호도법

 

1. 개요
2. 단위
2.1. 도(˚)와의 관계
3. 왜 쓰는가?
4. 관련 문서

[image]
弧度法; circular measure

1. 개요

'''호'''의 길이로 각'''도'''를 나타내는 방법. 원의 둘레는 반지름의 $$2\pi$$배로 일정하며 부채꼴에서 호의 길이는 중심각에 비례한다는 기본 원리를 이용해서 정의된 물리량이다. 즉 부채꼴에서 육십분법[1]으로 나타낸 중심각의 크기를 $$\phi$$, 반지름의 길이를 $$r$$이라고 하면, 원둘레는 $$2\pi r$$이므로 호의 길이 $$l$$을 다음과 같이 나타낼 수 있는데
$$l=2\pi r\!\cdot\!\dfrac\phi{360\degree} = r\dfrac{\pi}{180\degree}\phi$$
$$\dfrac\pi{180\degree}\phi = \theta$$로 놓고 $$\theta$$를 각의 크기로 정의하는 방식이 호도법이다. 식 자체는 $$\phi$$에 상수인 $$\dfrac\pi{180\degree}$$를 곱하는 것일 뿐이므로 두 물리량은 선형 관계에 있으며 따라서 역연산을 통해 $$\theta$$값으로부터 단 하나의 $$\phi$$값을 계산할 수 있다. $$l=r\dfrac{\pi}{180\degree}\phi = r\theta$$를 $$\theta$$에 대해 다시 정리하면
$$\theta=\dfrac lr$$
가 되어, 각의 크기가 곧 호와 반지름의 비가 되기 때문에 '''단위를 쓰지 않아도 되는 장점이 있어''' 학문 분야에서 널리 사용된다.

2. 단위

$$\theta$$의 값이 각도라는 것을 명시하기 위해 단위[2]로는 $$\rm rad$$[3](라디안; radian)을 쓰지만 $$\rm rad$$에 차원#측정학이 없기 때문에 각도임을 명시해야할 필요가 없다면[4] 굳이 표기하지 않는 경우가 더 많다. 국제 단위계에서도 각의 단위로서 $$\rm rad$$만을 채택했으며 SI 단위계의 SI 유도 단위로 등재되어 있다.[5]
이 정의에 따라 $$l=r$$일 때, 즉 '''호의 길이가 반지름의 길이와 같을 때 그 중심각의 크기가 $$\mathbf1\,\mathbf{rad}$$이다.''' 또한 지름-원둘레 관계로부터 '''원주율의 단위가 바로 라디안'''이라는 것을 알 수 있다.[6] 사실 새 원주율 [math(\tau=2\pi)]를 쓰자고 하는 근본적인 이유가 여기에 있다. 호도법은 '반지름'에 대한 호의 비로 정의되는데 원주율은 '지름'에 대한 원주의 비로 정의되기 때문이다. $$x\pi\,{\rm rad}$$이 (단위'''반원'''의 호)$$\times x$$를 의미하는 것과 달리 $$x\tau\,{\rm rad}$$은 (단위'''원''' 원주)$$\times x$$가 되므로 훨씬 직관적[7]이고 $$\tan$$ 함수, $$\cot$$ 함수를 제외한 삼각함수의 주기 역시 그냥 $$\tau$$이기 때문에 훨씬 간단하게 나타낼 수 있다.
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직관적으로 $$\rm1\,rad$$이 어느 정도인지 생각해볼 수도 있다. 반지름과 호의 길이가 같아진 상황의 부채꼴을 상상하기 앞서, 한 변의 길이가 $$r$$인 정삼각형을 떠올려 보자. 이 정삼각형을 똑바로 세운 채 아래쪽 변을 바닥에 대고 왼쪽 위의 변에 힘을 줘서 누르면, 오른쪽 위의 변은 그 길이는 유지한 채로 튀어나와서 곡선이 될 것이다. 따라서 이 튀어나온 곡선이 원의 일부가 될 때까지 누르면, 이 도형은 $$r=l$$인 부채꼴이 된다는 것을 직관적으로 알 수 있다. 정삼각형을 찌그러트려 만든 것이므로 그 중심각은 자연히 정삼각형의 한 내각인 $$60\degree$$보다 조금 작을 것이다. 그리고 그 값을 정확히 계산해 보면, $$360\degree$$를 $$2\pi$$로 나눈 것이므로 $$\rm1\,rad$$은 약 $$57.2958\degree$$이다.

