합성함수

 


1. 개요
2. 상세
3. 멱등함수
4. 합성함수의 미분
5. 합성함수의 적분


1. 개요

합성함수에 대해 설명하는 문서.

2. 상세

함수 $$h$$가 두 함수 $$f$$와 $$g$$의 연쇄로 나타내어질 때, $$h$$를 $$f$$와 $$g$$의 '''합성함수'''라고 부르고, 대개 $$h(x)= g(f(x))$$, $$h(x)= (g\circ f)(x)$$, 혹은 함수 자체를 다룰 때는 $$h = g\circ f$$라고 쓴다.[1] 계산 과정상 제일 안쪽(오른쪽) 함수부터 계산 과정이 진행된다.
어떤 특정한 함수가 "합성함수다/아니다" 라고 구분하는 것은 수학적으로 아무 의미가 없다.[2] 합성함수를 논의할 때는 '$$h$$가 '''$$f$$와 $$g$$의 합성이다''''와 같이 무엇의 합성인지가 반드시 따라야 한다. 합성함수인지의 여부는 각 함수에 내재하는 고유한 속성이 아니라는 말이다. '합성함수'는 함수들 간의 관계에서 도출되는 개념이다. 이러한 맥락이 없이 각 함수를 합성함수이다/아니다의 절대적인 기준으로 ''분류''할 수 없다.
예를 들어 "함수 $$h(x) = e^{\sin x}$$는 합성함수다"라는 말이 그 자체로 의미가 없음은 "숫자 12는 더해진 수다"라는 말이 의미가 없다는 것과 유사하다.[3] 숫자 12가 '더해진 수'라는 서술이 의미를 지니려면 증명과정에서의 쓸모에 따라 혹은 관심의 대상에 따라 (예컨대) 다음과 같이 12가 무엇과 무엇을 더한 것인지, 그리고 그러한 표현이 무슨 쓸모가 있는지 밝혀야 한다.

* 12 = 5 + 7, 즉 두 홀수의 합이므로, 12는 짝수다.

* 12 = 5 + 7이다. 이는 골드바흐 추측의 한 예다.

마찬가지로 $$h$$가 합성함수라는 것이 의미를 가지려면 가령 다음과 같은 맥락이 필요하다.

함수 $$h$$는 $$f(x) = \sin x$$와 $$g(x) = e^x$$의 합성함수이므로, 연쇄 법칙에 의하여 $$h'(x) = e^{\sin x}\cos x$$이다.

더군다나 "$$h(x)= 2x$$는 합성함수가 아니다"는 명백히 틀린 서술이다. $$h$$는 항등함수 $$x\mapsto x$$와 2배 함수 $$x\mapsto 2x$$의 합성함수로 볼 수 있다. 심지어 항등함수 $$x\mapsto x$$는 그 자신의 합성함수로 볼 수 있다.[4]
함수의 합성은 기본적으로 $$f\circ g\ne g\circ f$$, 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 수학적인 방법으로 예를 든다면, 다음과 같다.
$$f\left(x\right)=2x, g\left(x\right)=x+1$$ 일 때
$$\left(f \circ g\right)\left(x\right)=2\left(x+1\right)=2x+2, \left(g \circ f\right)\left(x\right)=2x+1 $$ 이다.
특별한 이유가 없다면 교환법칙은 성립하지 않는 것이 당연하므로 주의하는 것이 좋다. 사실 정식대로라면 $$g$$의 공역이 $$f$$의 정의역의 부분집합일 때만 $$f \circ g$$의 합성을 할 수 있으므로, $$f \circ g$$가 있어도 $$g \circ f$$는 존재하지 않는 경우가 더 많다.[5] 함수의 합성에서 유일하게 성립하는 법칙은 거의 결합법칙 $$f\circ \left(g\circ h\right)= \left(f\circ g\right)\circ h$$ 뿐이라고 보면 무방하다.
함수를 합성하는 연산자 $$\circ$$가 결합법칙을 만족하므로, 함수를 (적당히) 모은 집합은 훌륭한 군이 된다. 함수의 합성 $$\circ$$를 이항연산으로, 항등함수 $$\mathrm{Id}(x)= x$$를 항등원으로, 함수 $$f$$의 역함수 $$f^{-1}$$을 역원으로 보면 된다.[6]
동일 함수가 합성됐을 경우 $$f\circ f\left(x\right)=f^2\left(x\right)$$와 같이 지수 꼴로 합성한 횟수를 나타내기도 한다. 단, 삼각함수와 로그함수에는 적용되지 않는다. 예컨대 $$\sin^2 x$$라 하면 $$\sin \left(\sin x\right)$$가 아니라 $$\left(\sin x\right)\times \left(\sin x\right)$$를 나타낸다. 또한 일반적인 함수의 경우에도 저자와 독자의 합의가 없는 경우 $$f^2(x)$$가 $$f(f(x))$$처럼 동일한 함수를 합성한 것인지 혹은 $$\left[f(x)\right]^2$$처럼 함숫값을 제곱한 것인지 혼동을 줄 수 있다.[7]

3. 멱등함수

$$f\circ f\left(x\right)=f^2\left(x\right) = f\left(x\right)$$를 만족하는 함수를 멱등함수(idempotent function)라고 한다. 대표적으로 다음이 있다.

4. 합성함수의 미분



5. 합성함수의 적분




[1] 고등학교나 대학교 저학년에는 귀차니즘으로 인해 중간 형태보다는 첫번째의 형태로 쓰는 경우가 많다. 그러나 함수 자체를 오브젝트로 다루는 때가 되면 보통 입력값인 $$x$$를 생략하므로 $$g\circ f$$를 주로 쓰게 된다.[2] 그러나 나무위키 항목들 중에는 이와 같은 서술을 하는 경우가 종종 있다. 해당 부분을 발견한다면 읽을 때 주의할 것.[3] 군론의 표현을 빌리자면, 함수의 합성과 덧셈은 이항연산자에 불과하다. 각 원소 자체가 이항연산자의 결과다/아니다라고 구분짓는 것은 어불성설이다.[4] 말장난 같아보이지만 이는 함수로 이루어진 군 등을 논의할 때 자주 접하는 서술들이다.[5] 대표적으로 부호 함수 $$\mathrm{sgn}(x)$$와 로그 적분 함수 $$\mathrm{li}(x)$$의 합성. 부호 함수는 실수 범위에서 함숫값이 $$\{-1, 0, 1\}$$임에 비해 로그 적분 함수는 정의역에 $$\{-1, 0, 1\}$$ 이 제외되어 있기 때문에 $$(\mathrm{sgn \circ li})(x)$$는 정의할 수 있어도 $$(\mathrm{li \circ sgn})(x)$$는 정의할 수 없다.[6] 물론 항등함수와 역함수가 정의된 집합이고 여타 군의 조건을 만족해야 한다. 이 의미에서 함수를 '적당히' 모은 집합.[7] 예컨대 함수의 노름을 정의하는 식 $$\lVert f \rVert_2^2 = \int f^2$$ 우변의 제곱은 함숫값의 제곱이다.

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