각

1. 개요

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角. 평평한 면에서 면으로 급격히 꺾여 튀어나온 모퉁이. '각지다', '사각지대'(死角地帶), '사각턱' 등의 예가 있다. 수학에서는 더욱 엄밀하게 정의되어 쓰인다.

2. 정의

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수학적으로는 반직선과 반직선이 맞붙었을 때 꼭짓점 안팎에서 생기는 공간으로 정의된다.
보통 기하학적으로 다루는 각은 육십분법[1]을 기준으로 $$0\degree \sim 360\degree$$까지이며, $$360\degree$$가 넘어가면 다시 $$0\degree$$부터 세어나간다고 보면 된다.
고등학교 과정에선 일반각이라는 이름으로 다시 정의하게 된다.

고정되어 있는 반직선 $$\overrightarrow\mathrm{OX}$$와 같은 위치에 있던 반직선 $$\overrightarrow\mathrm{OP}$$가 점 $$\mathrm O$$를 중심으로 회전하게 되면 각 $$\angle\mathrm{POX}$$가 생성되는데, 여기서 $$\overrightarrow\mathrm{OX}$$를 $$\angle\mathrm{POX}$$의 시초선, $$\overrightarrow\mathrm{OP}$$를 $$\angle\mathrm{POX}$$의 동경이라 한다. 이때 동경 $$\overrightarrow\mathrm{OP}$$가 시초선 $$\overrightarrow\mathrm{OX}$$를 기준으로 회전하는 방향이 반시계 방향이면 양의 방향이라 하고, 시계 방향이면 음의 방향이라 부른다.

이런 정의를 사용하는 이유는 중학교 수준에서 쓰는 정의만으로는 각의 범위가 한정되어있기 때문이다. 그래서 위와 같이 '''회전량'''이라는 새로운 방법으로 각을 정의하며, 이 정의에 따르면 음의 각과 $$360\degree$$를 초과하는 각을 표현할 수 있다. 특히 삼각함수에서 음의 각이나 $$360\degree$$를 넘어가는 각을 다루는데, 예를 들면 $$30\degree$$, $$390\degree$$, $$-330\degree$$ 등이다. 이를 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$0\degree\le\theta_0\le360\degree$$인 각 $$\theta_0$$와 정수 $$n$$에 대하여 $$\theta=360\degree\times n+\theta_0$$

복소함수론에서는 오일러의 공식을 통해 지수와 삼각함수도 한꺼번에 재정의하면서 허수각을 정의할 수 있게 된다.

3. 단위

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• 참고: 아래 표에는 소숫점 이하 $$5$$자리까지 구한 근사값을 기재하였다.

'''구분'''	'''호도법'''	'''육십분법'''	'''그레이드'''
호도법	$$\mathbf{1.00000\,rad}$$	$$\dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.29578\degree$$	$$\dfrac{200^\mathrm g}\pi \fallingdotseq 63.66198^\mathrm g$$
육십분법	$$\dfrac\pi{180}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01745\,\mathrm{rad}$$	$$\boldsymbol{1.00000\degree}$$	$$\dfrac{1^\mathrm g}{0.9} \fallingdotseq 1.11111^\mathrm g$$
그레이드	$$\dfrac\pi{200}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01570\,\mathrm{rad}$$	$$0.90000\degree$$	$$\mathbf{1.00000^g}$$

각의 크기를 각도(角度)라고 한다.
1회전의 값을 360으로 잡은 유래에 대해 명확한 자료는 남아있지 않으나 다음과 같은 설이 있다.

• 페르시아력 같은 고대의 역법에서 1년을 360일로 잡았던 것에서 유래했다는 설

이 경우 별들은 북극성을 중심으로 1년에 1도씩 회전하게 되므로 천문 관측이 용이해진다.

• 60진법을 썼던 바빌로니아인들이 정삼각형으로 원을 6등분하고 정삼각형의 한 내각을 60진법으로 나눠서 표현한 결과 1회전이 360도가 되었다는 설

이 시스템은 후에 그리스의 과학자 아리스타르코스와 히파르코스에게 채용되어 그리스의 천문학, 수학에 널리 퍼진 것으로 추정된다.