2.1. 도(˚)와의 관계

원주율 $$\pi$$의 단위가 $$\rm rad$$임을 명시하면 개요에서 나타낸 관계식이 $$\theta = \dfrac{\pi\,{\rm rad}}{180\degree}\phi$$이 되므로[8] 일상생활에서 쓰이는 각도 단위와 다음 관계가 성립함을 알 수 있다.
$$\theta = \dfrac{\pi\,{\rm rad}}{180\degree}\phi \\~\\ \phi = \dfrac{180\degree}{\pi\,{\rm rad}}\theta$$
따라서 $$\theta = 1\,{\rm rad}$$이면 $$\phi = \dfrac{180\degree}{\pi\,\cancel{\rm rad}}\!\cdot\!1\,\cancel{\rm rad} = \dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq57.2958\degree$$이고 $$\phi = 1\degree$$이면 $$\theta=\dfrac{\pi\,{\rm rad}}{180\cancel{\degree}}\!\cdot\!1\cancel{\degree} = \dfrac\pi{180}\,{\rm rad}\fallingdotseq 0.0175\,{\rm rad}$$이다.[9]

3. 왜 쓰는가?

한 바퀴를 $$360\degree$$로 정의하는 기존의 각도 체계 육십분법은 일상생활에서 사용하기에 전혀 문제가 없다. 그러나 반지름과 각도에는 매우 밀접한 관계가 있어 조금만 기하학을 살펴봐도 둘이 함께 등장할 때가 많고, 매번 $$360$$이라는 애매한 수에 무리수인 원주율까지 섞다 보면 계산이 매우 지저분해진다. 호도법은 이러한 학문적 응용에 있어 수많은 강점을 갖고 있는 체계이다.
호도법에 다음과 같은 단점이 존재하는 것은 명백한 사실이다.
  1. 부채꼴에서 중심각의 크기를 구하려면 반지름과 호의 길이가 필요한데, 호는 원둘레의 일부이기 때문에 곡선이다. 곡선의 길이를 실제로 측량하기는 매우 까다로운데 호도법은 처음부터 호의 길이를 기준으로 삼고 있다.
  2. 호도법의 정의에 따라 모든 각이 초월수인 $$\pi$$의 배수로 나타나기 때문에, 그 값이 몇 $$\rm rad$$인지 안다 해도 일상생활에서 다루기는 매우 번거롭다. 수많은 도형의 근간을 이루는 직각인 $$90\degree$$마저도 $$\rm\dfrac\pi2\,rad=1.570796\cdots\cdots\,rad$$이라는 무한소수가 되어 버린다. 오히려 라디안을 단위로 하는 유리수의 각[10]들은 육십분법에서 무리수가 되고 이런 각들은 삼각비의 결과값을 대수적으로 구할 수 있는 직각삼각형[11]에서 등장하지도 않기 때문에 특수각으로 쳐주지도 않는다.
수학을 공부하는 학생들은 이러한 이유 때문에 호도법 그 자체는 쉽게 이해하더라도 왜 이런 이상한 체계를 도입했는지 공감하기 어려워하는 경우가 많다. 특히 각‘도’를 나타내는 체계인데 단위가 없다는 것은 파격적인 개념이다. 여기에서 혼란이 오면 ‘왜 호도법에는 단위가 없는가’라는 질문까지 이르게 된다. 그러나 호도법의 정의와 그렇게 정의되는 이유를 이해하게 되면 이 질문이 얼마나 무의미한지 깨닫게 된다. '''호도법은 애초에 각도를 위한 별도의 단위 없이 호와 반지름의 비율이라는 하나의 값으로 각도를 표현하기 위해 만들어진 것이다.''' ‘정의상 그냥 단위가 없어진다’가 아니라, ‘단위가 없는 체계를 만드는 것에 의의가 있는 것’이다. 그러므로 '호도법에서 단위를 쓰지 않는 이유'라는 질문은 애초에 틀린 질문이다.
예를 들어, $$\sin\dfrac\pi2$$를 근삿값의 유리수로 나타내면 $$\sin 1.5708$$이다. 이 $$1.5708$$이라는 수는 무엇인가? ‘호의 길이가 반지름의 $$1.5708$$배’임을 의미하는 것이다. $$\sin90\degree$$의 $$90$$에는 직각이라는 의미밖에 없지만, 이를 호도법으로 나타내면 각도가 각도를 나타내는 수에 머물지 않고 길이와의 직접적인 관계를 동시에 표현하게 되는 것이다. 각도가 길이로, 길이가 각도로 순식간에 전환되기 시작하면 수많은 응용의 길이 열린다. 이로 인한 호도법의 장점은 다음과 같다.
