타우(수학)
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1. 개요
그리스 문자 τ(타우)로 나타내는 새로운 원주율이다.
2. 상세
호도법 문서에도 서술되어있듯이 부채꼴에서 호의 길이를 $$l$$, 반지름의 길이를 $$r$$이라고 할 때 호도법을 이용한 중심각 $$\theta$$의 크기는 다음과 같이 '''반지름'''에 대한 호의 비로 정의된다.
다만 현재 쓰고 있는 원주율 [math(\pi)]는 '''지름'''($$d=2r$$)에 대한 원주($$l=2\pi r$$)의 비로 정의되어있어 라디안의 정의와 정확히 $$\dfrac12$$배 차이가 난다. 이것이 부자연스럽기 때문에 [math(\tau=2\pi=6.283185\cdots\cdots)]를 사용해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다.[1] 실제로 원은 반지름으로 정의되기 때문에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 물리학에서도 $$\pi$$보다 $$2\pi$$가 자주 등장하는데, 등속 원운동에서 각속도 $$\omega$$로 $$1$$회전하는 데에 걸리는 시간(주기 $$T$$)은 $$T = \dfrac{\color{red}2\pi}\omega$$라든지, 진동수 $$f$$와 각진동수 $$\omega$$ 사이에 $$\omega = {\color{red}2\pi}f$$가 성립한다든지, 플랑크 상수를 $$2\pi$$로 나눈 디랙 상수 $$\hbar = \dfrac h{\color{red}2\pi}$$ 등이 대표적인 예이다. 위의 예시를 $$\tau$$로 나타내면 $$T=\dfrac\tau\omega$$, $$\omega=\tau f$$, $$\hbar=\dfrac h\tau$$가 되어 깔끔한 식이 된다.
$$\tau$$는 turn의 머리글자 t에 대응되는 그리스 문자 τ에서 유래했다.[2]
물론 아직 공식화 된 것은 아니기 때문에 다르게 쓰는 예도 있다. 2001년에 최초로 이를 주장한 로버트 팔레이(Robert Palais)는 다리가 3개인 듯한 기괴한 $$\pi$$ 기호를 썼었다. 정황상 1958년에 알버트 이글(Albert Eagle)이 수식의 간편화를 위해 이미 $$\tau=\dfrac\pi2$$를 주장했었던 터라 새로 기호를 만들어냈던 것으로 보이는데 다행히도 알버트의 제안은 소리없이 묻혔다. $$\tau = 2\pi$$가 제안된 건 꽤 최근으로 2010년에 마이틀 하틀(Michael Hartl)[3]이 주장했다. 아직 최근이라 논문 등에서 언급되지는 않고 있는데 상술한 라디안의 정의와 일맥상통한다는 점으로 보아 시간이 지나면 공식화 될 가능성이 높다.
이 상수를 이용하면 원주의 길이는 $$\tau r$$, 원의 넓이는 $$\dfrac12 \tau r^2$$이 된다. 이 두 식은 파이를 사용한 식보다 훨씬 근본적인 식이다.
그리고 라디안 단위를 쓸 때도 한 바퀴가 $$\tau\,\mathrm{rad}$$이라서 편하다. 예를 들면 한 바퀴의 $$\dfrac12$$은 $$\dfrac12\tau\,\mathrm{rad}$$이 된다. 그래서 삼각함수에서 $$\sin$$, $$\cos$$ 함수의 한 주기가 $$\tau$$가 된다.
다만 기계공학 쪽에서는 타우라는 문자를 적용하는 데 다소 애로사항이 있는데, 전단응력으로 이미 타우를 사용중이기 때문이다. 가장 간단한 해결 방법으로는 전단응력이 벡터량이므로 전단응력을 볼드체로 표기하는 것이다. 예를 들어 최대전단응력 $$\boldsymbol{\tau_{\bf max}}$$에 의한 축의 지름을 나타내는 식은
$$d=\sqrt[3]{\dfrac{16T}{\pi\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}}=\sqrt[3]{\dfrac{32T}{\tau\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}}$$
로 나타낼 수 있다.
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이들은 기념일도 3월 14일 대신 6월 28일에 원주율을 기념한다. MIT에서는 새 원주율을 기념해서 합격자 발표를 6시 28분에 한다고 한다.
이 상수는 2017년 Python 3.6에 추가되었다고 한다.
3. 기타
[1] 한 미국 물리학자의 파이 반박문, 우리나라 뉴스[2] 참고로 영어 turn은 그리스어로 '선반#s-2'을 의미하는 τόρνος에서 유래했다.[3] 본 항목 상단의 tauday에 들어가면 볼 수 있는 '$$\tau$$ 선언문'(The Tau Manifesto)을 쓴 사람이다.