이 밖에도 인도의 리그베다 경전에는 1회전을 360등분하는 것에 대한 구절이 나오며, 수의 특성만 보더라도 360은 1과 360을 제외하고도 무려 '''22'''개에 달하는 많은 약수를 갖는다. 1~10까지의 수 중 360이 나눠떨어지지 않는 수는 7뿐이며 고대 나눗셈 계산에도 적당히 사용하기 편했던 수였음을 엿볼 수 있다.
육십분법에서 $$0\degree$$와 $$1\degree$$ 사이의 각을 나타낼 때에는 다음 두 가지 방법이 쓰인다.

• 시각 표기처럼 $$'$$(분)과 $$''$$(초)를 써서 표현하는 방법. $$60''=1'$$이고 $$60'=1\degree$$이다.
• 십진법 표기에 기반하여 오로지 $$\degree$$만을 이용하여 나타내는 방법.

예를 들어 $$314$$도 $$15$$분 $$9$$초는 $$314\degree\,15'\,9''$$[2]로 나타내며 십진법 표기로 나타내면 $$\left(314+\dfrac{15}{60}+\dfrac9{3600}\right)\degree = 314.2525\degree$$이다. 참고로 국제표준화기구는 ISO 31에서 십진법 표기를 권장하고 있다. 십진법 표기에서 소수점 아래 자리를 분초 표기로 환산하려면 60을 곱해서 정수 부분을 덜어나가는 방식을 쓰면 된다. 앞선 $$314.2525\degree$$를 예로 $$1\degree = 60'$$, $$1' = 60''$$이므로 $$0.2525\degree = 0.2525\times1\degree = 0.2525\times60' = 15.15'$$에서 정수 부분 15가 분의 값이며 $$0.15' = 0.15\times1' = 0.15\times60'' = 9''$$에서 초의 값이 9가 된다. 같은 방식으로 $$3.14\degree$$를 분초 표기로 환산하면 $$3.14\degree = 3\degree + 0.14\times60' = 3\degree + 8.4' = 3\degree\,8' + 0.4\times60'' = 3\degree\,8'\,24''$$가 된다.
부채꼴에서 호의 길이와 중심각의 크기가 정비례한다는 성질에 따라, 반지름에 대한 호의 비로 각을 나타내는 호도법 표기도 있다.
이 밖에도 직각을 $$100$$등분한 것을 단위각으로 하는 그레이드($$^{\rm g}$$)[3]라는 단위도 있다. 즉 $$1^{\rm g} = 0.9\degree = \dfrac\pi{200}\,{\rm rad}$$이다.
척관법에서는 딱히 각도라는 개념을 정의하지 않았던 것으로 보인다. 구고현의 정리나 유씨구고술요도해 같이 특수각 비슷한 개념은 있었던 것 같지만.

3.1. 차원

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호도법의 경우 단위[4]로는 $$\rm rad$$(라디안)을 쓰지만 어디까지나 '각'임을 명시하기 위한 것으로 수학 분야에서는 대부분 생략한다.
각도의 단위로 도($$\degree$$), 라디안($$\rm rad$$), 그레이드($$^{\rm g}$$)[5] 등이 있지만 이들은 모두 퍼센트와 마찬가지로 차원#측정학이 없으며, 본디 각도란 '회전'(turn)을 단위로하는 계에서 '1회전'에 대한 상댓값인데 '회전'이라는 단위는 '개수'처럼 이산적인 물리량으로 간주하기 때문에 무차원(dimensionless)의 물리량으로 약속한다.[6] 이를테면 직각, 즉 $$\rm 90\degree = \dfrac\tau4\,rad = \dfrac\pi2\,rad = 100^g$$라는 것은 곧 '$$\dfrac14$$회전'과 같고[7] 각도가 무차원의 물리량이라는 것을 보다 엄밀하게 보여주는 개념이 바로 호도법이며, 도와 그레이드는 호도법의 값에 각각 $$\dfrac{180\degree}\pi$$, $$\rm \dfrac{200^g}\pi$$를 곱한 것으로 이해할 수 있다.

4. 이름이 붙은 각

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각도의 범위에 따라 다음과 같은 명칭이 있다.