  1. 호도법으로 나타낸 각은 단위가 없는 물리량이다. 따라서 다른 물리량과의 관계를 쉽게 표현할 수 있다. 곧, 각을 호도법으로 나타내면 각을 정의역으로 갖는 함수도 다른 함수와의 합성함수를 간단히 정의할 수 있게 된다. 단위가 육십분법인 물리량만을 정의역으로 삼게 되면, $$\sin(\cos x)$$, $$\cos(e^x)$$와 같은 함수는 정의할 수 없게 된다. 삼각함수는 수많은 분야에서 직접적으로 사용되는데, 이러한 기초적인 상호작용을 가능하게 하는 디딤돌이 호도법이다. 예시로 든 위 함수들도 함숫값에 도를 포함하게 하면 함수로 나타낼 수는 있지만, 그러면 그 함숫값을 또 이용하는 것이 불가능해진다.
  2. 같은 이유로 그래프를 그릴 때 정의역과 치역을 같은 차원에서 서술할 수 있으며[12], 호도법에서의 단위각도 그리 큰 편이 아니기 때문에 그래프를 그리기 매우 용이해진다. 가로축을 $$\phi/{}\degree$$로 잡고, 가로축 및 세로축의 눈금 한 칸을 $$1$$로 놓고 $$\sin$$곡선을 그리려고 하면, 한 주기를 그리는 데에 어마어마한 길이의 가로축이 필요해지기 때문에 공간 낭비가 이만저만이 아닌데, 호도법에서 $$\rm1\,rad$$은 약 $$57.2958\degree$$이고 한 주기가 고작 $$2\pi=6.283185\cdots\cdots$$에 불과하기 때문에 비교적 경제적이다.[13]
  3. 정의역과 치역의 차원이 같다는 것은 곧 삼각함수의 그래프와 다항함수의 그래프를 하나의 좌표평면에 나타낼 수 있다는 것을 의미하기도 한다. 따라서 교점이나 접선 등 다항함수와 삼각함수의 관계를 기하학적으로 나타낼 수 있다.
  4. 원 혹은 부채꼴, 또는 그보다 복잡한 수식을 나타내야 할 경우 엄청나게 간단해진다. 호도법의 $$\theta$$를 쓰면
    • 호의 길이: $$l=r\theta$$
    • 부채꼴의 넓이: $$A=\dfrac12rl = \dfrac12r^2\theta$$
로 깔끔하게 나타낼 수 있는데 육십분법의 $$\phi$$로 나타내면 $$\theta=\dfrac\pi{180\degree}\phi$$이므로
  • 호의 길이: $$l=\dfrac\pi{180\degree}r\phi$$
  • 부채꼴의 넓이: $$A=\dfrac12rl = \dfrac\pi{360\degree}r^2\phi$$
가 되어 딱 봐도 식이 엄청 지저분해짐을 알 수 있다. 이 깔끔함은 삼각함수의 미적분에서 극명하게 드러나는데 예를 들면
$$\sin\theta = \sin\dfrac\pi{180\degree}\phi$$
이므로 만약 육십분법 각도 $$\phi$$로 나타낸 삼각함수를 $$\phi$$로 미분하면
$$\dfrac d{d\phi}\sin\dfrac\pi{180\degree}\phi = \dfrac\pi{180\degree}\cos\dfrac\pi{180\degree}\phi$$
가 되어 우리가 흔하게 접하는 공식을 만들기 위해서는 미분한 뒤에 $$\dfrac\pi{180\degree}$$만큼을 일일이 나눠줘야 한다. 눈치 빠른 위키러는 알겠지만 이 값은 $$\dfrac{d\theta}{d\phi}$$이다. 이 식으로 나눈다는 것은 곧 $$\dfrac{d\phi}{d\theta}$$를 곱하는 것을 의미하며 실제로 좌변은
$$\dfrac{d\phi}{d\theta}\dfrac d{d\phi}\sin\dfrac\pi{180\degree}\phi = \dfrac d{d\theta}\sin\dfrac\pi{180\degree}\phi$$
가 되고 우변도
$$\dfrac{d\phi}{d\theta}\dfrac\pi{180\degree}\cos\dfrac\pi{180\degree}\phi = \cancel{\dfrac{180\degree}\pi}\cancel{\dfrac\pi{180\degree}}\cos\dfrac\pi{180\degree}\phi = \cos\dfrac\pi{180\degree}\phi$$
로 정리된다. 이는 곧 삼각함수의 정의역에 호도법을 쓰든 육십분법을 쓰든, 호도법의 각으로 미분하면 결과가 깔끔하게 나온다는 것을 의미한다.
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각도에 따른 삼각함수표. 각 삼각함수에 주어진 각도에 따라 부호가 어떻게 나오는지 알 수 있다. 대개 ''''얼싸안고''''(1사분면 '''All''' 양수, 2사분면 '''si'''n & csc 양수, 3사분면 t'''an''' & cot 양수, 4사분면 '''co'''s & sec 양수)로 배운다.

