필요조건과 충분조건
1. 개요
논리적 귀결 관계를 맺는 두 명제 간에 성립하는 관계. 수학(교과)에도 등장하는 논리학의 기초적인 개념.
표준논리를 기준으로 할 경우, 조건문 "P → Q"의 전건과 후건인 P와 Q간에 성립하는 관계로 이해할 수도 있다. "P → Q"가 참이라고 할 때 P를 "Q가 성립하기 위한 충분조건"이라고 부르며, 반대로 Q를 "P가 성립하기 위한 필요조건"이라고 부른다.
이 필요조건과 충분조건을 혼동하면 전건부정/후건긍정의 오류가 된다.
2. 종류
2.1. 필요조건
Necessary Condition.
P → Q가 참일 때 그 정의에 의해 명제 P가 참이 되기 위해 먼저 명제 Q가 참일 필요가 있다. 즉 Q는 P가 성립하기 위한 필요조건이다. Q가 P를 포함하는 개념으로 볼 수 있다.
"Q는 P의 필요조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다[1]:
- "P ⇒ Q"
- "Q라면 P일 수 있다."[2]
- "Q가 아니면, P도 아니다."
- "P는 Q의 충분조건이다"
필요조건을 충분조건으로 착각하면 후건긍정의 오류가 된다. '만일 수염이 있다면 남자이다'라는 문장을 예로 들면, 수염이 나려면 남자여야 하지만(필요조건) 착각하여 충분조건으로 오해하면 '남자이면 수염이 있다'가 되는데 이는 사실이 아니기 때문(예: 어린이).
2.2. 충분조건
Sufficient Condition.
P → Q가 참일 때 그 정의에 의해 명제 P가 참이라면 명제 Q는 참임이 충분히 보장된다. 즉 P는 Q가 성립하기 위한 충분조건이다. P가 Q에 포함되는 개념으로 볼 수 있다.
"P는 Q의 충분조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다:
- "P ⇒ Q"
- "P라면 Q이다."
- "P가 아니면 Q가 아닐 수 있다" ('아니다'가 아니다!)[3]
- "Q는 P의 필요조건이다"
- '철수는 농구를 한다'는 '철수는 운동을 한다'의 충분조건이다.
충분조건을 필요조건으로 착각하면 전건부정의 오류가 된다. 다시 '수염'을 예로 들면, 수염이 났다는 것은 그가 남자임을 증명하지만(충분조건), 수염이 나지 않은 남자 어린이를 수염이 나지 않았다고 남자가 아니라고 할 수는 없기 때문.
2.3. 필요충분조건
Necessary and Sufficient Condition.
P → Q가 참이고 Q → P가 참이면 그 정의에 의해 P가 참이면 Q가 참이고 P가 거짓이면 Q는 거짓이다.
P → Q가 참일 때 P이면 Q이고, Q → P가 참일 때 P가 아니면 Q가 아니기 때문이다. 즉 P는 Q의 필요충분조건임과 동시에 Q는 P의 필요충분조건이다.
"P는 Q의 필요충분조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다:
- "P ⇔ Q"
- "P이면 Q이며, Q이면 P이다"
- "P가 아니면 Q가 아니며 Q가 아니면 P가 아니다."
- "P인 경우 오직 그 경우에만 Q이다."
- "P if and only if Q"
- "Q는 P의 필요충분조건이다"
[1] 다만 한국어나 영어 같은 자연 언어의 문법은 표준논리의 실질조건 연산자 '→'의 문법과 다른 경우가 있으므로 주의를 요한다. 항목 참조[2] Q라면 'P일 수 있다'를 'P이다'라고 하는 오류가 후건긍정의 오류이다.[3] 전건부정의 오류는 '아닐 수 있다'를 '아니다'로 착각하여 일어나는 오류이다.[4] 또는 if/f