제곱수

 

1. 개요
2. 성질
2.1. 자연수로 나눈 나머지
2.2. 제곱수의 십의 자리 수
2.3. 열려있는 사물함
2.5. 제곱수의 합
3. 제곱수
3.1. 10000까지의 제곱수
4. 바리에이션
4.1. 세제곱수의 수열 및 성질
4.2. 네제곱수의 수열 및 성질
5. 유리수에서


1. 개요

어떤 자연수[1]를 두 번 곱해서 나오는 정수. 정사각수라고도 한다. 즉, $$n=m^2$$인 자연수 $$m$$이 존재하는 $$n$$을 말한다.

2. 성질


2.1. 자연수로 나눈 나머지

제곱수를 어떤 자연수로 나누었을 때, 나올 수 있는 나머지는 다음과 같다.
'''제수'''
'''나머지'''
'''3'''
0, 1
'''4'''
0, 1
'''5'''
0, 1, 4
'''7'''
0, 1, 2, 4
'''8'''
0, 1, 4
'''9'''
0, 1, 4, 7
'''10'''
0, 1, 4, 5, 6, 9
...
이 성질을 이용해서 어떤 자연수가 제곱수가 아님을 일차적으로 판별할 수 있다.

2.2. 제곱수의 십의 자리 수

제곱수의 십의 자리 수가 홀수인 것과 일의 자리 수가 6인 것이 서로 필요충분조건이다. 즉, 일의 자리 수가 4 또는 6인 자연수를 제곱하면 일의 자리 수는 6이고 십의 자리 수는 홀수며, 그 외의 자연수를 제곱하면 일의 자리 수는 6이 아니고 십의 자리 수도 짝수다.

2.3. 열려있는 사물함

대개 이런 문제로 알려져 있다.

학생 100명이 있고, 사물함이 100개가 있다.

그리고 학생들에게 1부터 100까지의 번호를 부여해주고, 사물함에도 1부터 100까지의 번호를 부여해준다.

사물함은 모두 닫혀있다고 했을때,

1번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함을 연다.

2번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함을 닫는다.

3번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 '''열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다.'''

4번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고 닫혀있으면 연다.

...

99번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다.

100번 학생은 '''자기 번호의 배수인''' 사물함이 열려있으면 닫고, 닫혀있으면 연다.

자. 그렇다면 100번 학생까지 이 과정을 마쳤을 때, '''열려있는 사물함의 갯수는 몇 개일까?'''

이런 문제는 1부터 n까지의 제곱수를 구하면 된다.
원리는, 닫혀있으면 열고, 열려있으면 닫는데에 있다.
'''번호'''
'''여는 과정'''
'''열리거나 닫히는 횟수'''
1번
열고
1번
2번
열고 닫고
2번
3번
열고 닫고
2번
4번
열고 닫고 열고
3번
...
99번
열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고
6번
100번
열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고 닫고 열고
9번
또한 열리거나 닫히는 횟수는 그 수의 약수의 개수와 일치하는데, 열려있는 번호는 약수의 갯수가 홀수 개다. 이는 '''제곱수의 특징인 약수가 홀수개''' 라는 것을 보여준다.


2.4. 제곱수의 역수의 합

레온하르트 오일러는 제곱수의 역수의 합을 다음과 같이 계산했다. 놀랍게도 결과값으로 원주율이 튀어나온다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$

또한 오일러는 같은 방식으로 네제곱수의 역수합[2]도 계산해냈다. 이후 이를 일반화한 것이 그 유명한 리만 제타 함수이다.

2.5. 제곱수의 합

위에서 제곱수의 역수 합을 구했으니 본래의 제곱수의 합도 구할 수 있는데, 여기서 황당한 상황이 벌어진다.

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 \cdots = 0$$

0보다 큰 수를 모두 더하면 0이 되어버리는 이변이 생겼다. 사실 이 무한합은 원래라면 무한대로 발산하지만, 베른하르트 리만이 제타 함수를 해석적으로 확장해서 계산해낸 값이다.[3]

3. 제곱수

1~20까지의 제곱수이다.
외워두면 좋다. 중학교 수학부터 자주 이용하게 되고 고등학교 3학년까지 활용할 수 있다. 특히 완전제곱식 꼴의 인수분해에서 자주 사용된다.

3.1. 10000까지의 제곱수


4. 바리에이션

어떤 자연수를 세 번 곱해서 나오는 자연수를 세제곱수라고 하며, 네 번 곱하면 네제곱수 등으로 부른다. 이 중 세제곱수는 정육면체 , 네제곱수는 정팔포체 배열을 할 수 있다.

4.1. 세제곱수의 수열 및 성질


4.2. 네제곱수의 수열 및 성질

  • 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...[4]

5. 유리수에서

$$\dfrac{1001}{999^3}=\dfrac{1001}{997002999}$$를 소수로 계산하면
$$0.000\red {001}004\red {009}016\red {025}036\red {049}064\red {081}100\red {121}169 \red{196}225 \red{256}...$$과 같이 제곱수가 나타난다.

[1] 이 조건이 붙지 않으면 '''모든 수가 제곱수가 된다'''(제곱근 문서 참조).[2] $$\dfrac{\pi^4}{90}$$[3] 참고로 짝수 제곱의 무한합은 모두 0이 나오는데, 이를 리만 가설에서의 '자명한 근'이라고 한다.[4] 네제곱수는 제곱수의 제곱으로 네제곱수는 모두 2제곱수이다.

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