4. 관련 문서


[1] $$\degree$$(도), $$'$$(분), $$''$$(초)로 각도를 나타내는 방식. 원의 중심각은 $$360\degree$$이며, $$1\degree=60'$$, $$1'=60''$$로 정의한다. 그러나 국제표준화기구(ISO)에서는 ISO 31에서 십진법에 기반한 각도 표기를 권장한다. 즉 $$30\degree\,15'$$이 아니라 $$30.25\degree$$로 쓸 것을 권장한다.[2] 정확하게 단위는 아니고 일반적으로 사용하는 숫자와 헷갈리지 않도록 표기하는 것이다.[3] 2바이트 합자인 ㎭를 쓰는 경우도 있는데 합자가 등록된 KS X 1001이나 Shift_JIS와의 호환을 위해 유니코드에 등록된 것으로, 안 쓰는 것을 권장한다. 이 합자가 소속된 유니코드 블럭 이름도 CJK Compatibility, 호환용이다.[4] 대표적으로 각진동수는 진동수에 $$2\pi\,\rm rad$$을 곱한 물리량으로 정의되기 때문에 두 물리량의 차원이 $${\sf T}^{-1}$$로 같음에도 불구하고 각진동수의 단위를 $$\rm rad\!\cdot\!s^{-1}$$로 쓴다. $$\rm ppm$$, $$\rm ppb$$, $$\rm pH$$ 등도 모두 '비율'을 나타내는 단위이기 때문에 차원이 없지만 해당 물리량의 특성을 나타내기 위해 단위를 같이 표기한다.[5] 단, SI 단위 문서의 비SI 병용 단위 목록을 보면 알 수 있지만, 워낙 육십분법으로 써왔던 역사가 긴데다 실용적이기 때문에 일단 SI 단위와 병용하는 것을 허용하고 있긴 하다.[6] 위 정의식에서 $$l=2\pi R$$(원주), $$r=2R$$(지름)을 대입해보자.[7] 예를 들어, 단위원 원주의 $$\dfrac12$$, $$\dfrac14$$은 각각 $$\dfrac12\tau\,{\rm rad}$$, $$\dfrac14\tau\,{\rm rad}$$이지만 $$\pi$$를 쓰면 $$\pi\,{\rm rad}$$, $$\dfrac12\pi\,{\rm rad}$$이 된다.[8] $$\theta : 2\pi\,{\rm rad}=\phi : 360\degree$$라는 비례식으로부터도 유도할 수 있다.[9] 이 방식이 두 물리량의 값과 차원 및 단위를 일치시키는 엄밀한 계산법이지만, 일반적으론 간략화된 다음 방식으로 나타낸다.
$$\begin{aligned} 1\,{\rm rad}&=\dfrac{180\degree}{\pi} \fallingdotseq 57.2958\degree \\ 1\degree&=\dfrac{\pi\,{\rm rad}}{180} \fallingdotseq 0.0175\,{\rm rad} \\ 360\degree&= 2\pi\,{\rm rad} \end{aligned}$$[10] $$\rm0\,rad$$ 제외[11] 다만 피타고라스 세 쌍을 만족하는 정수 변 길이로 유도되는 각도(역삼각함수)도 직접 계산해보면 지저분하기는 피차일반이다(...).[12] 원칙적으로 수직선은 '수(數)가 나열된 직선'이기 때문에 단위(엄밀히 말하자면 차원)가 포함된 물리량이 올 수 없다. 단위가 붙는 물리량들은 이를테면 $$v = 2\,{\rm m\!\cdot\!s^{-1}}$$처럼 (물리량)$$=$$(수)$$\times$$(단위)로 구성되어있으므로 해당 물리량의 수직선은 (수)$$=$$(물리량)$$/$$(단위)가 된다. 이를 육십분법에 적용하면 각도 $$\phi$$의 수직선은 $$\phi/{}\degree$$이며, 반면 호도법의 경우 차원이 없으므로 삼각함수의 치역과 똑같이 무차원의 수직선을 그대로 이용할 수 있다. 예를 들어 $$y = \sin x$$의 그래프에서 원점에서의 기울기를 작도하려고 할 때, 육십분법을 쓰는 경우 기울기에 대한 새로운 $$xy$$좌표축을 잡아야 하지만, 호도법에서는 일반 $$xy$$좌표 상에 $$y=\sin x$$ 그래프를 그려놓고 바로 $$y=x$$ 그래프를 그리면 끝난다.[13] 물론 가로축의 수직선을 $$\phi/{}\degree$$로 쓰는 경우에도 눈금 한 칸의 길이를 다르게 조정하면 비슷하게나마 그릴 수 있지만, 여전히 다른 함수들과 같이 그래프를 그리기 어려워진다는 문제가 남는다.

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