부피

토러스를 정사영시켰을 경우 바깥쪽 원의 반지름을 $$\omicron$$, 안쪽 원의 반지름을 $$\iota$$로 하면
  • 겉넓이: $$(\omicron^2 - \iota^2) \cdot \pi^2$$[4]
  • 부피: $$\dfrac{\pi^2}{4}(\omicron+\iota)(\omicron-\iota)^2$$
가 성립한다.
[1] 그런데 사실 도넛은 먼치킨이나 에클레어#s-2 같이 원환체가 아닌 종류도 많다.[2] 함수 $$f:X{\rightarrow}Y$$ (X,Y는 모두 위상학적인 공간 또는 물체)가 $$f$$는 전단사(일대일 대응하면서 공역과 치역이 같은) 함수로서 $$f$$와 $$f$$의 역함수 모두 연속함수라면 $$X$$와 $$Y$$가 서로 위상 동형이라고 정의한다. 즉 위상학적으로 서로 같다는 것이다.[3] 사실 어떻게 보면 인간과 모든 동물도 도넛의 위상동형이라 볼 수 있다. 입과 항문 사이의 장을 파이프라 보면 구멍이 1개인 위상동형이기 때문.[4] 이렇게 표현한 이유는 $$\pi^2(\omicron^2 - \iota^2)$$ 같은 식으로 표현할 경우 두 번 적용된 소수 계량 함수와 혼동할 수 있기 때문.




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