'''각 ($$\boldsymbol\theta$$)'''	'''명칭'''
$$0\degree<\theta<90\degree$$	철각(凸角) 열각(劣角)[8]	예각(銳角)
$$\theta=90\degree$$		직각(直角)
$$90\degree<\theta<180\degree$$		둔각(鈍角)
$$\theta=180\degree$$	평각(平角)
$$180\degree<\theta<360\degree$$	요각(凹角) 우각(優角)[9]
$$\theta=360\degree$$	주각(周角)

4.1. 특수각

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직각처럼 중요성이 높은 각을 특수각이라고 한다. 문서 참고.

5. 입체각

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각을 3차원으로 확장한 것. 자세한 내용은 문서 참조.

6. 여담

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주로 변수로서의 각을 표시할 때는 그리스 문자를 사용하고[10], 도형의 꼭짓점으로서의 각은 로마자 대문자를 사용한다.
각의 크기를 재는 도구를 각도기라고 한다. 중학교 교육과정까진 쓸 만하지만 고등학교 이상의 과정에선 쓸 일이 거의 없다. 실험할 때 각도 측정하기 위해서 쓰긴 하는데, 대학교에 가면 성능이 우월한 컴퓨터로 측정하며 제도할 때는 삼각자를 이용해서 쓴다.

7. 특수한 용법

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7.1. 군대에서

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잡기를 똑바로 정리하는 것부터 집합 시 바른 자세로 서 있는 것까지 다양한 각잡기가 존재한다.
순탄한 군생활을 위해서는 각을 잘 잡아야 한다. 그렇지 않으면 갈굼의 대상이 되기도 하며 간부들의 경우 진급에까지 영향이 갈 수 있다.

7.2. 유행어

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대개 접미사처럼 쓰인다.

8. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 라디안

[1] $$1$$회전을 $$360$$등분하고 $$\degree$$(도) 단위를 이용하여 $$\dfrac1{360}$$회전을 $$1\degree$$로 정의하는 것.

[2] 이는 위도와 경도를 더 정확히 표현할 때도 쓰이는데, 예시를 하나 들자면 행담도 휴게소는 북위 $$36\degree\,56'\,32.3''$$, 동경 $$126\degree\,48'\,30.4''$$ ($$36\degree\,56'\,32.3''\,{\rm N}~126\degree\,48'\,30.4''\,{\rm E}$$)에 있다. #

[3] 영국에서는 '곤(gon)'이라고 읽는데, ISO가 비ISO 단위 리스트를 작성할 때 이 명칭을 채택했다. ISO 31-1 부록(Annex) B에 실려있다.

[4] '비에 무슨 단위가 있나?'하고 생각할 수 있지만 수학 외 분야에서는 매우 중요하다. 퍼센트 역시 전체를 $$100$$으로 놓았을 때의 비율을 나타낸 물리량으로 단위가 없지만 전체가 $$100$$이라는 것을 나타내기 위해 $$\%$$를 단위로서 붙여준다. 이를 전문용어로는 '차원#측정학이 없다'고 한다. 물리학에서는 $$\rm rad$$이 진동수와 각진동수를 구분하기 위한 아주 중요한 단위로 쓰인다.

[5] 정식 명칭은 곤(gon)이다.

[6] 보통 이산적인 물리량(셈 측도)은 독립체(entity)로서의 성질이 분명하여 별도의 도구 없이도 셀 수 있기 때문에 차원을 부여하지 않는다. 각도의 경우는 단위가 이산적일 뿐 연속량(continuous quantity)적인 특징을 지녀 별도의 도구를 이용하여 측정해야하며, 이에 따라 연속량인데 차원이 없는 독특한 성질을 지닌다. 이와는 성질이 정반대인 것이 몰을 단위로 하는 물질량(amount of substance)인데, 물질량은 정의에 따르면 '입자의 개수'를 의미하므로 이산적이지만 물질의 입자가 워낙에 작아 일상적으로 쓰기에 그 수가 너무 커 연속량으로 간주하여 $$\sf N$$의 차원을 갖는 물리량으로 약속되어있다.

[7] '회전'을 단위로 했을 때의 값과 $$\tau$$를 썼을 때의 값이 일치하기 때문에 일부 물리학자들은 원주율을 나타내는 상수로 $$\pi$$를 폐지하고 $$\tau = 2\pi$$를 써야한다고 주장하기도 한다. 새 원주율 참조.

[8] 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 작은 쪽의 각

[9] 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 큰 쪽의 각

[10] 그 중에서도 세타($$\theta$$)가 필수요소급으로 많이 쓰인다.